Exercice 1 5 points

Commun à tous les candidats

Partie A

Dans le plan muni d'un repère orthonormé $(,O;\vec{i},\vec{j} \,)$ on désigne par $\mathcal{C}_u$ la courbe représentative de la fonction $u$ définie sur l'intervalle $]0;+ \infty[$ par : \[u(x) = a + \dfrac{b}{x} + \dfrac{c}{x^2}\] où $a, b$ et $c$ sont des réels fixés. On a tracé sur le graphique ci-dessous la courbe $\mathcal{C}_u$ et la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y = 1$.

On précise que la courbe $\mathcal{C}_u$ passe par les points A(1;0) et B(4;0) et que l'axe des ordonnées et la droite $\mathcal{D}$ sont asymptotes à la courbe $\mathcal{C}_u$.

1. Donner les valeurs de $u(1)$ et $u(4)$.
2. Donner $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} u(x)$. En déduire la valeur de $a$.
3. En déduire que, pour tout réel $x$ strictement positif, $u(x) = \dfrac{x^2 - 5x + 4}{x^2}$.

Partie B

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]0;+ \infty[$ par : \[f(x) = x - 5\ln x - \dfrac{4}{x}.\]

1. Déterminer la limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $0$. On pourra utiliser sans démonstration le fait que $\displaystyle\lim_{x \to 0} x \ln x = 0$.
2. Déterminer la limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $+ \infty$.
3. Démontrer que, pour tout réel $x$ strictement positif, $f'(x) = u(x)$. En déduire le tableau de variation de la fonction $f$ en précisant les limites et les valeurs particulières.

Partie C

1. Déterminer l'aire $\mathcal{A}$, exprimée en unité d'aire, du domaine hachuré sur le graphique de la \textbf{partie A}.
2. Pour tout réel $\lambda$ supérieur ou égal à 4, on note $\mathcal{A}_{\lambda}$ l'aire, exprimée en unité d'aire, du domaine formé par les points $M$ de coordonnées $(x;y)$ telles que \[4 \leqslant x \leqslant \lambda\quad \text{et}\quad 0 \leqslant y \leqslant u(x).\] Existe-t-il une valeur de $\lambda$ pour laquelle $\mathcal{A}_{\lambda} = \mathcal{A}$ ? Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.

Correction de l'exercice 1 (5 points)

Commun à tous les candidats

Partie A

Dans le plan muni d'un repère orthonormé $(,O;\vec{i},\vec{j} \,)$ on désigne par $\mathcal{C}_u$ la courbe représentative de la fonction $u$ définie sur l'intervalle $]0;+ \infty[$ par : \[u(x) = a + \dfrac{b}{x} + \dfrac{c}{x^2}\] où $a, b$ et $c$ sont des réels fixés. On a tracé sur le graphique ci-dessous la courbe $\mathcal{C}_u$ et la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y = 1$.

On précise que la courbe $\mathcal{C}_u$ passe par les points A(1;0) et B(4;0) et que l'axe des ordonnées et la droite $\mathcal{D}$ sont asymptotes à la courbe $\mathcal{C}_u$.

1. Donner les valeurs de $u(1)$ et $u(4)$.
La courbe $\mathscr{C}_u$ passe par $A(1;0)$ par conséquent $u(1)=0$.
Elle passe également pas $B(4;0)$ donc $u(4)=0$.
$\quad$
2. Donner $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} u(x)$. En déduire la valeur de $a$.
$\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{1}{x}=0$ et $\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{1}{x^2}=0$.
Donc $\lim\limits_{x\to +\infty} u(x)=a$.
La droite d’équation $y=1$ étant asymptote à la courbe $\mathscr{C}_u$ cela signifie donc que $a=1$.
$\quad$
3. En déduire que, pour tout réel $x$ strictement positif, $u(x) = \dfrac{x^2 - 5x + 4}{x^2}$.
Ainsi $u(x)=1+\dfrac{b}{x}+\dfrac{c}{x^2}$.
Puisque $u(1)=0$ on obtient $1+b+c=0$ soit $b+c=-1 \quad (1)$.
Puisque $u(4)=0$ on obtient $1+\dfrac{b}{4}+\dfrac{c}{16}=0$ soit $16+4b+c=0$ ou encore $4b+c=-16 \quad (2)$.
On fait $(2)-(1)$ : $3b=-15$ soit $b=-5$
Ainsi $-5+c=-1$ soit $c=4$.
On vérifie dans l’équation $2$ $4\times (-5)+4=-20+4=-16$
$\quad$
Par conséquent $u(x)=1-\dfrac{5}{x}+\dfrac{4}{x^2} = \dfrac{x^2-5x+4}{x^2}$.
$\quad$

Partie B

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]0;+ \infty[$ par : \[f(x) = x - 5\ln x - \dfrac{4}{x}.\]

1. Déterminer la limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $0$. On pourra utiliser sans démonstration le fait que $\displaystyle\lim_{x \to 0} x \ln x = 0$.
$f(x)=\dfrac{x^2-5x\ln x-4}{x}$.
$\lim\limits_{x \to 0^+} x\ln x=0$ donc $\lim\limits_{x \to 0^+}x^2-5x\ln x-4 = -4$
Or $\lim\limits_{x \to 0^+} x=0^+$
Par conséquent $\lim\limits_{x \to 0^+} f(x)=-\infty$.
$\quad$
2. Déterminer la limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $+ \infty$.
$f(x)=x\left(1-\dfrac{\ln x}{x}-\dfrac{4}{x^2}\right)$.
$\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\ln x}{x}=0$ et $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{1}{x^2}=0$.
Donc $\lim\limits_{x \to +\infty} \left(1-\dfrac{\ln x}{x}-\dfrac{4}{x^2}\right) =1$ et $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)=+\infty$.
$\quad$
3. Démontrer que, pour tout réel $x$ strictement positif, $f'(x) = u(x)$. En déduire le tableau de variation de la fonction $f$ en précisant les limites et les valeurs particulières.
La fonction $f$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ comme somme de fonctions dérivables sur cet intervalle.
$f'(x)=1-5\times \dfrac{1}{x}+\dfrac{4}{x^2} = u(x)$.
Le signe de $u(x)$ ne dépend que de celui de $x^2-5x+4=(x-1)(x-4)$
On obtient ainsi le tableau de variations suivant :

Partie C

1. Déterminer l'aire $\mathcal{A}$, exprimée en unité d'aire, du domaine hachuré sur le graphique de la \textbf{partie A}.
L’aire hachurée correspond à l’aire du domaine situé entre l’axe des abscisses, la courbe $\mathscr{C}_u$ et les droites d’équation $x=0$ et $x=4$.
La fonction $-u$ est continue et positive sur $[1;4]$.
Ainsi :
$\begin{align*} \mathscr{A}&=\int_1^4-u(x)\mathrm{d}x\phantom{\dfrac{1}{4}} \\\\
&=-\left(f(4)-f(1)\right) \\\\
&=-(3-5\ln 4 +3) \\\\
&=5\ln 4-6
\end{align*}$
$\quad$
2. Pour tout réel $\lambda$ supérieur ou égal à 4, on note $\mathcal{A}_{\lambda}$ l'aire, exprimée en unité d'aire, du domaine formé par les points $M$ de coordonnées $(x;y)$ telles que \[4 \leqslant x \leqslant \lambda\quad \text{et}\quad 0 \leqslant y \leqslant u(x).\] Existe-t-il une valeur de $\lambda$ pour laquelle $\mathcal{A}_{\lambda} = \mathcal{A}$ ? Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.
L’aire $\mathscr{A}_{\lambda}$ correspond à l’aire du domaine situé entre la courbe $\mathscr{C}_u$, l’axe des abscisses et les droites d’équation $x=4$ et $x=\lambda$.
La fonction $u$ est continue et positive sur $[4;\lambda]$.
Ainsi :
$\begin{align*} \mathscr{A}_{\lambda}&=\int_4^{\lambda}u(x)\mathrm{d}x\phantom{\dfrac{1}{4}} \\\\
&=f(\lambda)-f(4) \\\\
&=f(\lambda)-\left(3-5\ln 4\right) \\\\
&=f(\lambda)-\dfrac{4}{\lambda}-3+5\ln 4
\end{align*}$
On veut donc résoudre l’équation $f(\lambda)-3+5\ln 4=5\ln 4 -6$
soit $f(\lambda)=-3$.
La fonction $f$ est continue (car dérivable) et strictement croissante sur $[4;+\infty[$.
De plus $f(4)=3-5\ln 4 <-3$ et $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)=+\infty$
Par conséquent $-3\in [f(4);+\infty[$.
D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires), l’équation $f(\lambda)=-3$ possède une unique solution.
$\quad$
Il existe donc une valeur de $\lambda$ telle que $\mathscr{A}=\mathscr{A}_{\lambda}$
$\quad$

Exercice 2 4 points

Commun à tous les candidats

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse.

Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée. L'absence de réponse n'est pas pénalisée. Une réponse non justifiée n'est pas prise en compte.

L'espace est muni d'un repère orthonormé $(,O;\vec{i},\vec{j},\vec{k}\,)$. Les points A, B, C sont définis par leurs coordonnées : \[\text{A}(3;-1;4),\quad \text{B}(-1;2;-3),\quad \text{C}(4;-1;2).\] Le plan $\mathcal{P}$ a pour équation cartésienne : $2x - 3y + 2z - 7 = 0$. La droite $\Delta$ a pour représentation paramétrique $\left\{\begin{array}{l c l} x &=& - 1 + 4t\\ y &=&\phantom{-} 4 - t\\ z &=& - 8 + 2t \end{array}\right., \:t \in \mathbb R$.

1. Affirmation 1 : Les droites $\Delta$ et (AC) sont orthogonales.
2. Affirmation 2 : Les points A, B et C déterminent un plan et ce plan a pour équation cartésienne $2x + 5y + z - 5 = 0$.
3. Affirmation 3 : Tous les points dont les coordonnées $(x;y;z)$ sont données par $\left\{\begin{array}{l c l} x &=& 1 + \phantom{2}s - 2s'\\ y &=& 1 - 2s + \phantom{2}s'\\ z &=& 1- 4s + 2s' \end{array}\right., \: s \in \mathbb R,\: s' \in \mathbb R$ appartiennent au plan $\mathcal{P}$.
4. Affirmation 4 : Il existe un plan parallèle au plan $\mathcal{P}$ qui contient la droite $\Delta$.

Correction de l'exercice 2 4 points

Commun à tous les candidats

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse.

Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée. L'absence de réponse n'est pas pénalisée. Une réponse non justifiée n'est pas prise en compte.

L'espace est muni d'un repère orthonormé $(,O;\vec{i},\vec{j},\vec{k}\,)$. Les points A, B, C sont définis par leurs coordonnées : \[\text{A}(3;-1;4),\quad \text{B}(-1;2;-3),\quad \text{C}(4;-1;2).\] Le plan $\mathcal{P}$ a pour équation cartésienne : $2x - 3y + 2z - 7 = 0$. La droite $\Delta$ a pour représentation paramétrique $\left\{\begin{array}{l c l} x &=& - 1 + 4t\\ y &=&\phantom{-} 4 - t\\ z &=& - 8 + 2t \end{array}\right., \:t \in \mathbb R$.

1. Affirmation 1 : Les droites $\Delta$ et (AC) sont orthogonales.
On a $\overrightarrow{AC}(1;0;-2)$.
Un vecteur directeur de $\Delta$ est $\vec{u}(4;-1;2)$.
Ainsi $\overrightarrow{AC}.\vec{u}=4+0-4=0$.
Les droites $\Delta$ et $(AC)$ sont donc orthogonales.
L’affirmation est vraie.
$\quad$
2. Affirmation 2 : Les points A, B et C déterminent un plan et ce plan a pour équation cartésienne $2x + 5y + z - 5 = 0$.
$\overrightarrow{AB}(-4;3;-7)$ et $\overrightarrow{AC}(1;0;-2)$
$\dfrac{1}{-4} \neq \dfrac{0}{3}$. Ces deux vecteurs ne sont donc pas colinéaires et les points $A$, $B$ et $C$ définissent un plan.
Regardons si les coordonnées des points $A, B$ et $C$ vérifient l’équation $2x+5y+z-5=0$.
$2\times 3+5\times (-1)+4-5 = 6-5+4-5=0 \checkmark$
$2\times (-1)+5\times 2-3-5=-2+10-3-5=0 \checkmark$
$2\times 4+5\times (-1)+2-5=8-5+2-5=0 \checkmark$
$2x+5y+z-5=0$ est donc une équation cartésienne du plan $(ABC)$.
L’affirmation est vraie.
$\quad$
3. Affirmation 3 : Tous les points dont les coordonnées $(x;y;z)$ sont données par $\left\{\begin{array}{l c l} x &=& 1 + \phantom{2}s - 2s'\\ y &=& 1 - 2s + \phantom{2}s'\\ z &=& 1- 4s + 2s' \end{array}\right., \: s \in \mathbb R,\: s' \in \mathbb R$ appartiennent au plan $\mathcal{P}$.
Regardons si les coordonnées données vérifient l’équation du plan $P$.
$2(1+s-2s’)-3(1-2s+s’)+2(1-4s+2s’)-7$ $=2+2s-4s’-3+6s-3s’+2-8s+4s’-7$ $ = -6-3s’$.
Or $-6-3s’$ n’est pas toujours égal à $0$.
L’affirmation est fausse.
$\quad$
4. Affirmation 4 : Il existe un plan parallèle au plan $\mathcal{P}$ qui contient la droite $\Delta$.
Un vecteur normal à $P$ est $\vec{n}(2;-3;2)$.
Un vecteur directeur de $\Delta$ est $\vec{u}(4;-1;2)$.
$\vec{n}.\vec{u}=8+3+4=15 \neq 0$
La droite $\Delta$ ne peut donc pas appartenir à un plan parallèle à $P$.
L’affirmation est fausse.
$\quad$

Exercice 3 5 points

Probabilités

Les trois parties A, B et C peuvent être traitées de façon indépendante

Partie A

Le chikungunya est une maladie virale transmise d'un être humain à l'autre par les piqûres de moustiques femelles infectées.
Un test a été mis au point pour le dépistage de ce virus. Le laboratoire fabriquant ce test fournit les caractéristiques suivantes :

• la probabilité qu'une personne atteinte par le virus ait un test positif est de $0,98$ ;
• la probabilité qu'une personne non atteinte par le virus ait un test positif est de $0,01$.

On procède à un test de dépistage systématique dans une population «cible ». Un individu est choisi au hasard dans cette population. On appelle :

• $M$ l'évènement: «L'individu choisi est atteint du chikungunya »
• $T$ l'évènement: «Le test de l'individu choisi est positif »

On notera $\overline{M}$ (respectivement $\overline{T}$) l'évènement contraire de l'évènement $M$ (respectivement $T$). On note $p\: (0 \leqslant p \leqslant 1$) la proportion de personnes atteintes par la maladie dans la population cible.

1. 1. Recopier et compléter l'arbre de probabilité ci-dessous.
      
   2. Exprimer $P(M \cap T),\: P\left(\overline{M} \cap T\right)$ puis $P(T)$ en fonction de $p$.
2. 1. Démontrer que la probabilité de $M$ sachant $T$ est donnée par la fonction $f$ définie sur [0 ; 1] par : \[f(p) = \dfrac{98p}{97p+1}.\]
   2. Étudier les variations de la fonction $f$.
3. On considère que le test est fiable lorsque la probabilité qu'une personne ayant un test positif soit réellement atteinte du chikungunya est supérieure à $0,95$. En utilisant les résultats de la question \textbf{2.}, à partir de quelle proportion $p$ de malades dans la population le test est-il fiable ?

Partie B

En juillet 2014, l'institut de veille sanitaire d'une île, en s'appuyant sur les données remontées par les médecins, publie que 15 % de la population est atteinte par le virus. Comme certaines personnes ne consultent pas forcément leur médecin, on pense que la proportion est en réalité plus importante. Pour s'en assurer, on se propose d'étudier un échantillon de 1000 personnes choisies au hasard dans cette île. La population est suffisamment importante pour considérer qu'un tel échantillon résulte de tirages avec remise. On désigne par $X$ la variable aléatoire qui, à tout échantillon de 1000 personnes choisies au hasard, fait correspondre le nombre de personnes atteintes par le virus et par $F$ la variable aléatoire donnant la fréquence associée.

1. 1. Sous l'hypothèse $p = 0,15$, déterminer la loi de $X$.
   2. Dans un échantillon de 1000 personnes choisies au hasard dans l'île, on dénombre $197$ personnes atteintes par le virus. Quelle conclusion peut-on tirer de cette observation à propos du chiffre de 15 % publié par l'institut de veille sanitaire ? Justifier. (On pourra s'aider du calcul d'un intervalle de fluctuation au seuil de 95 %.)
2. On considère désormais que la valeur de $p$ est inconnue. En utilisant l'échantillon de la question 1. b. , proposer un intervalle de confiance de la valeur de $p$, au niveau de confiance de 95 %.

Partie C

Le temps d'incubation, exprimé en heures, du virus peut être modélisé par une variable aléatoire $T$ suivant une loi normale d'écart type $\sigma = 10$. On souhaite déterminer sa moyenne $\mu$. La représentation graphique de la fonction densité de probabilité de $T$ est donnée en annexe.

1. 1. Conjecturer, à l'aide du graphique, une valeur approchée de $\mu$.
   2. On donne $p(T < 110) = 0,18$. Hachurer sur le graphique un domaine dont l'aire correspond à la probabilité donnée.
2. On note $T'$ la variable aléatoire égale à $\dfrac{T - \mu}{10}$.
   1. Quelle loi la variable aléatoire $T'$ suit-elle ?
   2. Déterminer une valeur approchée à l'unité près de la moyenne $\mu$ de la variable aléatoire $T$ et vérifier la conjecture de la question 1.

Correction de l'exercice 3 (5 points)

Commun à tous les candidats

Les trois parties A, B et C peuvent être traitées de façon indépendante

Partie A

Le chikungunya est une maladie virale transmise d'un être humain à l'autre par les piqûres de moustiques femelles infectées.
Un test a été mis au point pour le dépistage de ce virus. Le laboratoire fabriquant ce test fournit les caractéristiques suivantes :

• la probabilité qu'une personne atteinte par le virus ait un test positif est de $0,98$ ;
• la probabilité qu'une personne non atteinte par le virus ait un test positif est de $0,01$.

On procède à un test de dépistage systématique dans une population «cible ». Un individu est choisi au hasard dans cette population. On appelle :

• $M$ l'évènement: «L'individu choisi est atteint du chikungunya »
• $T$ l'évènement: «Le test de l'individu choisi est positif »

On notera $\overline{M}$ (respectivement $\overline{T}$) l'évènement contraire de l'évènement $M$ (respectivement $T$). On note $p\: (0 \leqslant p \leqslant 1$) la proportion de personnes atteintes par la maladie dans la population cible.

1. 1. Recopier et compléter l'arbre de probabilité ci-dessous.
   
   
   2. Exprimer $P(M \cap T),\: P\left(\overline{M} \cap T\right)$ puis $P(T)$ en fonction de $p$.
   $P(M\cap T) = 0,98p$ $\quad$ $P\left(\overline{M} \cap T\right) = 0,01(1-p)$
   D’après la formule des probabilités totales on a :
   $\begin{align*} P(T) &= P(M \cap T) + P\left(\overline{M} \cap T\right) \\\\
   &= 0,98p + 0,01(1-p) \\\\
   &=0,98p +0,01-0,01p\\\\
   &=0,97p+0,01
   \end{align*}$
2. 1. Démontrer que la probabilité de $M$ sachant $T$ est donnée par la fonction $f$ définie sur [0 ; 1] par : \[f(p) = \dfrac{98p}{97p+1}.\]
   On veut calculer
   $P_T(M)=\dfrac{P(M\cap T)}{P(T)}$ $ = \dfrac{0,98p}{0,97p+0,01} = \dfrac{98p}{97p+1}$
   $\quad$
   
   2. Étudier les variations de la fonction $f$.
   La fonction $f$ est dérivable sur $[0;1]$ en tant que quotient de fonctions dérivables dont le dénominateur ne s’annule pas sur $[0;1]$
   $f'(p)=\dfrac{98(97p+1)-97\times 98p}{(97p+1)^2} = \dfrac{98}{(97p+1)^2} >0$.
   La fonction $f$ est donc strictement croissante sur $[0;1]$.
3. On considère que le test est fiable lorsque la probabilité qu'une personne ayant un test positif soit réellement atteinte du chikungunya est supérieure à $0,95$. En utilisant les résultats de la question \textbf{2.}, à partir de quelle proportion $p$ de malades dans la population le test est-il fiable ?
On veut résoudre l’inéquation :
$\begin{align*} f(p)> 0,95 &\Leftrightarrow \dfrac{98p}{97p+1} > 0,95 \\\\
&\Leftrightarrow 98p > 0,95(97p+1) \\\\
&\Leftrightarrow 98p>92,15p+0,95 \\\\
&\Leftrightarrow 5,85p>0,95 \\\\
&\Leftrightarrow p>\dfrac{0,95}{5,85} \\\\
&\Leftrightarrow p>\dfrac{19}{117}
\end{align*}$

Partie B

En juillet 2014, l'institut de veille sanitaire d'une île, en s'appuyant sur les données remontées par les médecins, publie que 15 % de la population est atteinte par le virus. Comme certaines personnes ne consultent pas forcément leur médecin, on pense que la proportion est en réalité plus importante. Pour s'en assurer, on se propose d'étudier un échantillon de 1000 personnes choisies au hasard dans cette île. La population est suffisamment importante pour considérer qu'un tel échantillon résulte de tirages avec remise. On désigne par $X$ la variable aléatoire qui, à tout échantillon de 1000 personnes choisies au hasard, fait correspondre le nombre de personnes atteintes par le virus et par $F$ la variable aléatoire donnant la fréquence associée.

1. 1. Sous l'hypothèse $p = 0,15$, déterminer la loi de $X$.
   Les $1~000$ tirages sont indépendants, aléatoires avec remises et présentent chacun deux issues : $M$ et $\overline{M}$.
   De plus $P(M)=0,15$.
   $X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=1~000$ et $p=0,15$.
   
   2. Dans un échantillon de 1000 personnes choisies au hasard dans l'île, on dénombre $197$ personnes atteintes par le virus. Quelle conclusion peut-on tirer de cette observation à propos du chiffre de 15 % publié par l'institut de veille sanitaire ? Justifier. (On pourra s'aider du calcul d'un intervalle de fluctuation au seuil de 95 %.)
   $n=1~000$ et $p=0,15$
   $n=1~000 \ge 30 \checkmark$ $\quad$ $np=150 \ge 5 \checkmark$ $\quad$ $n(1-p)=850 \ge 5 \checkmark$.
   Un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\%$ est alors :
   $\begin{align*} I_{1~000} &= \left[0,15-1,96\sqrt{\dfrac{0,15 \times 0,85}{1~000}};0,15+ 1,96\sqrt{\dfrac{0,15 \times 0,85}{1~000}}\right] \\\\
   &\approx [0,127;0,173]
   \end{align*}$
   La fréquence observée est $f=\dfrac{197}{1~000} = 0,197 \notin I_{1~000}$
   On peut donc remettre en cause le chiffre publié par l’institut de veille sanitaire.
   $\quad$
2. On considère désormais que la valeur de $p$ est inconnue. En utilisant l'échantillon de la question 1. b. , proposer un intervalle de confiance de la valeur de $p$, au niveau de confiance de 95 %.
$n=1~000 \ge 30 \checkmark$ $\quad$ $nf=197 \ge 5 \checkmark$ $\quad$ $n(1-f)=803 \ge 5 \checkmark$.
Un intervalle de confiance au seuil de confiance de $95\%$ est :
$\begin{align*} J_{1~000}&=\left[0,197-\dfrac{1}{\sqrt{1~000}};0,197+\dfrac{1}{\sqrt{1~000}}\right] \\\\
&\approx [0,165;0,229]
\end{align*}$

Partie C

Le temps d'incubation, exprimé en heures, du virus peut être modélisé par une variable aléatoire $T$ suivant une loi normale d'écart type $\sigma = 10$. On souhaite déterminer sa moyenne $\mu$. La représentation graphique de la fonction densité de probabilité de $T$ est donnée en annexe.

1. 1. Conjecturer, à l'aide du graphique, une valeur approchée de $\mu$.
   D’après le graphique, on peut conjecturer que $\mu \approx 120$.
   
   2. On donne $p(T < 110) = 0,18$. Hachurer sur le graphique un domaine dont l'aire correspond à la probabilité donnée.
   
2. On note $T'$ la variable aléatoire égale à $\dfrac{T - \mu}{10}$.
   1. Quelle loi la variable aléatoire $T'$ suit-elle ?
   $T’$ suit la loi normale centrée réduite.
   $\quad$
   
   2. Déterminer une valeur approchée à l'unité près de la moyenne $\mu$ de la variable aléatoire $T$ et vérifier la conjecture de la question 1.
   $\begin{align*} p(T<110)=0,18 &\Leftrightarrow p(T-\mu<110-\mu)=0,18 \\\\
   &\Leftrightarrow p\left(\dfrac{T-\mu}{10}<\dfrac{110-\mu}{10}\right) = 0,18 \\\\
   &\Leftrightarrow p\left(T'<\dfrac{110-\mu}{10}\right) = 0,18
   \end{align*}$
   En utilisant la calculatrice, on trouve que $\dfrac{110-\mu}{10}\approx -0,915$ soit $\mu \approx 119$.
   Cette valeur est très proche de celle conjecturée à la question 1. $\quad$

Exercice 4 5 points

Candidats N'AYANT PAS SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

Dans un pays de population constante égale à 120 millions, les habitants vivent soit en zone rurale, soit en ville. Les mouvements de population peuvent être modélisés de la façon suivante :

• en 2010, la population compte $90$ millions de ruraux et $30$ millions de citadins ;
• chaque année, 10 % des ruraux émigrent à la ville ;
• chaque année, 5 % des citadins émigrent en zone rurale.

Pour tout entier naturel $n$, on note :

• $u_n$ la population en zone rurale, en l'année $2010 + n$, exprimée en millions d'habitants ;
• $v_n$ la population en ville, en l'année $2010 + n$, exprimée en millions d'habitants.

On a donc $u_0 = 90$ et $v_0 = 30$.

Partie A

1. Traduire le fait que la population totale est constante par une relation liant $u_n$ et $v_n$.
2. On utilise un tableur pour visualiser l'évolution des suites $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$. Quelles formules peut-on saisir dans les cellules B3 et C3 qui, recopiées vers le bas, permettent d'obtenir la feuille de calcul ci-dessous : $$\begin{array} {|c|c|c|c|}\hline &A &B&C\\ \hline 1&n &\text{ Population en zone rurale }&\text{ Population en ville }\\ \hline 2&0 &90 &30\\ \hline 3&1 &82,5 &37,5\\ \hline 4&2 &76,125 &43,875\\ \hline 5&3 &70,706 &49,294\\ \hline 6&4 &66,100 &53,900\\ \hline 7&5 &62,185 &57.815\\ \hline 8&6 &58,857 &61,143\\ \hline 9&7 &56,029 &63,971\\ \hline 10&8&53,625 &66,375\\ \hline 11&9&51,581 &68,419\\ \hline 12&10&49,844 &70,156\\ \hline 13&11&48,367 &71,633\\ \hline 14&12&47,112 &72,888\\ \hline 15&13&46,045 &73,955\\ \hline 16&14&45,138 &74,862\\ \hline 17&15&44,368 &75,632\\ \hline 18&16&43,713 &76,287\\ \hline 19&17&43,156 &76,844\\ \hline 20&18&42,682 &77,318\\ \hline 21&19&42,280 &77,720\\ \hline 22&20&41,938 &78,062\\ \hline \ldots&\ldots&\ldots&\ldots\\\hline 59&57 &40,005 &79,995\\ \hline 60&58 &40,004 &79,996\\ \hline 61&59 &40,003 &79,997\\ \hline 62&60 &40,003 &79,997\\ \hline 63&61 &40,002 &79,998\\ \hline \end{array}$$
3. Quelles conjectures peut-on faire concernant l'évolution à long terme de cette population ?

Partie B

On admet dans cette partie que, pour tout entier naturel $n,\quad u_{n+1} = 0,85u_n + 6$.

1. 1. Démontrer par récurrence que la suite $\left(u_n\right)$ est décroissante.
   2. On admet que $u_n$ est positif pour tout entier naturel $n$. Que peut-on en déduire quant à la suite $\left(u_n\right)$ ?
2. On considère la suite $\left(w_n\right)$, définie par : $w_n = u_n - 40$, pour tout $n \geqslant 0$.
   1. Démontrer que $\left(w_n\right)$ est une suite géométrique de raison $0,85$.
   2. En déduire l'expression de $w_n$ puis de $u_n$ en fonction de $n$.
   3. Déterminer l'expression de $v_n$ en fonction de $n$.
3. Valider ou invalider les conjectures effectuées à la question \textbf{3.} de la \textbf{partie A}.
4. On considère l'algorithme suivant : $$ \begin{array}{|c|c|}\hline \text{Entrée :} & n \text{ et } u \text{sont des nombres }\\\hline \text{Initialisation :}&n \text{ prend la valeur } 0\\ \hline &u \text{ prend la valeur } 90\\ \text{Traitement :} &\text{Tant que } u \geqslant 120 - u \text{ faire }\\\hline &\hspace{0.75cm}n \text{ prend la valeur }n + 1\\ &\hspace{0.75cm}u \text{ prend la valeur } 0,85 \times u + 6\\ &\text{ Fin Tant que }\\ \text{ Sortie : } &\text{Afficher } n \\ \hline \end{array} $$
   1. Que fait cet algorithme ?
   2. Quelle valeur affiche-t-il ?

Correction de l'exercice 4 5 points

Candidats N'AYANT PAS SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

Dans un pays de population constante égale à 120 millions, les habitants vivent soit en zone rurale, soit en ville. Les mouvements de population peuvent être modélisés de la façon suivante :

• en 2010, la population compte $90$ millions de ruraux et $30$ millions de citadins ;
• chaque année, 10 % des ruraux émigrent à la ville ;
• chaque année, 5 % des citadins émigrent en zone rurale.

Pour tout entier naturel $n$, on note :

• $u_n$ la population en zone rurale, en l'année $2010 + n$, exprimée en millions d'habitants ;
• $v_n$ la population en ville, en l'année $2010 + n$, exprimée en millions d'habitants.

On a donc $u_0 = 90$ et $v_0 = 30$.

Partie A

1. Traduire le fait que la population totale est constante par une relation liant $u_n$ et $v_n$.
On a $u_n+v_n=120$ pour tout entier naturel $n$.

2. On utilise un tableur pour visualiser l'évolution des suites $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$. Quelles formules peut-on saisir dans les cellules B3 et C3 qui, recopiées vers le bas, permettent d'obtenir la feuille de calcul ci-dessous : $$\begin{array} {|c|c|c|c|}\hline &A &B&C\\ \hline 1&n &\text{ Population en zone rurale }&\text{ Population en ville }\\ \hline 2&0 &90 &30\\ \hline 3&1 &82,5 &37,5\\ \hline 4&2 &76,125 &43,875\\ \hline 5&3 &70,706 &49,294\\ \hline 6&4 &66,100 &53,900\\ \hline 7&5 &62,185 &57.815\\ \hline 8&6 &58,857 &61,143\\ \hline 9&7 &56,029 &63,971\\ \hline 10&8&53,625 &66,375\\ \hline 11&9&51,581 &68,419\\ \hline 12&10&49,844 &70,156\\ \hline 13&11&48,367 &71,633\\ \hline 14&12&47,112 &72,888\\ \hline 15&13&46,045 &73,955\\ \hline 16&14&45,138 &74,862\\ \hline 17&15&44,368 &75,632\\ \hline 18&16&43,713 &76,287\\ \hline 19&17&43,156 &76,844\\ \hline 20&18&42,682 &77,318\\ \hline 21&19&42,280 &77,720\\ \hline 22&20&41,938 &78,062\\ \hline \ldots&\ldots&\ldots&\ldots\\\hline 59&57 &40,005 &79,995\\ \hline 60&58 &40,004 &79,996\\ \hline 61&59 &40,003 &79,997\\ \hline 62&60 &40,003 &79,997\\ \hline 63&61 &40,002 &79,998\\ \hline \end{array}$$
En $B3$ on peut saisir : $=B2*0,9+C2*0,05$ et en $C3$ : $=B2*0,1+C2*0,95$
$\quad$
3. Quelles conjectures peut-on faire concernant l'évolution à long terme de cette population ?
On peut conjecturer que la suite $\left(u_n\right)$ est décroissante, la suite $\left(v_n\right)$ est croissante et que sur le long terme, il y aura $40$ millions de ruraux et $80$ millions de citadins.
$\quad$

Partie B

On admet dans cette partie que, pour tout entier naturel $n,\quad u_{n+1} = 0,85u_n + 6$.

1. 1. Démontrer par récurrence que la suite $\left(u_n\right)$ est décroissante.
   Initialisation : Si $n=0$, $u_0=90$ et $u_1=82,5$
   On a bien $u_1<u_0$. La suite est décroissante.
   La propriété est vraie au rang $0$.
   $\quad$
   Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $u_{n+1} \le u_n$ soit $u_{n+1}-u_n \le 0$
   $\begin{align*} u_{n+2}-u_{n+1} &= 0,85u_{n+1}+6-\left(0,85u_n+6\right) \\\\
   &=0,85u_{n+1}-0,85u_n \\\\
   &=0,85\left(u_{n+1}-u_n\right)\\\\
   &\le 0
   \end{align*}$
   Par conséquent la propriété est vraie au rang $n+1$.
   $\quad$
   Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
   Par conséquent, pour tout entier naturel $u_{n+1} \le u_n$ et la suite $\left(u_n\right)$ est décroissante.
   $\quad$
   
   2. On admet que $u_n$ est positif pour tout entier naturel $n$. Que peut-on en déduire quant à la suite $\left(u_n\right)$ ?
   La suite $\left(u_n\right)$ est décroissante et minorée par $0$. Elle est donc convergente.
   $\quad$
2. On considère la suite $\left(w_n\right)$, définie par : $w_n = u_n - 40$, pour tout $n \geqslant 0$.
   1. Démontrer que $\left(w_n\right)$ est une suite géométrique de raison $0,85$.
   $\begin{align*} w_{n+1} &=u_{n+1}-40 \\\\
   &=0,85u_n+6-40 \\\\
   &=0,85u_n-34\\\\
   &=0,85u_n-0,85\times 40\\\\
   &=0,85\left(u_n-40\right) \\\\
   &=0,85w_n
   \end{align*}$
   La suite $\left(w_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,85$ et de premier terme $w_0=u_0-40=50$.
   $\quad$
   
   2. En déduire l'expression de $w_n$ puis de $u_n$ en fonction de $n$.
   On a donc $w_n=50\times 0,85^n$.
   Or $u_n=w_n+40$ donc $u_n = 40+50\times 0,85^n$.
   $\quad$
   
   3. Déterminer l'expression de $v_n$ en fonction de $n$.
   Puisque $u_n+v_n=120$ on a alors $v_n=120-u_n = 80-50\times 0,85^n$.
   $\quad$
   La suite $\left(u_n\right)$ est bien décroissante et la suite $\left(v_n\right)$, du fait que la population est constante, est croissante.
   $0<0,85<1$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty} 0,85^n=0$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n=40$ et $\lim\limits_{n \to +\infty} v_n=80$.
   Les conjectures faites à la partie A sont donc validées.
3. Valider ou invalider les conjectures effectuées à la question \textbf{3.} de la \textbf{partie A}.
4. On considère l'algorithme suivant : $$ \begin{array}{|c|c|}\hline \text{Entrée :} & n \text{ et } u \text{sont des nombres }\\\hline \text{Initialisation :}&n \text{ prend la valeur } 0\\ \hline &u \text{ prend la valeur } 90\\ \text{Traitement :} &\text{Tant que } u \geqslant 120 - u \text{ faire }\\\hline &\hspace{0.75cm}n \text{ prend la valeur }n + 1\\ &\hspace{0.75cm}u \text{ prend la valeur } 0,85 \times u + 6\\ &\text{ Fin Tant que }\\ \text{ Sortie : } &\text{Afficher } n \\ \hline \end{array} $$
   1. Que fait cet algorithme ?
   La boucle s’arrête quand $u \le 120-u$ soit $u<v$.
   Cet algorithme détermine donc le nombre d’années nécessaires pour que la population rurale soit inférieure à la population citadine
   
   2. Quelle valeur affiche-t-il ?
   D’après la feuille de calcul, l’algorithme affiche $6$

Spécialité 5 points

Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

Dans un pays de population constante égale à 120 millions, les habitants vivent soit en zone rurale, soit en ville. Les mouvements de population peuvent être modélisés de la façon suivante :

• en 2010, la population compte $90$ millions de ruraux et $30$ millions de citadins ;
• chaque année, 10 % des ruraux émigrent à la ville;
• chaque année, 5 % des citadins émigrent en zone rurale.

Pour tout entier naturel $n$, on note :

• $R_n$ l'effectif de la population rurale, exprimé en millions d'habitants, en l'année $2010 + n$,
• $C_n$ l'effectif de la population citadine, exprimé en millions d'habitants, en l'année $2010+n$.

On a donc $R_0 = 90$ et $C_0 = 30$.

1. On considère les matrices $M = \begin{pmatrix}0,9& 0,05\\0,1& 0,95\end{pmatrix}$ et, pour tout entier naturel $n,$ $U_n = \begin{pmatrix}R_n\\C_n \end{pmatrix}$.
   1. Démontrer que, pour tout entier naturel $n,\: U_{n+1} = MU_n$.
   2. Calculer $U_1$. En déduire le nombre de ruraux et le nombre de citadins en 2011.
2. Pour tout entier naturel $n$ non nul, exprimer $U_n$ en fonction de $M^n$ et de $U_0$.
3. Soit la matrice $P = \begin{pmatrix}1&1\\2&- 1 \end{pmatrix}$. Montrer que la matrice  $\begin{pmatrix}\dfrac{1}{3}&\dfrac{1}{3}\\\dfrac{2}{3}&-\dfrac{1}{3}\end{pmatrix}$ est la matrice inverse de $P$ et on la notera $P^{-1}$.
4. 1. On pose $\Delta = P^{-1}MP$. Calculer $\Delta$ à l'aide de la calculatrice.
   2. Démontrer que : $M = P\Delta P^{-1}$.
   3. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$ non nul: \[M^n = P\Delta^nP^{-1}.\]
5. 1. On admet que le calcul matriciel précédent donne : \[ M^n = \begin{pmatrix}\dfrac{1}{3} + \dfrac{2}{3} \times 0,85^n&\dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{3} \times 0,85^n\\\dfrac{2}{3} - \dfrac{2}{3} \times 0,85^n&\dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{3} \times 0,85^n\end{pmatrix}.\] En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $R_n = 50 \times 0,85^n + 40$ et déterminer l'expression de $C_n$ en fonction de $n$.
   2. Déterminer la limite de $R_n$ et de $C_n$ lorsque $n$ tend vers $+ \infty$. Que peut-on en conclure pour la population étudiée ?
6. 1. On admet que $\left(R_n\right)$ est décroissante et que $\left(C_n\right)$ est croissante. Compléter l'algorithme donné en annexe afin qu'il affiche le nombre d'années au bout duquel la population urbaine dépassera la population rurale.
   2. En résolvant l'inéquation d'inconnue $n, 50 \times 0,85^n + 40 < 80 - 50 \times 0,85^n$, retrouver la valeur affichée par l'algorithme.

Correction de l'exercice de Spécialité 5 points

Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

Dans un pays de population constante égale à 120 millions, les habitants vivent soit en zone rurale, soit en ville. Les mouvements de population peuvent être modélisés de la façon suivante :

• en 2010, la population compte $90$ millions de ruraux et $30$ millions de citadins ;
• chaque année, 10 % des ruraux émigrent à la ville;
• chaque année, 5 % des citadins émigrent en zone rurale.

Pour tout entier naturel $n$, on note :

• $R_n$ l'effectif de la population rurale, exprimé en millions d'habitants, en l'année $2010 + n$,
• $C_n$ l'effectif de la population citadine, exprimé en millions d'habitants, en l'année $2010+n$.

On a donc $R_0 = 90$ et $C_0 = 30$.

1. On considère les matrices $M = \begin{pmatrix}0,9& 0,05\\0,1& 0,95\end{pmatrix}$ et, pour tout entier naturel $n,$ $U_n = \begin{pmatrix}R_n\\C_n \end{pmatrix}$.
   1. Démontrer que, pour tout entier naturel $n,\: U_{n+1} = MU_n$.
   Chaque année $90\%$ des ruraux restent à la campagne et $95\%$ des citadins restent à la ville.
   Ainsi, pour tout entier naturel $n$, on a $R_{n+1}=0,9R_n+0,05C_n$ et $C_{n+1}=0,10R_n+0,95C_n$.
   $MU_{n}=\begin{pmatrix} 0,9R_n+0,05C_n\\\\0,1R_n+0,95C_n\end{pmatrix}=U_{n+1}$
   $\quad$
   
   2. Calculer $U_1$. En déduire le nombre de ruraux et le nombre de citadins en 2011.
   $U_1=\begin{pmatrix} 0,9\times 90+0,05\times 30\\\\0,1 \times 90 + 0,95 \times 30\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 82,5\\\\37,5\end{pmatrix}$
   $\quad$
   En 2011, il y avait donc $82,5$ millions de ruraux et $37,5$ millions de citadins.
   $\quad$
2. Pour tout entier naturel $n$ non nul, exprimer $U_n$ en fonction de $M^n$ et de $U_0$.
Puisque $U_{n+1}=MU_n$ alors on a $U_n=M^nU_0$.
$\quad$
3. Soit la matrice $P = \begin{pmatrix}1&1\\2&- 1 \end{pmatrix}$. Montrer que la matrice $\begin{pmatrix}\dfrac{1}{3}&\dfrac{1}{3}\\\dfrac{2}{3}&-\dfrac{1}{3}\end{pmatrix}$ est la matrice inverse de $P$ et on la notera $P^{-1}$.
$\begin{pmatrix}1&1\\2&-1\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}\dfrac{1}{3}&\dfrac{1}{3}\\\\\dfrac{2}{3}&-\dfrac{1}{3}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{3}&\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{3}\\\\\dfrac{2}{3}-\dfrac{2}{3}&\dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{3}\end{pmatrix} = I_2$
où $I_2$ est la matrice identité d’ordre $2$
La matrice $P$ est donc inversible et son inverse est la matrice $\begin{pmatrix}\dfrac{1}{3}&\dfrac{1}{3}\\\\\dfrac{2}{3}&-\dfrac{1}{3}\end{pmatrix}$.
$\quad$
4. 1. On pose $\Delta = P^{-1}MP$. Calculer $\Delta$ à l'aide de la calculatrice.
   A l’aide de la calculatrice, on trouve $\Delta = \begin{pmatrix}1&0&\\0&0,85\end{pmatrix}$.
   $\quad$
   
   2. Démontrer que : $M = P\Delta P^{-1}$.
   $\Delta=P^{-1}MP \Leftrightarrow P\Delta=MP \Leftrightarrow P\Delta P^{-1}=M$
   $\quad$
   
   3. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$ non nul: \[M^n = P\Delta^nP^{-1}.\]
   Initialisation : Si $n=1$, d’après la question précédente, $M=P\Delta P^{-1}$.
   La propriété est vraie au rang $1$.
   $\quad$
   Hérédité : On suppose la propriété vraie au rang $n$ : $M^n=P\Delta^n P^{-1}$.
   $M^{n+1}=M^nM=P \Delta^n P^{-1}P\Delta P^{-1} = P\Delta^n \Delta P^{-1} = P\Delta^{n+1} P^{-1}$
   La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
   $\quad$
   Conclusion : La propriété est vraie au rang $1$ et est héréditaire.
   Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ non nul, on a $M^n=P\Delta^n P^{-1}$.
5. 1. On admet que le calcul matriciel précédent donne : \[ M^n = \begin{pmatrix}\dfrac{1}{3} + \dfrac{2}{3} \times 0,85^n&\dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{3} \times 0,85^n\\\dfrac{2}{3} - \dfrac{2}{3} \times 0,85^n&\dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{3} \times 0,85^n\end{pmatrix}.\] En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $R_n = 50 \times 0,85^n + 40$ et déterminer l'expression de $C_n$ en fonction de $n$.
   On a $U_n=M^nU_0$ donc $U_n=\begin{pmatrix} 30+60\times 0,85^n+10-10\times 0,85^n\\\\60-60\times 0,85^n+20+10\times 0,85^n\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 40+50\times 0,85^n\\80-50\times 0,85^n\end{pmatrix}$
   On a donc $R_n=50\times 0,85^n+40$ et $C_n=80-50\times 0,85^n$.
   $\quad$
   
   2. Déterminer la limite de $R_n$ et de $C_n$ lorsque $n$ tend vers $+ \infty$. Que peut-on en conclure pour la population étudiée ?
   $0<0,85<1$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty} 0,85^n=0$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty} R_n=50$ et $\lim\limits_{n \to +\infty} C_n=80$.
   $\quad$
6. 1. On admet que $\left(R_n\right)$ est décroissante et que $\left(C_n\right)$ est croissante. Compléter l'algorithme donné en annexe afin qu'il affiche le nombre d'années au bout duquel la population urbaine dépassera la population rurale.
   Entrée :
   $\quad$ $n, R$ et $C$ sont des nombres
   Initialisation :
   $\quad$ $n$ prend la valeur $0$
   $\quad$ $R$ prend la valeur $90$
   $\quad$ $C$ prend la valeur $30$
   Traitement :
   $\quad$ Tant que $R\ge C$ faire
   $\qquad$ $n$ prend la valeur $n+1$
   $\qquad$ $R$ prend la valeur $50\times 0,85^n+40$
   $\qquad$ $C$ prend la valeur $120-R$
   $\quad$ Fin Tant que
   Sortie :
   $\quad$ Afficher $n$
   $\quad$
   
   2. En résolvant l'inéquation d'inconnue $n, 50 \times 0,85^n + 40 < 80 - 50 \times 0,85^n$, retrouver la valeur affichée par l'algorithme.
   $\begin{align*} 50\times 0,85^n+40<80-50\times 0,85^n &\Leftrightarrow 100\times 0,85^n<40 \\\\
   &\Leftrightarrow 0,85^n < 0,4 \\\\
   &\Leftrightarrow n \ln 0,85 < \ln 0,4 \\\\
   &\Leftrightarrow n > \dfrac{\ln 0,4}{\ln 0,85}\\\\
   & \Leftrightarrow n>6
   \end{align*}$
   L’algorithme affichera donc $6$.

Exercice 1 6 points

Commun à tous les candidats

Les parties A et B sont indépendantes

Partie A

Une boite contient 200 médailles souvenir dont 50 sont argentées, les autres dorées. Parmi les argentées 60% représentent le château de Blois, 30% le château de Langeais, les autres le château de Saumur. Parmi les dorées 40% représentent le château de Blois, les autres le château de Langeais. On tire au hasard une médaille de la boite. Le tirage est considéré équiprobable et on note :

• $A$ l'évènement « la médaille tirée est argentée » ;
• $D$ l'évènement « la médaille tirée est dorée » ;
• $B$ l'évènement « la médaille tirée représente le château de Blois » ;
• $L$ l'évènement « la médaille tirée représente le château de Langeais » ;
• $S$ l'évènement « la médaille tirée représente le château de Saumur ».

1. Dans cette question, on donnera les résultats sous la forme d'une fraction irréductible.
   1. Calculer la probabilité que la médaille tirée soit argentée et représente le château de Langeais.
   2. Montrer que la probabilité que la médaille tirée représente le château de Langeais est égale à $\dfrac{21}{40}$.
   3. Sachant que la médaille tirée représente le château de Langeais, quelle est la probabilité que celle-ci soit dorée ?
2. Sachant que la médaille tirée représente le château de Saumur, donner la probabilité que celle-ci soit argentée.

Partie B

Une médaille est dite conforme lorsque sa masse est comprise entre $9,9$ et $10,1$ grammes. On dispose de deux machines M$_1$ et M$_2$ pour produire les médailles.

1. Après plusieurs séries de tests, on estime qu'une machine M$_1$ produit des médailles dont la masse $X$ en grammes suit la loi normale d'espérance $10$ et d'écart-type $0,06$. On note $C$ l'évènement « la médaille est conforme ». Calculer la probabilité qu'une médaille produite par la machine M$_1$ ne soit pas conforme. On donnera le résultat arrondi à $10^{-3}$ près.
2. La proportion des médailles non conformes produites par la machine M$_1$ étant jugée trop importante, on utilise une machine M$_2$ qui produit des médailles dont la masse $Y$ en grammes suit la loi normale d'espérance $\mu = 10$ et d'écart-type $\sigma$.
   1. Soit $Z$ la variable aléatoire égale à $\dfrac{Y - 10}{\sigma}$. Quelle est la loi suivie par la variable $Z$ ?
   2. Sachant que cette machine produit 6% de pièces non conformes, déterminer la valeur arrondie au millième de $\sigma$.

Exercice 1 6 points

Commun à tous les candidats

Les parties A et B sont indépendantes

Partie A

Une boite contient 200 médailles souvenir dont 50 sont argentées, les autres dorées. Parmi les argentées 60% représentent le château de Blois, 30% le château de Langeais, les autres le château de Saumur. Parmi les dorées 40% représentent le château de Blois, les autres le château de Langeais. On tire au hasard une médaille de la boite. Le tirage est considéré équiprobable et on note :

• $A$ l'évènement « la médaille tirée est argentée » ;
• $D$ l'évènement « la médaille tirée est dorée » ;
• $B$ l'évènement « la médaille tirée représente le château de Blois » ;
• $L$ l'évènement « la médaille tirée représente le château de Langeais » ;
• $S$ l'évènement « la médaille tirée représente le château de Saumur ».

1. Dans cette question, on donnera les résultats sous la forme d'une fraction irréductible.
   1. Calculer la probabilité que la médaille tirée soit argentée et représente le château de Langeais.

   La situation peut-être modélisée par cet arbre pondéré.

   

   On veut calculer $p(A\cap L)=\dfrac{1}{4} \times \dfrac{3}{10} = \dfrac{3}{40}$
   $\quad$
   
   2. Montrer que la probabilité que la médaille tirée représente le château de Langeais est égale à $\dfrac{21}{40}$.
   D’après la formule des probabilités totales on a :
   $\begin{align*}
   p(L)&=p(A\cap L)+p(D\cap L) \\
   &=\dfrac{3}{40}+\dfrac{3}{4} \times \dfrac{3}{5} \\
   &= \dfrac{21}{40}
   \end{align*}$
   $\quad$
   
   3. Sachant que la médaille tirée représente le château de Langeais, quelle est la probabilité que celle-ci soit dorée ?
   On veut calculer $p_L(D)=\dfrac{p(L\cap D)}{p(L)}$ $=\dfrac{\dfrac{9}{20}}{\dfrac{21}{40}}$ $=\dfrac{6}{7}$
   $\quad$
2. On veut calculer $p_S(A)$.
   Les médailles représentant le château de Saumur sont exclusivement argentées. Donc $p_S(A)=1$.
   $\quad$

Partie B

Une médaille est dite conforme lorsque sa masse est comprise entre $9,9$ et $10,1$ grammes. On dispose de deux machines M$_1$ et M$_2$ pour produire les médailles.

1. Après plusieurs séries de tests, on estime qu'une machine M$_1$ produit des médailles dont la masse $X$ en grammes suit la loi normale d'espérance $10$ et d'écart-type $0,06$. On note $C$ l'évènement « la médaille est conforme ». Calculer la probabilité qu'une médaille produite par la machine M$_1$ ne soit pas conforme. On donnera le résultat arrondi à $10^{-3}$ près.
$P(9,9 \le X \le 10,1) \approx 0,904$.
Donc $p(C)=1-P(9,9 \le X \le 10,1) \approx 0,096$.
$\quad$ En vidéo !
2. La proportion des médailles non conformes produites par la machine M$_1$ étant jugée trop importante, on utilise une machine M$_2$ qui produit des médailles dont la masse $Y$ en grammes suit la loi normale d'espérance $\mu = 10$ et d'écart-type $\sigma$.
   1. Soit $Z$ la variable aléatoire égale à $\dfrac{Y - 10}{\sigma}$. Quelle est la loi suivie par la variable $Z$ ?
   La varaible aléatoire $Z$ suit la loi normale centrée réduite.
   2. Sachant que cette machine produit 6% de pièces non conformes, déterminer la valeur arrondie au millième de $\sigma$.
   $6\%$ des pièces ne sont pas conformes. Par conséquent $94\%$ des pièces le sont.
   Donc :
   $\begin{align*} P(9,9 \le Y \le 10,1) = 0,94
   &\Leftrightarrow P(-0,1 \le Y -10 \le 0,1)=0,94 \\
   &\Leftrightarrow P\left(-\dfrac{0,1}{\sigma} \le \dfrac{Y-10}{\sigma} \le \dfrac{0,1}{\sigma}\right) = 0,94\\
   &\Leftrightarrow P\left(-\dfrac{0,1}{\sigma} \le Z \le \dfrac{0,1}{\sigma}\right) = 0,94\\
   &\Leftrightarrow 2P\left(Z\le \dfrac{0,1}{\sigma}\right)-1 = 0,94 \\
   &\Leftrightarrow 2P\left(Z\le \dfrac{0,1}{\sigma}\right) = 1,94 \\
   &\Leftrightarrow P\left(Z\le \dfrac{0,1}{\sigma}\right) = 0,97 \\
   \end{align*}$
   A l’aide de la calculatrice on trouve que $\dfrac{0,1}{\sigma}\approx 1,881$ et donc $\sigma \approx 0,053$.
   $\quad$

Exercice 2 5 points

Commun à tous les candidats

On considère les fonctions $f$ et $g$ définies sur l'intervalle [$0~;~16$] par \[f(x) = \ln(x + 1)\quad \text{et}\quad g(x) = \ln(x + 1) + 1 - \cos(x).\] Dans un repère du plan $\left(\text{O},~\vec{\imath},~\vec{\jmath}\right)$, on note $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ les courbes représentatives des fonctions $f$ et $g$. Ces courbes sont données en annexe 1 . Comparer les aires des deux surfaces hachurées sur ce graphique.

 Annexe 1

Correction de l'exercice 2 (3 points)

Commun à tous les candidats

$f$ et $g$ sont deux fonctions continues sur $[0;16]$ en tant que composée et somme de fonction continues sur cet intervalle.

Pour tout réel $x$, $1-\cos x \ge 0$ donc $f(x) \le g(x)$. et $f(x)=g(x) \Leftrightarrow x=2k\pi $ où $k\in \mathbb Z$.

Par conséquent l’abscisse de $A$ est $2\pi$ et celle de $B$ est $4\pi$.

Il s’agit alors de calculer l’aire du domaine compris entre $\mathscr{C}_g$ et $\mathscr{C}_g$ et les droites d’équations $x=0$ et $x=2\pi$ dans un premier temps et $x=2\pi$^et $x=4\pi$.

On veut donc comparer $\displaystyle I=\int_0^{2\pi} \left(g(x)-f(x)\right)\mathrm{d}x$ et $\displaystyle I=\int_{2\pi}^{4\pi} \left(g(x)-f(x)\right)\mathrm{d}x$.

Or $g(x)-f(x)=1-\cos x$.

Donc

$\begin{align*} I&=\int_0^{2\pi} \left(1-\cos x\right)\mathrm{d}x \\
&=\left[x-\sin x\right]_0^{2\pi} \\
&= 2\pi
\end{align*}$

$\begin{align*} J&=\int_{2\pi}^{4\pi} \left(1-\cos x\right)\mathrm{d}x \\
&=\left[x-\sin x\right]_{2\pi}^{4\pi} \\
&= 4\pi-2\pi \\
&=2\pi
\end{align*}$

$\quad$

En vidéo !

Exercice 3 6 points

Géométrie

Dans le repère orthonormé $\left(\text{O},~\vec{\imath},~\vec{\jmath},~\vec{k}\right)$ de l'espace, on considère pour tout réel $m$, le plan $P_m$ d'équation \[\dfrac{1}{4} m^2x + (m - 1)y + \dfrac{1}{2} mz - 3 = 0.\]

1. Pour quelle(s) valeur(s) de $m$ le point A($1~;~1~;~1$) appartient-il au plan $P_m$ ?
2. Montrer que les plans $P_1$ et $P_{-4}$ sont sécants selon la droite $(d)$ de représentation paramétrique \[(d)\:\left\{\begin{array}{l c r} x &=& 12 - 2t\\ y &=& 9 - 2t\\ z &=&t \end{array}\right.\quad \text{avec }\:t \in \mathbb R\]
3. 1. Montrer que l'intersection entre $P_0$ et $(d)$ est un point noté B dont on déterminera les coordonnées.
   2. Justifier que pour tout réel $m$, le point B appartient au plan $P_m$.
   3. Montrer que le point B est l'unique point appartenant à $P_m$ pour tout réel $m$.
4. Dans cette question, on considère deux entiers relatifs $m$ et $m'$ tels que \[- 10 \leqslant m \leqslant 10\quad \text{et}\quad - 10 \leqslant m' \leqslant 10.\] On souhaite déterminer les valeurs de $m$ et de $m'$ pour lesquelles $P_m$ et $P_{m'}$ sont perpendiculaires.
   1. Vérifier que $P_1$ et $P_{-4}$ sont perpendiculaires.
   2. Montrer que les plans $P_m$ et $P_{m'}$ sont perpendiculaires si et seulement si \[\left(\dfrac{mm'}{4}\right)^2 + (m - 1)\left(m' - 1\right) + \dfrac{mm'}{4} = 0.\]
   3. On donne l'algorithme suivant : $$ \begin{array}{|l |l |}\hline \text{ Variables :} & m \text{ et } m' \text{ entiers relatifs} \\ \text{ Traitement :}& \text{ Pour } m \text{ allant de -10 à 10 }\\ &\hspace{0,5cm} \text{ Pour } m' \text{ allant de -10 à 10 } \\ &\hspace{1cm} \text{ Si } \left(mm'\right)^2 + 16(m - 1)\left(m' - 1\right) + 4mm' = 0\\ &\hspace{1,5cm}\text{Alors Afficher }\left(m~;~m'\right) \\ &\hspace{0,5cm} \\ &\hspace{0,5cm}\text{ Fin du Pour }\\ &\text{ Fin du Pour}\\ \hline \end{array}$$ Quel est le rôle de cet algorithme?
   4. Cet algorithme affiche six couples d'entiers dont $(- 4~;~1)$, $(0~;~1)$ et $(5~;~- 4)$. Écrire les six couples dans l'ordre d'affichage de l'algorithme.

Correction de l'exercice 3 (5 points)

Commun à tous les candidats

Dans le repère orthonormé $\left(\text{O},~\vec{\imath},~\vec{\jmath},~\vec{k}\right)$ de l'espace, on considère pour tout réel $m$, le plan $P_m$ d'équation \[\dfrac{1}{4} m^2x + (m - 1)y + \dfrac{1}{2} mz - 3 = 0.\]

1. Pour quelle(s) valeur(s) de $m$ le point A($1~;~1~;~1$) appartient-il au plan $P_m$ ?
Si le point $A(1;1;1)$ appartient au plan $P_m$ alors ses coordonnées vérifient l’équation du plan :
$\dfrac{1}{4}m^2+m-1+\dfrac{1}{2}m-3 = 0$
$\Leftrightarrow \dfrac{1}{4}m^2+\dfrac{3}{2}m-4=0$
$\Leftrightarrow m^2 + 6m-16=0$
$\Delta = 36+4\times 16 = 100>0$
Il y a donc deux racines réelles $m_1 = \dfrac{-6-\sqrt{100}}{2} = -8$ et $m_2=\dfrac{-6+\sqrt{100}}{2}=2$.
Le point $A$ appartient donc au plan $P_m$ si $m=-8$ ou si $m=2$.
$\quad$
2. Montrer que les plans $P_1$ et $P_{-4}$ sont sécants selon la droite $(d)$ de représentation paramétrique \[(d)\:\left\{\begin{array}{l c r} x &=& 12 - 2t\\ y &=& 9 - 2t\\ z &=&t \end{array}\right.\quad \text{avec }\:t \in \mathbb R\]
Une équation de $P_1$ est $\dfrac{1}{4}x+\dfrac{1}{2}z-3=0$
Une équation de $P_{-4}$ est $4x-5y-2z-3=0$
$\quad$
Regardons si la droite $(d)$ est bien incluse dans chacun des deux plans.
On remplace $x$, $y$ et $z$ par les équations de $(d)$ dans chacune des deux équations.
Pour $P_1$ : $\dfrac{12-2t}{4}+\dfrac{1}{2}t-3 = 3-\dfrac{1}{2}t+\dfrac{1}{2}t-3=0$
Pour $P_{-4}$ : $4(12-2t)-5(9-2t)-2t-3=48-8t-45+10t-2t-3=0$.
La droite $(d)$ est donc incluse dans chacun des deux plans.
$\quad$
Un vecteur normal à $P_1$ est $\overrightarrow{n_1}\left(\dfrac{1}{4};0;\dfrac{1}{2}\right)$.
Un vecteur normal à $P_{-4}$ est $\overrightarrow{n_{-4}}\left(4;-5;-2\right)$.
Ces deux vecteurs ne sont clairement pas colinéaires. Les plans sont donc sécants selon la droite $(d)$.
$\quad$
3. 1. Montrer que l'intersection entre $P_0$ et $(d)$ est un point noté B dont on déterminera les coordonnées.
   Une équation de $P_0$ est $-y-3=0$ soit $y=-3$.
   Cherchons l’ensemble des points de $(d)$ tels que $y=-3$.
   On résout l’équation $9-2t=-3 \Leftrightarrow 12=2t \Leftrightarrow t=6$.
   La droite $(d)$ et le plan $P_0$ ont donc le point $B(0;-3;6)$ comme intersection.
   $\quad$
   
   2. Justifier que pour tout réel $m$, le point B appartient au plan $P_m$.
   Regardons si les coordonnées de $B$ vérifient l’équation de $P_m$ pour tout $m$.
   $\dfrac{1}{4}m^2 \times 0 – 3(m-1)+\dfrac{6m}{2}-3 = -3m+3+3m-3=0$
   Donc $B$ appartient bien à $P_m$ pour tout réel $m$.
   $\quad$
   
   3. Montrer que le point B est l'unique point appartenant à $P_m$ pour tout réel $m$.
   Supposons qu’il existe un autre point $C$ commun à tous les plans $P_m$.
   La droite $(d)$ étant l’intersection des plans $P_1$ et $P_{-4}$ cela signifie que ce point $C$ appartient à $(d)$.
   Or la droite $(d)$ et le plan $P_0$ n’ont que le point $B$ en commun.
   Ainsi le point $B$ est l’unique point commun à tous les plans $P_m$.
   $\quad$
4. Dans cette question, on considère deux entiers relatifs $m$ et $m'$ tels que \[- 10 \leqslant m \leqslant 10\quad \text{et}\quad - 10 \leqslant m' \leqslant 10.\] On souhaite déterminer les valeurs de $m$ et de $m'$ pour lesquelles $P_m$ et $P_{m'}$ sont perpendiculaires.
   1. Vérifier que $P_1$ et $P_{-4}$ sont perpendiculaires.
   On sait que :
   – Un vecteur normal à $P_1$ est $\overrightarrow{n_1}\left(\dfrac{1}{4};0;\dfrac{1}{2}\right)$.
   – Un vecteur normal à $P_{-4}$ est $\overrightarrow{n_{-4}}\left(4;-5;-2\right)$.
   Or $\overrightarrow{n_1}.\overrightarrow{n_{-4}} = 1 + 0-1 = 0$.
   Les plans $P_1$ et $P_{-4}$ sont donc perpendiculaires.
   $\quad$
   
   2. Montrer que les plans $P_m$ et $P_{m'}$ sont perpendiculaires si et seulement si \[\left(\dfrac{mm'}{4}\right)^2 + (m - 1)\left(m' - 1\right) + \dfrac{mm'}{4} = 0.\]
   Un vecteur normal à $P_m$ est $\overrightarrow{n_m}\left(\dfrac{1}{4}m^2;m-1;\dfrac{m}{2}\right)$.
   b. Un vecteur normal à $P_{m’}$ est $\overrightarrow{n_{m’}}\left(\dfrac{1}{4}m’^2;m’-1;\dfrac{m’}{2}\right)$
   $P_m$ et $P_{m’}$ sont perpendiculaires si, et seulement si, $\overrightarrow{n_m}.\overrightarrow{n_{m’}}=0$
   Or $\overrightarrow{n_m}.\overrightarrow{n_{m’}}=\dfrac{\left(mm’\right)^2}{16}+(m-1)\left(m’-1\right)+\dfrac{mm’}{4}$.
   Par conséquent, $P_m$ et $P_{m’}$ sont perpendiculaires si, et seulement si, $\left(\dfrac{mm’}{4}\right)^2+(m-1)\left(m’-1\right)+\dfrac{mm’}{4} = 0$.
   $\quad$
   Une autre méthode consiste à résoudre le système de 2 équations à 3 inconnues formé par les équations des plans $P_1$ et $P_{-4}$
   En vidéo !
   3. On donne l'algorithme suivant : $$ \begin{array}{|l |l |}\hline \text{ Variables :} & m \text{ et } m' \text{ entiers relatifs} \\ \text{ Traitement :}& \text{ Pour } m \text{ allant de -10 à 10 }\\ &\hspace{0,5cm} \text{ Pour } m' \text{ allant de -10 à 10 } \\ &\hspace{1cm} \text{ Si } \left(mm'\right)^2 + 16(m - 1)\left(m' - 1\right) + 4mm' = 0\\ &\hspace{1,5cm}\text{Alors Afficher }\left(m~;~m'\right) \\ &\hspace{0,5cm}\\ &\hspace{0,5cm}\text{ Fin du Pour }\\ &\text{ Fin du Pour}\\ \hline \end{array}$$ Quel est le rôle de cet algorithme?
   Cet algorithme fournit tous les couples $\left(m;m’\right)$ d’entiers appartenant à $[-10;10]$ pour lesquels $P_m$ et $P_{m’}$ sont perpendiculaires.
   Remarque : Il fallait voir que la condition dans le test SI est équivalente à la condition vue en 4.b. (il suffit de diviser par $16$).
   $\quad$
   
   4. Cet algorithme affiche six couples d'entiers dont $(- 4~;~1)$, $(0~;~1)$ et $(5~;~- 4)$. Écrire les six couples dans l'ordre d'affichage de l'algorithme.
   Si un couple $\left(m;m’\right)$ convient alors le couple $\left(m’;m\right)$ convient également.
   Les six couples d’entiers sont donc $(-4;1)$, $(1;-4)$, $(0;1)$, $(1;0)$, $(5;-4)$ et $(-4;5)$.
   Ils apparaîtront dans l’ordre suivant : $(-4;1)$, $(-4;5)$, $(0;1)$, $(1;-4)$, $(1;0)$ et $(5;-4)$.
   $\quad$

Exercice 4 5 points

Candidats N'AYANT PAS SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

On considère les nombres complexes $z_n$ définis, pour tout entier naturel $n$, par \[z_0 = 1\quad \text{et}\quad z_{n+1} = \left(1 + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right)z_n.\] On note $A_n$ le point d'affixe $z_n$ dans le repère orthonormé$\left(\text{O},~\vec{u},~\vec{v}\right)$ de l'annexe 2. L'objet de cet exercice est d'étudier la construction des points $A_n$.

1. 1. Vérifier que $1 + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{3} = \dfrac{2}{\sqrt{3}}\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{6}}$.
   2. En déduire $z_1$ et $z_2$ sous forme exponentielle.
2. 1. Montrer que pour tout entier naturel $n$, \[z_n = \left(\dfrac{2}{\sqrt{3}} \right)^n \text{e}^{\text{i}n\frac{\pi}{6}}.\]
   2. Pour quelles valeurs de $n$, les points O, $A_0$ et $A_n$ sont-ils alignés ?
3. Pour tout entier naturel $n$, on pose $d_n = \left|z_{n+1} - z_n\right|$.
   1. Interpréter géométriquement $d_n$.
   2. Calculer $d_0$.
   3. Montrer que pour tout entier naturel $n$ non nul, \[z_{n+2} - z_{n+1} = \left(1 + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right) \left(z_{n+1} - z_n\right).\]
   4. En déduire que la suite $\left(d_n\right)_{n \geqslant 0}$ est géométrique puis que pour tout entier naturel $n$, \[d_n = \dfrac{\sqrt{3}}{3}\left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)^n.\]
4. 1. Montrer que pour tout entier naturel $n$, \[\left|z_{n+1}\right|^2 = \left|z_{n}\right|^2 + d_n^2.\]
   2. En déduire que, pour tout entier naturel $n$, le triangle O$A_nA_{n+1}$ est rectangle en $A_n$.
   3. Construire, à la règle non graduée et au compas, le point $A_5$ sur la figure de l'annexe 2 à rendre avec la copie.
   4. Justifier cette construction.

Correction de l'exercice 4 5 points

Candidats N'AYANT PAS SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

On considère les nombres complexes $z_n$ définis, pour tout entier naturel $n$, par \[z_0 = 1\quad \text{et}\quad z_{n+1} = \left(1 + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right)z_n.\] On note $A_n$ le point d'affixe $z_n$ dans le repère orthonormé$\left(\text{O},~\vec{u},~\vec{v}\right)$ de l'annexe 2. L'objet de cet exercice est d'étudier la construction des points $A_n$.

1. 1. Vérifier que $1 + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{3} = \dfrac{2}{\sqrt{3}}\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{6}}$.
   $$\begin{align*} \dfrac{2}{\sqrt{3}}\text{e}^{\text{i} \frac{\pi}{6}} &=\dfrac{2}{\sqrt{3}}\left(\cos \dfrac{\pi}{6}+\text{i} \sin \dfrac{\pi}{6}\right) \\\\
   &=\dfrac{2}{\sqrt{3}}\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{\text{i}}{2}\right) \\\\
   &=1+\dfrac{\text{i}}{\sqrt{3}} \\\\
   &=1+\dfrac{\sqrt{3}}{3}\text{i}
   \end{align*}$$
   $\quad$
   
   2. En déduire $z_1$ et $z_2$ sous forme exponentielle.
   $z_1 = \left(1+\text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right) \times 1 = \dfrac{2}{\sqrt{3}}\text{e}^{\text{i} \frac{\pi}{6}}$
   $z_2 = \left(1+\text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right) \times z_1 = \left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\text{e}^{\text{i} \frac{\pi}{6}}\right)^2 =\dfrac{4}{3}\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}$
   $\quad$
2. 1. Montrer que pour tout entier naturel $n$, \[z_n = \left(\dfrac{2}{\sqrt{3}} \right)^n \text{e}^{\text{i}n\frac{\pi}{6}}.\]
   Montrons ce résultat par récurrence sur $n$.
   Initialisation : Si $n=0$ alors $z_0=1$ et $\left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)^0\text{e}^{\text{i}\times 0}=1$.
   La propriété est donc vraie au rang $0$.
   $\quad$
   Hérédité : On suppose la propriété vraie au rang $n$ : $z_n=\left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)^n\text{e}^{\text{i} n\frac{\pi}{6}}$
   $\begin{align*} z_{n+1} &=\left(1+\text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right) \times z_n \\\\
   &= \left(1+\text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right) \times \left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)^n\text{e}^{\text{i} n\frac{\pi}{6}} \\\\
   &= \left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)^{n+1}\text{e}^{\text{i} (n+1)\frac{\pi}{6}}
   \end{align*}$
   La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
   $\quad$
   Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
   Donc, pour tout entier naturel $n$, on a $z_n=\left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)^n\text{e}^{\text{i} n\frac{\pi}{6}}$
   $\quad$
   
   2. Pour quelles valeurs de $n$, les points O, $A_0$ et $A_n$ sont-ils alignés ?
   $O$, $A_0$ et $A_n$ sont alignés si, et seulement si, $A_n$ est sur l’axe des réels
   si, et seulement si, $z_n$ est réel
   si, et seulement si, $n\dfrac{\pi}{6} =k\pi$ avec $k\in \mathbb Z$
   si, et seulement si, $n$ est un multiple de $6$
   $\quad$
3. Pour tout entier naturel $n$, on pose $d_n = \left|z_{n+1} - z_n\right|$.
   1. Interpréter géométriquement $d_n$.
   $d_n = \left|z_{n+1}-z_n\right| = A_nA_{n+1}$
   $d_n$ est donc la distance séparant les points $A_{n+1}$ et $A_n$.
   $\quad$
   
   2. Calculer $d_0$.
   $d_0=\left|1+\text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{3}-1\right|$ $=\left|\text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right|$ $=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$.
   $\quad$
   
   3. Montrer que pour tout entier naturel $n$ non nul, \[z_{n+2} - z_{n+1} = \left(1 + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right) \left(z_{n+1} - z_n\right).\]
   Pour tout entier naturel $n$ non nul,
   $\begin{align*} z_{n+2}-z_{n+1} &= \left(1+\text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right) \times z_{n+1}-\left(1+\text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right) \times z_n \\\\
   &=\left(1+\text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right) \times \left(z_{n+1}-z_n\right)
   \end{align*}$
   $\quad$
   
   4. En déduire que la suite $\left(d_n\right)_{n \geqslant 0}$ est géométrique puis que pour tout entier naturel $n$, \[d_n = \dfrac{\sqrt{3}}{3}\left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)^n.\]
   Par conséquent :
   $\begin{align*} d_{n+1} &=\left|z_{n+2}-z_{n+1}\right| \\\\
   &=\left|\left(1+\text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right) \times \left(z_{n+1}-z_n\right) \right| \\\\
   &= \left|\left(1+\text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right)\right| \times \left|z_{n+1}-z_{n}\right| \\\\
   &=\dfrac{2}{\sqrt{3}}d_n
   \end{align*}$
   La suite $\left(d_n\right)$ est donc géométrique de raison $\dfrac{2}{\sqrt{3}}$ et de premier terme $d_0=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$.
   Ainsi, pour tout entier naturel $n$ on a $d_n = \dfrac{\sqrt{3}}{3}\left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)^n$.
   $\quad$
4. 1. Montrer que pour tout entier naturel $n$, \[\left|z_{n+1}\right|^2 = \left|z_{n}\right|^2 + d_n^2.\]
   Pour tout entier naturel $n$ on a :
   $\begin{align*} \left|z_n\right|^2+d_n^2 &= \left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)^{2n} + \dfrac{1}{3} \times \left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)^{2n} \\\\
   &=\left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)^{2n} \times \left(1+\dfrac{1}{3}\right) \\\\
   &=\left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)^{2n} \times \dfrac{4}{3} \\\\
   &=\left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)^{2n} \times \left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)^2 \\\\
   &=\left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)^{2n+2} \\\\
   &=\left|z_{n+1}\right|^2
   \end{align*}$
   $\quad$
   
   2. En déduire que, pour tout entier naturel $n$, le triangle O$A_nA_{n+1}$ est rectangle en $A_n$.
   Dans le triangle $OA_nA_{n+1}$ on a :
   $\begin{align*} OA_{n+1}^2 &= \left|z_{n+1}\right|^2 \\
   &= \left|z_n\right|^2+d_n^2 \\
   &=OA_n^2+A_nA_{n+1}^2
   \end{align*}$
   D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $OA_nA_{n+1}$ est rectangle en $A_n$.
   $\quad$
   
   3. Construire, à la règle non graduée et au compas, le point $A_5$ sur la figure de l'annexe 2 à rendre avec la copie.
   
   4. Justifier cette construction.
   A l’aide du compas, on trace la médiatrice de $[AO]$. Cela nous permet de tracer la droite perpendiculaire à $\left[OA_4\right]$ passant par $A_4$.
   A l’aide du compas, on trace la médiatrice de $\left[OA_6\right]$. On obtient le milieu $I$ de $\left[OA_6\right]$.
   On trace le demi-cercle de diamètre $\left[OA_6\right]$ situé au-dessus de l’axe des abscisses.
   Les triangles $OA_5A_4$ et $OA_5A_6$ étant respectivement rectangles en $A_4$ et $A_5$, le point $A_5$ appartient à la médiatrice de $[AO]$ et au demi-cercle.
   $\quad$

Spécialité 5 points

Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

Les parties A et B peuvent être traitées de manière indépendante

Partie A

Afin de crypter un message, on utilise un chiffrement affine. Chaque lettre de l'alphabet est associée à un nombre entier comme indiqué dans le tableau ci-dessous : $$ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline A&B&C&D&E&F&G&H&I&J&K&L&M&N&O&P&Q&R&S&T&U&V&W&X&Y&Z\\ \hline 0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&14&15&16&17&18&19&20&21&22&23&24&25\\ \hline \end{array}$$ Soit $x$ le nombre associé à la lettre à coder. On détermine le reste $y$ de la division euclidienne de $7x + 5$ par $26$, puis on en déduit la lettre associée à $y$ (c'est elle qui code la lettre d'origine). Exemple : M correspond à $x = 12$ $7 \times 12 + 5 = 89$ Or $89 \equiv 11\:\: [26]$ et 11 correspond à la lettre L, donc la lettre M est codée par la lettre L.

1. Coder la lettre L.
2. 1. Soit $k$ un entier relatif. Montrer que si $k \equiv 7x \:\: [26]$ alors $15k \equiv x\:\:[26]$.
   2. Démontrer la réciproque de l'implication précédente.
   3. En déduire que $y \equiv 7x + 5\:\:[26]$ équivaut à $x \equiv 15y + 3\:\:[26]$.
3. À l'aide de la question précédente décoder la lettre F.

Partie B

On considère les suites $\left(a_n\right)$ et $\left(b_n\right)$ telles que $a_0$ et $b_0$ sont des entiers compris entre 0 et 25 inclus et pour tout entier naturel $n,\: a_{n+1} = 7a_n + 5$ et $b_{n+1} = 15b_n + 3$.

Montrer que pour tout entier naturel $n,\: a_n = \left(a_0 + \dfrac{5}{6}\right) \times 7^n - \dfrac{5}{6}$.

On admet pour la suite du problème que pour tout entier naturel $n,$ $ b_n = \left(b_0 + \dfrac{3}{14}\right) \times 15^n - \dfrac{3}{14}$.

Partie C

Déchiffrer un message codé avec un chiffrement affine ne pose pas de difficulté (on peut tester les 312 couples de coefficients possibles).

Afin d'augmenter cette difficulté de décryptage, on propose d'utiliser une clé qui indiquera pour chaque lettre le nombre de fois où on lui applique le chiffrement affine de la partie A.

Par exemple pour coder le mot MATH avec la clé 2-2-5-6, on applique « 2» fois le chiffrement affine à la lettre M (cela donne E), « 2 » fois le chiffrement à la lettre A, « 5 » fois le chiffrement à la lettre T et enfin « 6 » fois le chiffrement à la lettre H.

Dans cette partie, on utilisera la clé 2-2-5-6.

Décoder la lettre Q dans le mot IYYQ.

Correction de l'exercice de Spécialité 5 points

Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

Les parties A et B peuvent être traitées de manière indépendante

Partie A

Afin de crypter un message, on utilise un chiffrement affine. Chaque lettre de l'alphabet est associée à un nombre entier comme indiqué dans le tableau ci-dessous : $$ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline A&B&C&D&E&F&G&H&I&J&K&L&M&N&O&P&Q&R&S&T&U&V&W&X&Y&Z\\ \hline 0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&14&15&16&17&18&19&20&21&22&23&24&25\\ \hline \end{array}$$ Soit $x$ le nombre associé à la lettre à coder. On détermine le reste $y$ de la division euclidienne de $7x + 5$ par $26$, puis on en déduit la lettre associée à $y$ (c'est elle qui code la lettre d'origine). Exemple : M correspond à $x = 12$ $7 \times 12 + 5 = 89$ Or $89 \equiv 11\:\: [26]$ et 11 correspond à la lettre L, donc la lettre M est codée par la lettre L.

1. Coder la lettre L.
$L$ est associé au nombre $11$.
$7\times 11+5 = 82 \equiv 4\quad[26]$
$4$ correspond à la lettre $E$.
Ainsi $L$ est codé en $E$.
$\quad$
2. 1. Soit $k$ un entier relatif. Montrer que si $k \equiv 7x \:\: [26]$ alors $15k \equiv x\:\:[26]$.
   Si $k\equiv 7x \quad[26]$ alors $15k \equiv 105x \quad [26] \equiv x \quad [26]$.
   $\quad$
   b. Si $15k\equiv x \quad [26]$ alors $105k \equiv 7x \quad [26]$ soit $k\equiv 7x \quad [26]$.
   $\quad$
   
   2. Démontrer la réciproque de l'implication précédente.
   $y\equiv 7x+5 \quad [26]$
   équivaut à $7x \equiv y-5 \quad [26]$
   équivaut à, d’après la question 2.a. $x \equiv 15(y-5) \quad [26]$
   équivaut à $x \equiv 15y – 75 \quad [26]$
   équivaut à $x \equiv 15y +3 \quad [26]$
   $\quad$
   3. En déduire que $y \equiv 7x + 5\:\:[26]$ équivaut à $x \equiv 15y + 3\:\:[26]$.
   La lettre $E$ est associée au nombre $4$.
   Donc $y=4$ et $x \equiv 15 \times 4+3 \quad [26] \equiv 63 \quad [26]$ $\equiv 11 \quad [26]$.
   Ainsi $E$ se décode en $L$.
   $\quad$
3. À l'aide de la question précédente décoder la lettre F.

Partie B

On considère les suites $\left(a_n\right)$ et $\left(b_n\right)$ telles que $a_0$ et $b_0$ sont des entiers compris entre 0 et 25 inclus et pour tout entier naturel $n,\: a_{n+1} = 7a_n + 5$ et $b_{n+1} = 15b_n + 3$.

Montrer que pour tout entier naturel $n,\: a_n = \left(a_0 + \dfrac{5}{6}\right) \times 7^n - \dfrac{5}{6}$.

Montrons le résultat par récurrence.

Initialisation : Si $n=0$ alors $\left(a_0+\dfrac{5}{6}\right) \times 7^0-\dfrac{5}{6}$ $ = a_0+\dfrac{5}{6}-\dfrac{5}{6}$ $=a_0$.
La propriété est vraie au rang $0$.

Hérédité : On suppose la propriété vraie au rang $n$ : $a_n= \left(a_0+\dfrac{5}{6}\right) \times 7^n-\dfrac{5}{6}$

Donc :

$$\begin{align*} a_{n+1} &=7a_n+5 \\\\
&=7 \left(\left(a_0+\dfrac{5}{6}\right) \times 7^n-\dfrac{5}{6}\right)+5 \\\\
&= \left(a_0+\dfrac{5}{6}\right) \times 7^{n+1}-\dfrac{35}{6}+5 \\\\
&= \left(a_0+\dfrac{5}{6}\right) \times 7^{n+1}-\dfrac{5}{6}
\end{align*}$$
La propriété est donc vraie au rang $n+1$.

Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, on a $a_n= \left(a_0+\dfrac{5}{6}\right) \times 7^n-\dfrac{5}{6}$.

Partie C

Déchiffrer un message codé avec un chiffrement affine ne pose pas de difficulté (on peut tester les 312 couples de coefficients possibles).

Afin d'augmenter cette difficulté de décryptage, on propose d'utiliser une clé qui indiquera pour chaque lettre le nombre de fois où on lui applique le chiffrement affine de la partie A.

Par exemple pour coder le mot MATH avec la clé 2-2-5-6, on applique « 2» fois le chiffrement affine à la lettre M (cela donne E), « 2 » fois le chiffrement à la lettre A, « 5 » fois le chiffrement à la lettre T et enfin « 6 » fois le chiffrement à la lettre H.

Dans cette partie, on utilisera la clé 2-2-5-6.

Première méthode

On cherche une lettre qui codée 6 fois de suite donne la lettre Q. Autrement dit, il suffit de décoder 6 fois de suite la lettre Q pour obtenir le résultat demandé. $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline \text{lettre} & y & 15y+3 & \text{reste } x & \text{lettre} \\ \hline Q & 16 & 243 & 9 & J \\ \hline J & 9 & 138 & 8 & I \\ \hline I & 8 & 123 & 19 & T \\ \hline T & 19 & 288 & 2 & C \\ \hline C & 2 & 33 & 7 & H \\ \hline H & 7 & 108 & 4 & E \\ \hline \end{array} $$ Donc la lettre Q se décode en E.

Deuxième méthode

On peut utiliser les résultats de la partie B. On doit appliquer 6 fois la fonction $x \longmapsto 15x+3$ successivement au nombre 16 (correspondant à Q), puis à son image, puis à l'image de l'image, etc. On cherche donc, avec les notations de la partie B, le nombre $b_6$ sachant que $b_0=16$. $b_6= \left ( 16 +\dfrac{3}{14}\right ) \times 15^6 - \dfrac{3}{14} = 184690848 $ Le reste de la division de 184690848 par 26 est 4 qui correspond bien à E.

Remarque : Le mot IYYQ se décode en CODE par le processus détaillé dans la partie C.

Exercice 1 7 points

Commun à tous les candidats

Une usine produit de l'eau minérale en bouteilles. Lorsque le taux de calcium dans une bouteille est inférieur à 6,5 mg par litre, on dit que l'eau de cette bouteille est très peu calcaire.
Dans cet exercice les résultats approchés seront arrondis au millième.

Partie A

L'eau minérale provient de deux sources, notées «source A »  et «source B ». La probabilité que l'eau d'une bouteille prélevée au hasard dans la production d'une journée de la source A soit très peu calcaire est $0,17$. La probabilité que l'eau d'une bouteille prélevée au hasard dans la production d'une journée de la source B soit très peu calcaire est $0,10$.
La source A fournit 70% de la production quotidienne totale des bouteilles d'eau et la source B le reste de cette production.
On prélève au hasard une bouteille d'eau dans la production totale de la journée. On considère les évènements suivants : $A$ :«La bouteille d'eau provient de la source A » $B$ :«La bouteille d'eau provient de la source B » $S$ :«L'eau contenue dans la bouteille d'eau est très peu calcaire ».

1. Déterminer la probabilité de l'évènement $A \cap S$.
2. Montrer que la probabilité de l'évènement $S$ vaut $0,149$.
3. Calculer la probabilité que l'eau contenue dans une bouteille provienne de la source A sachant qu'elle est très peu calcaire.
4. Le lendemain d'une forte pluie, l'usine prélève un échantillon de 1000 bouteilles provenant de la source A. Parmi ces bouteilles, $211$ contiennent de l'eau très peu calcaire. Donner un intervalle permettant d'estimer au seuil de 95 % la proportion de bouteilles contenant de l'eau très peu calcaire sur l'ensemble de la production de la source A après cette intempérie.

Partie B

On note $X$ la variable aléatoire qui, à chaque bouteille prélevée au hasard dans la production d'une journée de la source A, associe le taux de calcium de l'eau qu'elle contient. On suppose que $X$ suit la loi normale de moyenne $8$ et d'écart-type $1,6$. On note $Y$ la variable aléatoire qui, à chaque bouteille prélevée au hasard dans la production d'une journée de la source B, associe le taux de calcium qu'elle contient. On suppose que $Y$ suit la loi normale de moyenne $9$ et d'écart-type $\sigma$.

1. Déterminer la probabilité pour que le taux de calcium mesuré dans une bouteille prise au hasard dans la production d'une journée de la source A soit compris entre $6,4$ mg et $9,6$ mg.
2. Calculer la probabilité $p(X \leqslant 6,5)$.
3. Déterminer $\sigma$ sachant que la probabilité qu'une bouteille prélevée au hasard dans la production d'une journée de la source B contienne de l'eau très peu calcaire est $0,1$.

Partie C

Le service commercial a adopté pour les étiquettes des bouteilles la forme représentée ci-dessous dans un repère orthonormé du plan. La forme de ces étiquettes est délimitée par l'axe des abscisses et la courbe $\mathcal{C}$ d'équation $y = a\cos x$ avec $x \in \left[- \frac{\pi}{2}~;~\frac{\pi}{2}\right]$ et $a$ un réel strictement positif.
Un disque situé à l'intérieur est destiné à recevoir les informations données aux acheteurs. On considère le disque de centre le point A de coordonnées $\left(0~;~\frac{a}{2}\right)$ et de rayon $\frac{a}{2}$. On admettra que ce disque se trouve entièrement en dessous de la courbe $\mathcal{C}$ pour des valeurs de $a$ inférieures à $1,4$.

1. Justifier que l'aire du domaine compris entre l'axe des abscisses, les droites d'équation $x = - \frac{\pi}{2}$ et $x = \frac{\pi}{2}$, et la courbe $\mathcal{C}$ est égale à $2a$ unités d'aire.
2. Pour des raisons esthétiques, on souhaite que l'aire du disque soit égale à l'aire de la surface grisée. Quelle valeur faut-il donner au réel $a$ pour respecter cette contrainte ?

Correction de l'exercice 1 (7 points)

Commun à tous les candidats

Une usine produit de l'eau minérale en bouteilles. Lorsque le taux de calcium dans une bouteille est inférieur à 6,5 mg par litre, on dit que l'eau de cette bouteille est très peu calcaire.
Dans cet exercice les résultats approchés seront arrondis au millième.

Partie A

L'eau minérale provient de deux sources, notées «source A »  et «source B ». La probabilité que l'eau d'une bouteille prélevée au hasard dans la production d'une journée de la source A soit très peu calcaire est $0,17$. La probabilité que l'eau d'une bouteille prélevée au hasard dans la production d'une journée de la source B soit très peu calcaire est $0,10$.
La source A fournit 70% de la production quotidienne totale des bouteilles d'eau et la source B le reste de cette production.
On prélève au hasard une bouteille d'eau dans la production totale de la journée. On considère les évènements suivants : $A$ :«La bouteille d'eau provient de la source A » $B$ :«La bouteille d'eau provient de la source B » $S$ :«L'eau contenue dans la bouteille d'eau est très peu calcaire ».

1. Déterminer la probabilité de l'évènement $A \cap S$.

On peut schématiser la situation à l’aide de cet arbre pondéré.



Ainsi, $p(A\cap S)=0,7\times 0,17 = 0,119$.

2. Montrer que la probabilité de l'évènement $S$ vaut $0,149$.
D’après la formule des probabilités totales on a :
$\begin{align*} p(S) &=p(A\cap S)+p(B\cap S) \\
&= 0,7 \times 0,17 + 0,3 \times 0,1 \\
&= 0,149
\end{align*}$
$\quad$
3. Calculer la probabilité que l'eau contenue dans une bouteille provienne de la source A sachant qu'elle est très peu calcaire.
On veut calculer $p_S(A) = \dfrac{p(A\cap S)}{p(S)} = \dfrac{0,119}{0,149} = \dfrac{119}{149} \approx 0,799$.
$\quad$
4. Le lendemain d'une forte pluie, l'usine prélève un échantillon de 1000 bouteilles provenant de la source A. Parmi ces bouteilles, $211$ contiennent de l'eau très peu calcaire. Donner un intervalle permettant d'estimer au seuil de 95 % la proportion de bouteilles contenant de l'eau très peu calcaire sur l'ensemble de la production de la source A après cette intempérie.
On a $n=1~000$ et la fréquence observée est $f=\dfrac{211}{1~000}=0,211$.
Par conséquent $n=1~000\ge 30$, $nf = 211 \ge 5$ et $n(1-f)=789 \ge 5$.
Les conditions pour déterminer un intervalle de confiance sont vérifiées.
Un intervalle de confiance au seuil de $95\%$ est donc :
$\begin{align*} I_{1~000}&=\left[0,211-\dfrac{1}{\sqrt{1~000}};0,211+\dfrac{1}{\sqrt{1~000}}\right] \\
&\approx [0,179;0,243]
\end{align*}$
$\quad$

Partie B

On note $X$ la variable aléatoire qui, à chaque bouteille prélevée au hasard dans la production d'une journée de la source A, associe le taux de calcium de l'eau qu'elle contient. On suppose que $X$ suit la loi normale de moyenne $8$ et d'écart-type $1,6$. On note $Y$ la variable aléatoire qui, à chaque bouteille prélevée au hasard dans la production d'une journée de la source B, associe le taux de calcium qu'elle contient. On suppose que $Y$ suit la loi normale de moyenne $9$ et d'écart-type $\sigma$.

1. Déterminer la probabilité pour que le taux de calcium mesuré dans une bouteille prise au hasard dans la production d'une journée de la source A soit compris entre $6,4$ mg et $9,6$ mg.

2ND DISTR 2NORMALFRép( \1 , \2,\3,\4)EXE
Avec une calculatrice de type TI

$$NormalFR\text{é}p(\1,\2,\3,\4) \approx \5$$

$$P(\1 \leq \6 \leq \2)\approx \5 \text{ à } 10^{-\7} \text{ près.}$$

 

2. Calculer la probabilité $p(X \leqslant 6,5)$.
On a $P(X \le 6,5) = 0,5 – P(6,5 \le X \le 8) \approx 0,159$


2ND DISTR 2NORMALFRép( -10^(99) , \1,$\2$,$\3$)EXE
Avec une calculatrice de type TI

$$NormalFR\text{é}p(-10^{99},\1,\2,\3) \approx \4$$

$$P( \5 \leq \1)\approx \4 \text{ à } 10^{-\6} \text{ près.}$$
3. Déterminer $\sigma$ sachant que la probabilité qu'une bouteille prélevée au hasard dans la production d'une journée de la source B contienne de l'eau très peu calcaire est $0,1$.
On veut que :
$\begin{align*} P(Y \le 6,5) = 0,1 &\Leftrightarrow P(Y – 9 \le -2,5) = 0,1 \\\\
&\Leftrightarrow P\left(\dfrac{Y-9}{\sigma}\le -\dfrac{2,5}{\sigma}\right) = 0,1
\end{align*}$
Or la variable aléatoire $Y’=\dfrac{Y-9}{\sigma}$ suit la loi normale centrée réduite.
A l’aide de la calculatrice, on trouve que $P(Y’\le a)=0,1$ pour $a\approx -1,282$
Par conséquent $-\dfrac{2,5}{\sigma} \approx -1,282 \Leftrightarrow \sigma \approx \dfrac{2,5}{1,282} \Leftrightarrow \sigma \approx 1,95$.
$\quad$

Partie C

Le service commercial a adopté pour les étiquettes des bouteilles la forme représentée ci-dessous dans un repère orthonormé du plan. La forme de ces étiquettes est délimitée par l'axe des abscisses et la courbe $\mathcal{C}$ d'équation $y = a\cos x$ avec $x \in \left[- \frac{\pi}{2}~;~\frac{\pi}{2}\right]$ et $a$ un réel strictement positif.
Un disque situé à l'intérieur est destiné à recevoir les informations données aux acheteurs. On considère le disque de centre le point A de coordonnées $\left(0~;~\frac{a}{2}\right)$ et de rayon $\frac{a}{2}$. On admettra que ce disque se trouve entièrement en dessous de la courbe $\mathcal{C}$ pour des valeurs de $a$ inférieures à $1,4$.

1. Justifier que l'aire du domaine compris entre l'axe des abscisses, les droites d'équation $x = - \frac{\pi}{2}$ et $x = \frac{\pi}{2}$, et la courbe $\mathcal{C}$ est égale à $2a$ unités d'aire.
On appelle $\mathscr{A}$ l’aire cherchée.
La fonction $x \mapsto a\cos x$ est continue et positive sur $\left[-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}\right]$.
Ainsi :
$\begin{align*} \mathscr{A} &=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} a\cos x \mathrm{d}x \\\\
&= \left[a\sin x\right]_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\\\\
&=a-(-a) \\\\
&=2a
\end{align*}$

2. Pour des raisons esthétiques, on souhaite que l'aire du disque soit égale à l'aire de la surface grisée. Quelle valeur faut-il donner au réel $a$ pour respecter cette contrainte ?
Le rayon du disque est $\dfrac{a}{2}$. L’aire du disque est donc de $\pi\left(\dfrac{a}{2}\right)^2 = \dfrac{a^2\pi}{4}$.
On veut donc résoudre l’équation :
$\begin{align*} 2a-\dfrac{a^2\pi}{4} = \dfrac{a^2\pi}{4} &\Leftrightarrow 2a -\dfrac{a^2 \pi}{2} = 0 \\\\
&\Leftrightarrow \dfrac{4a-a^2\pi}{2}=0 \\\\
&\Leftrightarrow \dfrac{a\left(4-a\pi\right)}{2} = 0
\end{align*}$
$a$ étant strictement positif, l’équation précédente revient à résoudre $4-a\pi=0$ soit $a=\dfrac{4}{\pi}$.

Commun à tous les candidats

Exercice 2 (3 points)

Pour chaque réel $a$, on considère la fonction $f_a$ définie sur l'ensemble des nombres réels $\mathbb R$ par \[f_a(x) = \text{e}^{x - a} - 2x + \text{e}^{a}.\]

1. Montrer que pour tour réel $a$, la fonction $f_a$ possède un minimum.
2. Existe-t-il une valeur de $a$ pour laquelle ce minimum est le plus petit possible ?

Commun à tous les candidats

Correction de l'exercice 2 (3 points)

Commun à tous les candidats

Pour chaque réel $a$, on considère la fonction $f_a$ définie sur l'ensemble des nombres réels $\mathbb R$ par \[f_a(x) = \text{e}^{x - a} - 2x + \text{e}^{a}.\]

1. Montrer que pour tour réel $a$, la fonction $f_a$ possède un minimum.
La fonction $f_a$ est dérivable sur $\mathbb R$ en tant que somme de fonctions dérivables sur $\mathbb R$.
Pour tout réel $x$ on a : $f'(x)=\text{e}^{x-a}-2$.
Or $\text{e}^{x-a}-2 \ge 0 \Leftrightarrow \text{e}^{x-a}=2 \Leftrightarrow x-a = \ln 2 \Leftrightarrow x=a+\ln 2$.
La fonction $f$ est donc strictement décroissante sur $]-\infty;a+\ln 2]$ et strictement croissante sur $[a+\ln 2;+\infty[$.
La fonction $f_a$ possède donc un minimum en $a+\ln 2$.
$\quad$
2. Existe-t-il une valeur de $a$ pour laquelle ce minimum est le plus petit possible ?
$f_a(a+\ln 2)=\text{e}^{\ln 2} – 2(a+\ln 2) + \text{e}^{a }= 2 – 2a – 2\ln 2 +\text{e}^{a }$.
On appelle $g$ la fonction définie sur $\mathbb R$ par $g(a) = 2-2a-2\ln 2+\text{e}^a$.
Cette fonction est dérivable sur $\mathbb R$ en tant que somme de fonctions dérivables sur $\mathbb R$.
$g'(a)=-2+\text{e}^{a }$.
Or $g'(a) = 0 \Leftrightarrow \text{e}^{a } = 2 \Leftrightarrow a = \ln 2$.
$g'(a) < 0$ si $a < \ln 2$ et $g'(a) >0$ si $a > \ln 2$.
Ainsi le plus petit minimum est atteint en $\ln 2$ et vaut $g(\ln 2) = 2 -4\ln 2 + 2 = 4-4\ln 2$.

Exercice 3 5 points

Soient $x,\:y$ et $z$ trois nombres réels. On considère les implications $\left(P_1\right)$ et $\left(P_2\right)$ suivantes : \[\left(P_1\right)\qquad (x + y + z = 1) \Rightarrow \left(x^2 + y^2 + z^2 \geqslant \dfrac{1}{3} \right)\] \[\left(P_2\right) \qquad \left(x^2 + y^2 + z^2 \geqslant \dfrac{1}{3} \right) \Rightarrow (x + y + z = 1)\]

Partie A

L'implication $\left(P_2\right)$ est-elle vraie ?

Partie B

Dans l'espace, on considère le cube $ABCDEFGH$, représenté ci-dessous, et on définit le repère orthonormé $\left(A~;~ \vec{AB},~ \vec{AD},~ \vec{AE}\right)$.

1. 1. Vérifier que le plan d'équation $x + y + z = 1$ est le plan ($BDE$).
   2. Montrer que la droite ($AG$) est orthogonale au plan ($BDE$).
   3. Montrer que l'intersection de la droite ($AG$) avec le plan ($BDE$) est le point $K$ de coordonnées $\left(\frac{1}{3}~;~\frac{1}{3}~;~\frac{1}{3}\right)$.
2. Le triangle $BDE$ est-il équilatéral?
3. Soit $M$ un point de l'espace.
   1. Démontrer que si $M$ appartient au plan ($BDE$), alors $AM^2 = AK^2 + MK^2$.
   2. En déduire que si $M$ appartient au plan ($BDE$), alors $AM^2 \geqslant AK^2$.
   3. Soient $x,\:y$ et $z$ des réels quelconques. En appliquant le résultat de la question précédente au point $M$ de coordonnées $(x~;~y~;~z)$, montrer que l'implication $\left(P_1\right)$ est vraie.

Correction de l'exercice 3 (5 points)

Commun à tous les candidats

Soient $x,\:y$ et $z$ trois nombres réels. On considère les implications $\left(P_1\right)$ et $\left(P_2\right)$ suivantes : \[\left(P_1\right)\qquad (x + y + z = 1) \Rightarrow \left(x^2 + y^2 + z^2 \geqslant \dfrac{1}{3} \right)\] \[\left(P_2\right) \qquad \left(x^2 + y^2 + z^2 \geqslant \dfrac{1}{3} \right) \Rightarrow (x + y + z = 1)\]

Partie A

Prenons par exemple le triplet $(-1;-1;-1)$ on a alors $(-1)^2+(-1)^2+(-1)^2 = 3 \ge \dfrac{1}{3}$ et pourtant $-1-1-1=-3 \neq 1$.
Par conséquent $\left(P_2\right)$ est fausse.

Partie B

Dans l'espace, on considère le cube $ABCDEFGH$, représenté ci-dessous, et on définit le repère orthonormé $\left(A~;~ \vec{AB},~ \vec{AD},~ \vec{AE}\right)$.

1. 1. Vérifier que le plan d'équation $x + y + z = 1$ est le plan ($BDE$).
   On a $B(1;0;0)$, $D(0;1;0)$ et $E(0;0;1)$.
   Les trois points ne sont pas alignés et définissent bien un plan. Regardons si les coordonnées de ces points vérifient l’équation $x+y+z=1$.
   $1+0+0=1$, $0+1+0=1$ et $0+0+1 = 1$.
   Par conséquent une équation du plan $(BDE)$ est $x+y+z=1$.
   $\quad$
   
   2. Montrer que la droite ($AG$) est orthogonale au plan ($BDE$).
   On a $A(0;0;0)$ et $G(1;1;1)$. Ainsi $\overrightarrow{AG}(1;1;1)$.
   De plus $\overrightarrow{BD}(-1;1;0)$ et $\overrightarrow{BE}(-1;0;1)$.
   Or $\overrightarrow{BD}.\overrightarrow{AG} = -1+1+0 = 0$ et $\overrightarrow{BE}.\overrightarrow{AG} = -1+0+1 = 0$
   Ainsi le vecteur $\overrightarrow{AG}$ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(BDE)$. Il est par conséquent normal au plan.
   $\quad$
   
   3. Montrer que l'intersection de la droite ($AG$) avec le plan ($BDE$) est le point $K$ de coordonnées $\left(\frac{1}{3}~;~\frac{1}{3}~;~\frac{1}{3}\right)$.
   Une représentation paramétrique de la droite $(AG)$ est $\begin{cases}x=t\\y=t \qquad t\in \mathbb R \\z=t\end{cases}$.
   Le point $K$ appartient à la droite $(AG)$ et au plan $(BDE)$. Ses coordonnées vérifient donc l’équation du plan et celles de la représentation paramétrique.
   Par conséquent $t+t+t=1$ et $t=\dfrac{1}{3}$.
   Les coordonnées de $K$ sont donc $\left(\dfrac{1}{3};\dfrac{1}{3};\dfrac{1}{3}\right)$.
   $\quad$
2. Le triangle $BDE$ est-il équilatéral?
Les segments $[BE]$, $[BD]$ et $[ED]$ sont des diagonales de carrés de côté $1$. Ils ont donc la même longueur.
Le triangle $BDE$ est par conséquent équilatéral.
$\quad$
3. Soit $M$ un point de l'espace.
   1. Démontrer que si $M$ appartient au plan ($BDE$), alors $AM^2 = AK^2 + MK^2$.
   Si $M$ est un point du plan $(BDE)$ différent de $K$.
   La droite $(AK)$ est dirigée par le vecteur normal au plan $(BDE)$. Elle est donc orthogonale à toutes les droites du plan $(BDE)$, en particulier à la droite $(KM)$.
   Le triangle $AKM$ est donc rectangle en $K$ et d’après le théorème de Pythagore, on a $AM^2=AK^2+MK^2$.
   $\quad$
   Si $M=K$ alors $AM=AK$ et $MK=KK=0$.
   On a donc toujours $AM^2=AK^2+MK^2$.
   $\quad$
   
   2. En déduire que si $M$ appartient au plan ($BDE$), alors $AM^2 \geqslant AK^2$.
   $MK^2 \ge 0$ donc, d’après la question précédente, $AM^2 \ge AK^2$.
   $\quad$
   
   3. Soient $x,\:y$ et $z$ des réels quelconques. En appliquant le résultat de la question précédente au point $M$ de coordonnées $(x~;~y~;~z)$, montrer que l'implication $\left(P_1\right)$ est vraie.
   Soit $M(x;y;z)$ un point du plan $(BDE)$ alors $x+y+z=1$.
   $AM^2=x^2+y^2+z^2$ et $AK^2=\dfrac{1}{9}+\dfrac{1}{9}+\dfrac{1}{9}=\dfrac{1}{3}$
   D’après la question précédente on obtient donc :$x^2+y^2+z^2 \ge \dfrac{1}{3}$.
   Par conséquent $\left(P_1\right)$ est vraie.

Exercice 4 5 points

Candidats N'AYANT PAS SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

On considère deux suites de nombres réels $\left(d_n\right)$ et $\left(a_n\right)$ définies par $d_0 = 300$, $a_0 = 450$ et, pour tout entier naturel $n \geqslant 0$ $$\begin{array}{l c l} d_{n+1} &=&\dfrac{1}{2}d_n + 100\\ a_{n+1} &=&\dfrac{1}{2}d_n + \dfrac{1}{2}a_n + 70 \end{array}$$

1. Calculer $d_1$ et $a_1$.
2. On souhaite écrire un algorithme qui permet d'afficher en sortie les valeurs de $d_n$ et $a_n$ pour une valeur entière de $n$ saisie par l'utilisateur. L'algorithme suivant est proposé : $$\begin{array} {|l X|}\hline \text{Variables} :& n \text{ et } k \text{sont des entiers naturels}\\ &D \text{ et } A \text{sont des réels }\\ &\\ \text{Initialisation} :& D \text{prend la valeur } 300\\ &A \text{prend la valeur } 450\\ &\text{Saisir la valeur de } n\\ &\\ \text{Traitement} :& \text{Pour } k \text{variant de 1 à } n\\ &\hspace{0.8cm}D \text{ prend la valeur } \dfrac{D}{2} + 100 \\ &\hspace{0.8cm}A \text{ prend la valeur } \dfrac{A}{2} + \dfrac{D}{2} + 70\\ &\text{Fin pour }\\ &\\ \text{Sortie} :& \text{ Afficher } D\\ &\text{ Afficher } A\\ \hline \end{array} $$
   1. Quels nombres obtient-on en sortie de l'algorithme pour $n = 1$ ? Ces résultats sont-ils cohérents avec ceux obtenus à la question 1. ?
   2. Expliquer comment corriger cet algorithme pour qu'il affiche les résultats souhaités.
3. 1. Pour tout entier naturel $n$, on pose $e_n = d_n - 200$. Montrer que la suite $\left(e_n\right)$ est géométrique.
   2. En déduire l'expression de $d_n$ en fonction de $n$.
   3. La suite $\left(d_n\right)$ est-elle convergente ? Justifier.
4. On admet que pour tout entier naturel $n$, \[a_n = 100n\left(\dfrac{1}{2}\right)^n + 110\left(\dfrac{1}{2}\right)^n + 340.\]
   1. Montrer que pour tout entier $n$ supérieur ou égal à 3, on a $2n^2 \geqslant (n + 1)^2$.
   2. Montrer par récurrence que pour tout entier $n$ supérieur ou égal à 4, $2^n \geqslant n^2$.
   3. En déduire que pour tout entier $n$ supérieur ou égal à 4, $0 \leqslant 100n\left(\dfrac{1}{2}\right)^n \leqslant \dfrac{100}{n}$.
   4. Étudier la convergence de la suite $\left(a_n\right)$.

Correction de l'exercice 4 5 points

Candidats N'AYANT PAS SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

On considère deux suites de nombres réels $\left(d_n\right)$ et $\left(a_n\right)$ définies par $d_0 = 300$, $a_0 = 450$ et, pour tout entier naturel $n \geqslant 0$ $$\begin{array}{l c l} d_{n+1} &=&\dfrac{1}{2}d_n + 100\\ a_{n+1} &=&\dfrac{1}{2}d_n + \dfrac{1}{2}a_n + 70 \end{array}$$

1. Calculer $d_1$ et $a_1$.
$d_1=\dfrac{1}{2}d_0+100 = 150 + 100 = 250$
$a_1=\dfrac{1}{2}d_0+\dfrac{1}{2}a_0+70 = 150 + 225 + 70 = 445$
$\quad$
2. On souhaite écrire un algorithme qui permet d'afficher en sortie les valeurs de $d_n$ et $a_n$ pour une valeur entière de $n$ saisie par l'utilisateur. L'algorithme suivant est proposé : $$\begin{array} {|l X|}\hline \text{Variables} :& n \text{ et } k \text{sont des entiers naturels}\\ &D \text{ et } A \text{sont des réels }\\ &\\ \text{Initialisation} :& D \text{prend la valeur } 300\\ &A \text{prend la valeur } 450\\ &\text{Saisir la valeur de } n\\ &\\ \text{Traitement} :& \text{Pour } k \text{variant de 1 à } n\\ &\hspace{0.8cm}D \text{ prend la valeur } \dfrac{D}{2} + 100 \\ &\hspace{0.8cm}A \text{ prend la valeur } \dfrac{A}{2} + \dfrac{D}{2} + 70\\ &\text{Fin pour }\\ &\\ \text{Sortie} :& \text{ Afficher } D\\ &\text{ Afficher } A\\ \hline \end{array} $$
   1. Quels nombres obtient-on en sortie de l'algorithme pour $n = 1$ ? Ces résultats sont-ils cohérents avec ceux obtenus à la question 1.?
   Si $n=1$ on obtient alors $D=250$ et $A=420$ car la variable $D$ a été modifiée (et ne vaut plus $300$) quand on calcule la valeur de $A$.
   $\quad$
   Ce n’est pas cohérent avec la réponse trouvée à la question précédente.
   $\quad$
   
   2. Expliquer comment corriger cet algorithme pour qu'il affiche les résultats souhaités.
   Pour corriger cet algorithme, il faut :
   $\quad$ – Créer une nouvelle variable $T$ réelle;
   $\quad$ – Dans la boucle « Pour » avant l’instruction « $D$ prend … » écrire « $T$ prend la valeur $D$ »;
   $\quad$ – Remplacer l’instruction « $A$ prend … » par « $A$ prend la valeur $\dfrac{A}{2}+\dfrac{T}{2}+70$ ».
   $\quad$
3. 1. Pour tout entier naturel $n$, on pose $e_n = d_n - 200$. Montrer que la suite $\left(e_n\right)$ est géométrique.
   $\begin{align*} e_{n+1} &=d_{n+1}-200 \\\\
   &=\dfrac{d_n}{2}+100-200\\\\
   &=\dfrac{d_n}{2}-100\\\\
   &=\dfrac{d_n-200}{2} \\\\
   &=\dfrac{e_n}{2}
   \end{align*}$
   La suite $\left(e_n\right)$ est donc géométrique de raison $\dfrac{1}{2}$ et de premier terme $e_0=300-200=100$.
   $\quad$
   
   2. En déduire l'expression de $d_n$ en fonction de $n$.
   On a ainsi $e_0 = 100 \times \left(\dfrac{1}{2}\right)^n$ et $d_n = 200+100\times \left(\dfrac{1}{2}\right)^n$.
   $\quad$
   
   3. La suite $\left(d_n\right)$ est-elle convergente ? Justifier.
   $-1 < \dfrac{1}{2} < 1$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty} \left(\dfrac{1}{2}\right)^n = 0$.
   Ainsi $\lim\limits_{n \to +\infty} d_n = 200$.
   La suite $\left(d_n\right)$ converge donc vers $200$.
4. On admet que pour tout entier naturel $n$, \[a_n = 100n\left(\dfrac{1}{2}\right)^n + 110\left(\dfrac{1}{2}\right)^n + 340.\]
   1. Montrer que pour tout entier $n$ supérieur ou égal à 3, on a $2n^2 \geqslant (n + 1)^2$.
   $P(n)=2n^2-(n+1)^2 = 2n^2-n^2-2n-1 = n^2-2n-1$
   $\Delta = 4+4=8$.
   Ce polynôme possède donc deux racines : $n_1 = \dfrac{2-\sqrt{8}}{2}=1-\sqrt{2} \approx -0,41$ et $n_2=1+\sqrt{2}\approx 2,41$.
   Le polynôme $P(n)$ est donc positif à l’extérieur des racines.
   Par conséquent pour tout entier naturel $n \ge n_2$ on a $2n^2 – (n+1)^2 \ge 0$.
   On obtient ainsi le résultat : pour tout entier naturel supérieur ou égal à $3$ $2n^2 \ge (n+1)^2$.
   $\quad$
   
   2. Montrer par récurrence que pour tout entier $n$ supérieur ou égal à 4, $2^n \geqslant n^2$.
   Initialisation : Si $n=4$ on a : $2^4 = 16$ et $4^2 = 16$.
   Par conséquent la propriété est vraie au rang $4$.
   $\quad$
   Hérédité : On suppose la propriété vraie au rang $n$ : $2^n \ge n^2$.
   $\begin{align*} 2^{n+1} &= 2\times 2^n \\\\
   & \ge 2n^2 \\\\
   & \ge (n+1)^2 \quad \text{d’après la question précédente}
   \end{align*}$
   La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
   $\quad$
   Conclusion : La propriété est vraie au rang $4$ et est héréditaire.
   Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à $4$, $2^n \ge n^2$.
   $\quad$
   
   3. En déduire que pour tout entier $n$ supérieur ou égal à 4, $0 \leqslant 100n\left(\dfrac{1}{2}\right)^n \leqslant \dfrac{100}{n}$.
   Soit $n$ un entier naturel supérieur ou égal à $4$.
   On a donc $100n \left(\dfrac{1}{2}\right)^n \ge 0$ en tant que produit de facteurs positifs.
   $\begin{align*} 100n\left(\dfrac{1}{2}\right)^n &=\dfrac{100n}{2^n} \\\\
   & \le \dfrac{100n}{n^2} \\\\
   & \le \dfrac{100}{n}
   \end{align*}$
   Ainsi $0 \le 100n \left(\dfrac{1}{2}\right)^n \le \dfrac{100}{n}$
   $\quad$
   
   4. Étudier la convergence de la suite $\left(a_n\right)$.
   Or $\lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{100}{n} = 0$.
   D’après le théorème des gendarmes on a donc $\lim\limits_{n \to +\infty} 100n \left(\dfrac{1}{2}\right)^n = 0$.
   Or $\lim\limits_{n\to +\infty} 110\left(\dfrac{1}{2}\right)^n = 0$.
   Ainsi, par somme de limites, $\lim\limits_{n\to +\infty} a_n = 340$.
   La suite $\left(a_n\right)$ converge donc vers $340$.

Spécialité 5 points

Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

Un organisme propose un apprentissage de langues étrangères en ligne. Deux niveaux sont présentés : débutant ou avancé. Au début de chaque mois, un internaute peut s'inscrire, se désinscrire ou changer de niveau. On souhaite étudier l'évolution sur le long terme, de la fréquentation du site à partir d'un mois noté $0$. Des relevés de la fréquentation du site ont conduit aux observations suivantes :

• Au début du mois $0$, il y avait $300$ internautes au niveau débutant et $450$ au niveau avancé.
• Chaque mois, la moitié des débutants passe au niveau avancé, l'autre moitié reste au niveau débutant et la moitié des avancés ayant terminé leur formation, se désinscrit du site.
• Chaque mois, $100$ nouveaux internautes s'inscrivent en débutant et $70$ en avancé.

On modélise cette situation par deux suites de nombres réels $\left(d_n\right)$ et $\left(a_n\right)$. Pour tour entier naturel $n,\: d_n$ et $a_n$ sont respectivement des approximations du nombre de débutants et du nombre d'avancés au début du mois $n$. Pour tout entier naturel $n$, on note $U_n$ la matrice colonne $\begin{pmatrix}d_n\\a_n\end{pmatrix}$. On pose $d_0 = 300$, $a_0 = 450$ et, pour tout entier $n \geqslant 0$ \[\left\{\begin{array}{l c l} d_{n+1} &=&\dfrac{1}{2}d_n + 100 \\ a_{n+1}&=&\dfrac{1}{2}d_n + \dfrac{1}{2}a_n + 70 \end{array}\right.\]

1. 1. Justifier l'égalité $a_{n+1} = \dfrac{1}{2}d_n + \dfrac{1}{2}a_n + 70$ dans le contexte de l'exercice.
   2. Déterminer les matrices $A$ et $B$ telles que pour tout entier naturel $n$, \[U_{n+1} = AU_n + B.\]
2. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n \geqslant 1$, on a \[A^n = \left(\dfrac{1}{2}\right)^n\left(I_2 + nT \right)\quad \text{où}\:\: T = \begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix} \quad \text{et} \:\: I_2 = \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}.\]
3. 1. Déterminer la matrice $C$ qui vérifie l'égalité $C = AC + B$.
   2. Pour tout entier $n \geqslant 0$, on pose $V_n = U_n - \begin{pmatrix}200\\340\end{pmatrix}$. Montrer que pour tout entier naturel $n$, \[V_{n+1} = AV_n.\]
   3. On admet que pour tout entier $n \geqslant 1$,\: $V_n = A^nV_0$. En déduire que pour tout entier naturel $n \geqslant 1$, \[U_n = \begin{pmatrix} 100\left(\dfrac{1}{2}\right)^n + 200\\ 100n\left(\dfrac{1}{2}\right)^n + 110\left(\dfrac{1}{2}\right)^n + 340 \end{pmatrix} \]
4. 1. On admet que pour tout entier $n \geqslant 4$, $2^n \geqslant n^2$. En déduire que pour tout entier $n \geqslant 4$, \[0 \leqslant 100n\left(\dfrac{1}{2}\right)^n \leqslant \dfrac{100}{n}.\]
   2. En utilisant les questions précédentes, que peut-on prévoir pour l'évolution de la fréquentation du site sur le long terme ?

Correction de l'exercice de Spécialité 5 points

Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

Un organisme propose un apprentissage de langues étrangères en ligne. Deux niveaux sont présentés : débutant ou avancé. Au début de chaque mois, un internaute peut s'inscrire, se désinscrire ou changer de niveau. On souhaite étudier l'évolution sur le long terme, de la fréquentation du site à partir d'un mois noté $0$. Des relevés de la fréquentation du site ont conduit aux observations suivantes :

• Au début du mois $0$, il y avait $300$ internautes au niveau débutant et $450$ au niveau avancé.
• Chaque mois, la moitié des débutants passe au niveau avancé, l'autre moitié reste au niveau débutant et la moitié des avancés ayant terminé leur formation, se désinscrit du site.
• Chaque mois, $100$ nouveaux internautes s'inscrivent en débutant et $70$ en avancé.

On modélise cette situation par deux suites de nombres réels $\left(d_n\right)$ et $\left(a_n\right)$. Pour tour entier naturel $n,\: d_n$ et $a_n$ sont respectivement des approximations du nombre de débutants et du nombre d'avancés au début du mois $n$. Pour tout entier naturel $n$, on note $U_n$ la matrice colonne $\begin{pmatrix}d_n\\a_n\end{pmatrix}$. On pose $d_0 = 300$, $a_0 = 450$ et, pour tout entier $n \geqslant 0$ \[\left\{\begin{array}{l c l} d_{n+1} &=&\dfrac{1}{2}d_n + 100 \\ a_{n+1}&=&\dfrac{1}{2}d_n + \dfrac{1}{2}a_n + 70 \end{array}\right.\]

1. 1. Justifier l'égalité $a_{n+1} = \dfrac{1}{2}d_n + \dfrac{1}{2}a_n + 70$ dans le contexte de l'exercice.
   A la fin du mois $n$, il ne reste plus, au niveau avancé, que la moitié des internautes soit $\dfrac{1}{2}a_n$.
   La moitié des débutants rejoint ce groupe soit $\dfrac{1}{2}d_n$.
   Il y a $70$ nouveaux internautes.
   On a donc bien au début mois $n+1$ il y a donc bien $\dfrac{1}{2}d_n+\dfrac{1}{2}a_n+70$ internautes au niveau avancé.
   $\quad$
   
   2. Déterminer les matrices $A$ et $B$ telles que pour tout entier naturel $n$, \[U_{n+1} = AU_n + B.\]
2. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n \geqslant 1$, on a \[A^n = \left(\dfrac{1}{2}\right)^n\left(I_2 + nT \right)\quad \text{où}\:\: T = \begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix} \quad \text{et} \:\: I_2 = \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}.\]
On pose $A=\begin{pmatrix} 0,5&0 \\0,5&0,5\end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix} 100\\70\end{pmatrix}$
Ainsi $U_{n+1}=AU_n+B$.
$\quad$
3. Initialisation : Soit $n=1$. On a $A^1 = A = \begin{pmatrix} 0,5&0 \\0,5&0,5\end{pmatrix}$
   Or $\dfrac{1}{2}\left(I_2+T\right) = \dfrac{1}{2}\begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix} = A$
   La propriété est donc vraie au rang $1$.
   $\quad$
   Hérédité : On suppose la propriété vraie au rang $n$ : $A^n=\left(\dfrac{1}{2}\right)^n\left(I_2+nT\right)$.
   $\begin{align*} A^{n+1} &= A \times A^n \\\\
   &= \dfrac{1}{2}\left(I_2+T\right) \times \left(\dfrac{1}{2}\right)^n\left(I_2+nT\right) \\\\
   &= \left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1}\left(I_2+nT+T+nT^2 \right) \\\\
   &= \left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1}\left(I_2+(n+1)T+nT^2 \right)
   \end{align*}$
   Or $T^2 = \begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}$
   Donc $A^n=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1}\left(I_2+(n+1)T\right)$.
   La propriété est vraie au rang $n+1$.
   $\quad$
   Conclusion : La propriété est vraie au rang $1$ et est héréditaire.
   Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ non nul, on a $A^n=\left(\dfrac{1}{2}\right)^n\left(I_2+nT\right)$.
   $\quad$
4. 1. Déterminer la matrice $C$ qui vérifie l'égalité $C = AC + B$.
   $C=AC+B \Leftrightarrow C-AC = B \Leftrightarrow \left(I_2-A\right)C=B$.
   Or $I_2-A=\begin{pmatrix}0,5 & 0 \\-0,5&0,5 \end{pmatrix}$.
   Cette matrice est inversible car $0,5\times 0,5 – (-0,5)\times 0 =0,25 \neq 0$.
   Son inverse est la matrice $\left(I_2-A\right)^{1}=\begin{pmatrix}2&0\\2&2\end{pmatrix}$.
   Ainsi $C=\left(I_2-A\right)^{1} \times B = \begin{pmatrix}200\\340\end{pmatrix}$.
   $\quad$
   
   2. Pour tout entier $n \geqslant 0$, on pose $V_n = U_n - \begin{pmatrix}200\\340\end{pmatrix}$. Montrer que pour tout entier naturel $n$, \[V_{n+1} = AV_n.\]
   $\begin{align*} V_{n+1} &=U_{n+1}-\begin{pmatrix}200\\340\end{pmatrix} \\\\
   &= AU_n+B-C \\\\
   &=AU_n+B-(AC+B) \\\\
   &=A\left(U_n-C\right) \\\\
   &=AV_n
   \end{align*}$
   $\quad$
   c. On a $V_0=\begin{pmatrix}100\\110\end{pmatrix}$ et $U_n=A^nV_0+\begin{pmatrix}200\\340\end{pmatrix}$.
   Or $A^n=\left(\dfrac{1}{2}\right)^n\left(I_2+nT\right) = \begin{pmatrix}\left(\dfrac{1}{2}\right)^n &0 \\\\n\left(\dfrac{1}{2}\right)^n + \left(\dfrac{1}{2}\right)^n\end{pmatrix}$
   Ainsi $U_n= \begin{pmatrix} 100\left(\dfrac{1}{2}\right)^n+200\\\\100n\left(\dfrac{1}{2}\right)^n+110\left(\dfrac{1}{2}\right)^n+340\end{pmatrix}$.
   $\quad$
   3. On admet que pour tout entier $n \geqslant 1$,\: $V_n = A^nV_0$. En déduire que pour tout entier naturel $n \geqslant 1$, \[U_n = \begin{pmatrix} 100\left(\dfrac{1}{2}\right)^n + 200\\ 100n\left(\dfrac{1}{2}\right)^n + 110\left(\dfrac{1}{2}\right)^n + 340 \end{pmatrix} \]
   Soit $n$ un entier naturel supérieur ou égal à $4$.
   On a donc $100n \left(\dfrac{1}{2}\right)^n \ge 0$ en tant que produit de facteurs positifs.
   $\begin{align*} 100n\left(\dfrac{1}{2}\right)^n &=\dfrac{100n}{2^n} \\\\
   & \le \dfrac{100n}{n^2} \\\\
   & \le \dfrac{100}{n}
   \end{align*}$
   Ainsi $0 \le 100n \left(\dfrac{1}{2}\right)^n \le \dfrac{100}{n}$
   $\quad$
5. 1. On admet que pour tout entier $n \geqslant 4$, $2^n \geqslant n^2$. En déduire que pour tout entier $n \geqslant 4$, \[0 \leqslant 100n\left(\dfrac{1}{2}\right)^n \leqslant \dfrac{100}{n}.\]
   Puisque $-1 <\dfrac{1}{2} < 1$ on a donc $\lim\limits_{n \to +\infty} \left(\dfrac{1}{2}\right)^n =0$. Ainsi $\lim\limits_{n \to +\infty} d_n = 200$
   $\quad$
   
   2. En utilisant les questions précédentes, que peut-on prévoir pour l'évolution de la fréquentation du site sur le long terme ?
   De plus $\lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{100}{n} = 0$.
   D’après le théorème des gendarmes on a donc $\lim\limits_{n \to +\infty} 100n \left(\dfrac{1}{2}\right)^n = 0$.
   Or $\lim\limits_{n\to +\infty} 110\left(\dfrac{1}{2}\right)^n = 0$.
   Ainsi, par somme de limites, $\lim\limits_{n\to +\infty} a_n = 340$.
   La suite $\left(a_n\right)$ converge donc vers $340$.
   $\quad$
   Ainsi sur le long terme le site aura $200$ internautes présents au niveau débutant et $340$ internautes au niveau avancé.

Exercice 1 : 7 points

Commun à tous les candidats

Les parties A et B peuvent être traitées de façon indépendante.

Partie A

On rappelle que la partie réelle d'un nombre complexe $z$ est notée $Re (z)$.

1. Déterminer l'écriture exponentielle du nombre complexe $u = 1 - \text{i}$.
2. Déterminer, pour tout réel $\theta$, la forme algébrique et l'écriture exponentielle du nombre complexe $\text{e}^{\text{i} \theta} (1 - \text{i})$.
3. Déduire des questions précédentes que, pour tout réel $\theta$,$\cos(\theta) + \sin(\theta) = \sqrt{2} \cos \left(\theta - \dfrac{\pi}{4}\right)$.

Partie B

Dans cette partie, on admet que, pour tout réel $\theta,\cos(\theta) + \sin(\theta) = \sqrt{2} \cos \left(\theta - \dfrac{\pi}{4}\right)$.
On considère les fonctions $f$ et $g$ définies sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ par: \[f(x) = \text{e}^{-x} \cos(x)\quad \text{et}\quad g(x) = \text{e}^{-x}.\] On définit la fonction $h$ sur $[0~;~+ \infty[$ par $h(x) = g(x) - f(x)$. Les représentations graphiques $\mathcal{C}_f,\mathcal{C}_g$ et $\mathcal{C}_h$ des fonctions $f,g$ et $h$ sont données, en annexe, dans un repère orthogonal.

1. Conjecturer:
   1. les limites des fonctions $f$ et $g$ en $+\infty$ ;
   2. la position relative de $\mathcal{C}_f$ par rapport à $\mathcal{C}_g$ ;
   3. la valeur de l'abscisse $x$ pour laquelle l'écart entre les deux courbes $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ est maximal.
2. Justifier que $\mathcal{C}_g$ est située au-dessus de $\mathcal{C}_f$ sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$.
3. Démontrer que la droite d'équation $y = 0$ est asymptote horizontale aux courbes $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$.
4. 1. On note $h'$ la fonction dérivée de la fonction $h$ sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$. Démontrer que, pour tout $x$ de l'intervalle $[0~;~+ \infty[$,$h'(x) = \text{e}^{-x} \left[\sqrt{2}\cos \left(x - \dfrac{\pi}{4}\right) - 1\right]$.
   2. Justifier que, sur l'intervalle $\left[0~;~\dfrac{\pi}{2}\right]$,$\sqrt{2} \cos \left(x - \dfrac{\pi}{4}\right) - 1 \geqslant 0$ et que, sur l'intervalle $\left[\dfrac{\pi}{2}~;~2\pi\right], \sqrt{2} \cos \left(x - \dfrac{\pi}{4}\right) - 1 \leqslant 0$.
   3. En déduire le tableau de variation de la fonction $h$ sur l'intervalle $[0~;~2\pi]$.
5. On admet que, sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$, la fonction $H$ définie par \[H(x) = \dfrac{1}{2} \text{e}^{-x} [- 2 + \cos (x) - \sin (x)]\] est une primitive de la fonction $h$. On note $\mathcal{D}$ le domaine du plan délimité par les courbes $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$, et les droites d'équations $x = 0$ et $x = 2\pi$. Calculer l'aire $\mathcal{A}$ du domaine $\mathcal{D}$, exprimée en unités d'aire.

Correction de l'exercice 1 (5 points)

Commun à tous les candidats

Les parties A et B peuvent être traitées de façon indépendante.

Partie A

On rappelle que la partie réelle d'un nombre complexe $z$ est notée $Re (z)$.

1. Déterminer l'écriture exponentielle du nombre complexe $u = 1 - \text{i}$.
$|1-\text{i}|=\sqrt{2}$ donc
$\begin{align*}1-\text{i} &= \sqrt{2}\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}-\dfrac{\text{i}}{\sqrt{2}}\right) \\\\
&=\sqrt{2}\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\text{i}\right)\\\\
&=\sqrt{2}\text{ e}^{-\text{i}\pi/4}
\end{align*}$
$\quad$
2. Déterminer, pour tout réel $\theta$, la forme algébrique et l'écriture exponentielle du nombre complexe $\text{e}^{\text{i} \theta} (1 - \text{i})$.
On a , pour tout $\theta \in \mathbb R$ :
$\begin{align*}\text{ e}^{\text{i} \theta}(1-\text{i}) &= \left(\cos(\theta) + \text{i} \sin(\theta)\right)(1-\text{i}) \\\\
&= \cos(\theta)-\text{i}\cos(\theta) +\text{i}\sin(\theta) +\sin (\theta) \\\\
&= \cos(\theta) + \sin(\theta) + \text{i}\left(\sin (\theta) – \cos (\theta)\right)
\end{align*}$
$\quad$
On a également la forme exponentielle :
$\text{ e}^{\text{i} \theta}(1-\text{i}) = \sqrt{2}\text{ e}^{\text{i}\theta}\text{ e}^{-\text{i}\pi/4} = \sqrt{2}\text{ e}^{\left(\theta – \pi/4\right)\text{i}}$
$\quad$
3. Déduire des questions précédentes que, pour tout réel $\theta$,$\cos(\theta) + \sin(\theta) = \sqrt{2} \cos \left(\theta - \dfrac{\pi}{4}\right)$.
Par identification des parties réelles on obtient : $\cos \theta + \sin \theta = \sqrt{2}\cos\left(\theta-\dfrac{\pi}{4}\right)$.
$\quad$

Partie B

Dans cette partie, on admet que, pour tout réel $\theta,\cos(\theta) + \sin(\theta) = \sqrt{2} \cos \left(\theta - \dfrac{\pi}{4}\right)$.
On considère les fonctions $f$ et $g$ définies sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ par: \[f(x) = \text{e}^{-x} \cos(x)\quad \text{et}\quad g(x) = \text{e}^{-x}.\] On définit la fonction $h$ sur $[0~;~+ \infty[$ par $h(x) = g(x) - f(x)$. Les représentations graphiques $\mathcal{C}_f,\mathcal{C}_g$ et $\mathcal{C}_h$ des fonctions $f,g$ et $h$ sont données, en annexe, dans un repère orthogonal.

1. Conjecturer:
   1. les limites des fonctions $f$ et $g$ en $+\infty$ ;
   Il semblerait que $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = 0$ et $\lim\limits_{x \to +\infty} g(x) = 0$.
   $\quad$
   
   2. la position relative de $\mathcal{C}_f$ par rapport à $\mathcal{C}_g$ ;
   Il semblerait que la courbe $\mathscr{C}_f$ soit toujours en-dessous de la courbe $\mathscr{C}_g$.
   $\quad$
   
   3. la valeur de l'abscisse $x$ pour laquelle l'écart entre les deux courbes $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ est maximal.
   L’écart semble entre ces deux courbes semble maximal pour $x=1,5$.
   $\quad$
2. Justifier que $\mathcal{C}_g$ est située au-dessus de $\mathcal{C}_f$ sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$.
$\quad$
$\begin{align*} g(x)-f(x)&=e^{-x}-e^{-x}\cos(x)\\\\
&=e^{-x}\left(1-\cos(x)\right)
\end{align*}$
Or la fonction exponentielle est strictement positive et pour tout réel $x$ on a, $ \cos(x) \le 1$.
Par conséquent $g(x)-f(x) \ge 0$ et la courbe $\mathscr{C}_g$ est au-dessus de $\mathscr{C}_f$ sur $[0;+\infty[$.
$\quad$
3. Démontrer que la droite d'équation $y = 0$ est asymptote horizontale aux courbes $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$.
$\quad$
$\left. \begin{array}{l} \lim\limits_{x \to +\infty} -x = -\infty\\\\ \lim\limits_{x \to -\infty} \text{ e}^x=0 \end{array}\right\} \lim\limits_{x \to +\infty} \text{ e}^{-x} = 0$
La droite d’équation $y=0$ est donc asymptote à la courbe $\mathscr{C}_g$.
$\quad$
Puisque, pour tout réel $x$ de $[0;+\infty[$, on a $-1 \le \cos(x) \le 1$, alors $-\text{ e}^{-x} \le f(x) \text{ e}^{-x}$.
Or $\lim\limits_{x \to +\infty} \text{ e}^{-x} = 0$.
D’après le théorème des gendarmes, on a donc $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = 0$.
La droite d’équation $y=0$ est, par conséquent, également asymptote à la courbe $\mathscr{C}_f$.
$\quad$
4. 1. On note $h'$ la fonction dérivée de la fonction $h$ sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$. Démontrer que, pour tout $x$ de l'intervalle $[0~;~+ \infty[$,$h'(x) = \text{e}^{-x} \left[\sqrt{2}\cos \left(x - \dfrac{\pi}{4}\right) - 1\right]$.
   La fonction $h$ est dérivable sur $[0;+\infty[$ en tant que produit et somme de fonctions dérivables sur cet intervalle.
   $\begin{align*} h'(x) &=-\text{ e}^{-x} -\left(-\text{ e}^{-x}\cos(x)-\text{ e}^{-x}\sin(x)\right) \\\\
   &=\text{ e}^{-x}\left(\cos(x)+\sin(x)-1\right) \\\\
   &=\text{ e}^{-x}\left[\sqrt{2}\cos\left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)-1\right] \qquad \text{d’après A.3}
   \end{align*}$
   $\quad$
   
   2. Justifier que, sur l'intervalle $\left[0~;~\dfrac{\pi}{2}\right]$,$\sqrt{2} \cos \left(x - \dfrac{\pi}{4}\right) - 1 \geqslant 0$ et que, sur l'intervalle $\left[\dfrac{\pi}{2}~;~2\pi\right], \sqrt{2} \cos \left(x - \dfrac{\pi}{4}\right) - 1 \leqslant 0$.
   Sur $\left[0;\dfrac{\pi}{2}\right]$, on a $-\dfrac{\pi}{4} \le x-\dfrac{\pi}{4} \le \dfrac{\pi}{4}$.
   Or sur $\left[-\dfrac{\pi}{4};\dfrac{\pi}{4}\right]$ on a $\dfrac{\sqrt{2}}{2}\le \cos(y) \le 1$.
   Donc sur $\left[0;\dfrac{\pi}{2}\right]$, $1 \le \sqrt{2}\cos\left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)$.
   Ainsi $\sqrt{2}\cos\left(x-\dfrac{\pi}{4}\right) – 1 \ge 0$ sur cet intervalle.
   $\quad$
   Sur $\left[\dfrac{\pi}{2};2\pi\right]$, on a $\dfrac{\pi}{4} \le x-\dfrac{\pi}{4} \le \dfrac{7\pi}{4}$.
   Or sur $\left[\dfrac{\pi}{4};\dfrac{7\pi}{4}\right]$ on a $-1\le \cos(y) \le \dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
   Donc sur $\left[\dfrac{\pi}{2};2\pi\right]$, $\sqrt{2}\cos\left(x-\dfrac{\pi}{4}\right) \le 1$.
   Ainsi $\sqrt{2}\cos\left(x-\dfrac{\pi}{4}\right) – 1 \le 0$ sur cet intervalle.
   $\quad$
   
   3. En déduire le tableau de variation de la fonction $h$ sur l'intervalle $[0~;~2\pi]$.
   Sur $\left[0;\dfrac{\pi}{2}\right]$, on a $-\dfrac{\pi}{4} \le x-\dfrac{\pi}{4} \le \dfrac{\pi}{4}$.
   Or sur $\left[-\dfrac{\pi}{4};\dfrac{\pi}{4}\right]$ on a $\dfrac{\sqrt{2}}{2}\le \cos(y) \le 1$.
   Donc sur $\left[0;\dfrac{\pi}{2}\right]$, $1 \le \sqrt{2}\cos\left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)$.
   Ainsi $\sqrt{2}\cos\left(x-\dfrac{\pi}{4}\right) – 1 \ge 0$ sur cet intervalle.
   $\quad$
   Sur $\left[\dfrac{\pi}{2};2\pi\right]$, on a $\dfrac{\pi}{4} \le x-\dfrac{\pi}{4} \le \dfrac{7\pi}{4}$.
   Or sur $\left[\dfrac{\pi}{4};\dfrac{7\pi}{4}\right]$ on a $-1\le \cos(y) \le \dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
   Donc sur $\left[\dfrac{\pi}{2};2\pi\right]$, $\sqrt{2}\cos\left(x-\dfrac{\pi}{4}\right) \le 1$.
   Ainsi $\sqrt{2}\cos\left(x-\dfrac{\pi}{4}\right) – 1 \le 0$ sur cet intervalle.
   $\quad$
   
5. On admet que, sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$, la fonction $H$ définie par \[H(x) = \dfrac{1}{2} \text{e}^{-x} [- 2 + \cos (x) - \sin (x)]\] est une primitive de la fonction $h$. On note $\mathcal{D}$ le domaine du plan délimité par les courbes $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$, et les droites d'équations $x = 0$ et $x = 2\pi$. Calculer l'aire $\mathcal{A}$ du domaine $\mathcal{D}$, exprimée en unités d'aire.
La fonction $h$ est continue (car dérivable) et positive sur $[0;2\pi]$.
Ainsi l’aire du domaine $\mathscr{D}$ est donnée par :
$\begin{align*} \mathscr{A} &=\displaystyle \int_0^{2\pi} h(x)\mathrm{d}x \\\\
&= H(2\pi)-H(0) \\\\
&= \dfrac{1}{2}\text{ e}^{-2\pi}(-2+1) – \dfrac{1}{2}(-2+1)\\\\
&=\dfrac{1}{2}\left(1-\text{ e}^{-2\pi}\right) \text{u.a}
\end{align*}$
$\quad$

Exercice 2 : 5 points

Commun à tous les candidats

Partie A

On étudie une maladie dans la population d'un pays. On a constaté que le taux, en nanogrammes par millilitre $\left(\text{ng.mL}^{-1}\right)$, d'une substance Gamma présente dans le sang est plus élevé chez les personnes atteintes de cette maladie que chez les personnes qui n'en sont pas atteintes.

1. Le taux de cette substance Gamma dans la population des personnes qui ne sont pas atteintes par la maladie est modélisé par une variable aléatoire $T$ qui suit la loi normale d'espérance $\mu = 40$ et d'écart-type $\sigma = 8$. On choisit au hasard une personne parmi celles qui ne sont pas atteintes par la maladie étudiée. Calculer la probabilité que le taux dans le sang de la substance Gamma soit supérieur à 60 ng.mL$^{-1}$.
2. Des études ont mis en évidence que le taux moyen de la substance Gamma chez les personnes atteintes par la maladie étudiée est de 50 ng.mL$^{-1}$ et que 10% d'entre elles ont un taux de substance Gamma inférieur à 43 ng.mL$^{-1}$. On appelle $T'$ la variable aléatoire qui modélise le taux de la substance Gamma en ng.mL$^{-1}$ chez une personne atteinte par la maladie étudiée. On admet que $T'$ suit la loi normale d'espérance $\mu'$ et d'écart-type $\sigma'$. Préciser la valeur de $\mu'$ et déterminer la valeur de $\sigma'$.

Partie B

Pour dépister chez une personne la maladie étudiée, on effectue une prise de sang. On considère que le dépistage est positif si le taux de la substance Gamma est supérieur ou égal à 45 ng.mL$^{-1}$. Une personne étant choisie au hasard dans la population, on appelle :

• $M$ l'évènement « le patient est atteint par la maladie étudiée »  ;
• $D$ l'évènement « le patient a un dépistage positif».

On admet que :

• 82% des personnes atteintes par la maladie étudiée ont un dépistage positif ;
• 73% des personnes non atteintes par cette maladie ont un dépistage négatif.

On sait de plus que 10% de la population étudiée est atteinte par cette maladie.

1. Démontrer que la probabilité qu'un patient ait un dépistage positif est de $0,325$.
2. Calculer $P_{\overline{D}}(M)$. Interpréter ce résultat.
3. Un patient a un dépistage positif. Le médecin le rassure en lui indiquant qu'il n'a qu'une chance sur quatre d'avoir contracté la maladie. Qu'en pensez- vous ?

Partie C

Lors du dépistage précédent, la prise de sang est effectuée chez des sujets à jeun. Les données montrent que 82% des patients malades ont un dépistage positif. Pour améliorer le confort des personnes susceptibles de subir cet examen sanguin, on souhaite vérifier si le fait d'être à jeun est une condition indispensable dans le protocole. On considère un groupe de $300$ personnes malades sur lesquelles la prise de sang n'est pas effectuée à jeun. Le dépistage se révèle positif pour 74% d'entre elles. Ce dépistage peut-il être effectué sur des personnes qui ne sont pas à jeun ?

Correction de l'exercice 2 (5 points)

Commun à tous les candidats

Partie A

On étudie une maladie dans la population d'un pays. On a constaté que le taux, en nanogrammes par millilitre $\left(\text{ng.mL}^{-1}\right)$, d'une substance Gamma présente dans le sang est plus élevé chez les personnes atteintes de cette maladie que chez les personnes qui n'en sont pas atteintes.

1. Le taux de cette substance Gamma dans la population des personnes qui ne sont pas atteintes par la maladie est modélisé par une variable aléatoire $T$ qui suit la loi normale d'espérance $\mu = 40$ et d'écart-type $\sigma = 8$. On choisit au hasard une personne parmi celles qui ne sont pas atteintes par la maladie étudiée. Calculer la probabilité que le taux dans le sang de la substance Gamma soit supérieur à 60 ng.mL$^{-1}$.
On veut calculer $P(T \ge 60) = 0,5 – P(40 \le T \le 60) \approx 0,0062$


2ND DISTR 2NORMALFRép( -10^(99) , \1,$\2$,$\3$)EXE
Avec une calculatrice de type TI

$$NormalFR\text{é}p(-10^{99},\1,\2,\3) \approx \4$$

$$P( \5 \leq \1)\approx \4 \text{ à } 10^{-\6} \text{ près.}$$
2. Des études ont mis en évidence que le taux moyen de la substance Gamma chez les personnes atteintes par la maladie étudiée est de 50 ng.mL$^{-1}$ et que 10% d'entre elles ont un taux de substance Gamma inférieur à 43 ng.mL$^{-1}$. On appelle $T'$ la variable aléatoire qui modélise le taux de la substance Gamma en ng.mL$^{-1}$ chez une personne atteinte par la maladie étudiée. On admet que $T'$ suit la loi normale d'espérance $\mu'$ et d'écart-type $\sigma'$. Préciser la valeur de $\mu'$ et déterminer la valeur de $\sigma'$.
D’après l’énoncé, on a $\mu’=50$.
On sait également que :
$\begin{align*} P(T’ \le 43) = 0,1 & \Leftrightarrow P\left(\dfrac{T’-50}{\sigma’} \le \dfrac{43-50}{\sigma’}\right)=0,1 \\\\
&\Leftrightarrow P\left(\dfrac{T’-50}{\sigma’} \le -\dfrac{7}{\sigma’}\right) = 0,1
\end{align*}$
Or la variable aléatoire $\dfrac{T’-50}{\sigma’}$ suit la loi normale centrée réduite.
Par conséquent à l’aide de la touche Inverve Loi Normale on obtient $-\dfrac{7}{\sigma’} \approx -1,2816$ soit $\sigma’ \approx 5,4621$.
$\quad$

Partie B

Pour dépister chez une personne la maladie étudiée, on effectue une prise de sang. On considère que le dépistage est positif si le taux de la substance Gamma est supérieur ou égal à 45 ng.mL$^{-1}$. Une personne étant choisie au hasard dans la population, on appelle :

• $M$ l'évènement « le patient est atteint par la maladie étudiée »  ;
• $D$ l'évènement « le patient a un dépistage positif».

On admet que :

• 82% des personnes atteintes par la maladie étudiée ont un dépistage positif ;
• 73% des personnes non atteintes par cette maladie ont un dépistage négatif.

On sait de plus que 10% de la population étudiée est atteinte par cette maladie.

1. Démontrer que la probabilité qu'un patient ait un dépistage positif est de $0,325$.
On peut résumer la situation par un arbre pondéré : D’après la formule des probabilités totales, on a alors :
$\begin{align*} p(D)&=p(M\cap D) + p\left(D \cap \overline{M}\right) \\\\
&=0,1 \times 0,82 + 0,9 \times 0,27 \\\\
&=0,325
\end{align*}$
$\quad$
2. Calculer $P_{\overline{D}}(M)$. Interpréter ce résultat.
$\begin{align*} p_{\overline{D}}(M) &= \dfrac{p\left(M \cap \overline{D}\right)}{p\left(\overline{D}\right)} \\\\
&= \dfrac{0,1 \times 0,18}{1-0,325}\\\\
&=\dfrac{2}{75}\\\\
&\approx 0,0267
\end{align*}$
Cela signifie donc qu’environ $2,67\%$ des individus ayant un dépistage négatif sont atteints par la maladie étudiée.
$\quad$
3. Un patient a un dépistage positif. Le médecin le rassure en lui indiquant qu'il n'a qu'une chance sur quatre d'avoir contracté la maladie. Qu'en pensez- vous ?
Calculons :
$\begin{align*} p_D(M) &= \dfrac{p(D\cap M)}{p(D)} \\\\
&= \dfrac{0,1 \times 0,82}{0,325} \\\\
& = \dfrac{82}{325} \\\\
& \approx 0,2523
\end{align*}$
Il y a donc effectivement environ une chance sur quatre que le patient ait contracté la maladie.
$\quad$

Partie C

On a $n=300$ et $p=0,82$
Ainsi $n\ge 30$, $np=246\ge 5$ et $n(1-p)=54\ge 5$.
Les conditions sont donc vérifiées pour déterminer un intervalle de fluctuation asymptotique. Le seuil choisi sera de $95\%$

$$\begin{align*} I_{300} &= \left[0,82-1,96\sqrt{\dfrac{0,82 \times 0,18}{300}};0,82+1,96\sqrt{\dfrac{0,82 \times 0,18}{300}}\right] \\\\
& \approx[0,77;0,87]
\end{align*}$$

Or la fréquence observée quand les personnes ne sont pas à jeun est $f=0,74 \notin I_{300}$

Ainsi ce dépistage ne peut pas, au risque de $5\%$, être effectué sur des personnes qui ne sont pas à jeun.

Exercice 3 : 3 points

Géométrie dans l'espace

ABCDEFGH est un cube. I est le milieu de [AB], J est le milieu de [HDJ et K est le milieu de [HG]. On se place dans le repère $\left(\text{A}~;~ \vec{\text{AB}},~ \vec{\text{AD}},~ \vec{\text{AE}}\right)$.

1. Démontrer que le vecteur $\vec{\text{CE}}$ est un vecteur normal au plan (IJK).
2. Démontrer que la droite (BD) est parallèle au plan (IJK).
3. Soit $M$ un point de la droite (CE). Quelle est la position du point $M$ sur la droite (CE) pour laquelle le plan (BD$M$) est parallèle au plan (IJK) ?

Correction de l'exercice 3 (3 points)

Commun à tous les candidats

Géométrie dans l'espace

ABCDEFGH est un cube. I est le milieu de [AB], J est le milieu de [HDJ et K est le milieu de [HG]. On se place dans le repère $\left(\text{A}~;~ \vec{\text{AB}},~ \vec{\text{AD}},~ \vec{\text{AE}}\right)$.

1. Démontrer que le vecteur $\vec{\text{CE}}$ est un vecteur normal au plan (IJK).
Dans le repère $\left(A;\vec{AB},\vec{AD},\vec{AE}\right)$, on a :
$C(1;1;0)$, $E(0;0;1)$, $I(0,5;0;0)$, $J(0;1;0,5)$ et $K(0,5;1;1)$
Ainsi $\vec{CE}(-1;-1;1)$, $\vec{IJ}(-0,5;1;0,5)$ et $\vec{IK}(0;1;1)$.
$\vec{IJ}$ et $\vec{IK}$ ne sont clairement pas colinéaires.
Par conséquent $\vec{CE}.\vec{IJ} = 0,5-1+0,5 = 0$ et $\vec{CE}.\vec{IK} = -1+1=0$.
Le vecteur $\vec{CE}$ est donc orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(IJK)$. Il est par conséquent normal à ce plan.
$\quad$
2. Démontrer que la droite (BD) est parallèle au plan (IJK).
On a $B(1;0;0)$ et $D(0;1;0)$. Ainsi $\vec{BD}(-1;1;0)$.
Onc $\vec{BD}.\vec{CE} = 1-1=0$.
Les deux vecteurs sont donc orthogonaux.
Puisque $\vec{CE}$ est normal à $(IJK)$ alors $\vec{BD}$ est parallèle à $(IJK)$.
$\quad$
3. Soit $M$ un point de la droite (CE). Quelle est la position du point $M$ sur la droite (CE) pour laquelle le plan (BD$M$) est parallèle au plan (IJK) ?
Soit $M(x;y;z)$ un point de $(CE)$. $\vec{BM}(x-1;y;z)$.
Une représentation paramétrique de la droite $(CE)$ est donnée par :
$$\begin{cases} x=1-t \\\\y=1-t\\\\z=t\end{cases} \qquad t\in\mathbb R$$
Les plans $(BDM)$ et $(IJK)$ soient parallèles si, et seulement si, $\vec{CE}$ est normal à $(BDM)$.
On sait déjà que $\vec{CE}$ est orthogonal à $\vec{BD}$.
Par conséquent, les deux plans sont parallèles si, et seulement si, $\vec{CE}$ et $\vec{BM}$ sont orthogonaux.
Cela est alors équivalent à $\vec{CE}.\vec{BM}=0 \Leftrightarrow 1-x-y+z=0$.
En injectant dans cette équation les coordonnées des points fournies par la représentation paramétrique de $(CE)$, on obtient :
$$1-(-1+t)-1+t+t=0 \Leftrightarrow 3t=1 \Leftrightarrow t=\dfrac{1}{3}$$.
Ainsi, en reprenant la représentation paramétrique de $(CE)$, les coordonnées de $M$ sont $\left(\dfrac{2}{3};\dfrac{2}{3};\dfrac{1}{3}\right)$.
$\quad$

Exercice 4 5 points

Candidats N'AYANT PAS SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

Correction de l'exercice 4 5 points

Candidats N'AYANT PAS SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

Spécialité 5 points

Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

Pour tout entier naturel $n$ non nul, on appelle $S(n)$ le nombre égal à la somme des diviseurs positifs de $n$.

1. Vérifier que $S(6) = 12$ et calculer $S(7)$.
2. 1. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 2, $S(n) \geqslant 1 + n$.
   2. Quels sont les entiers naturels $n$ tels que $S(n) = 1 + n$ ?
3. On suppose dans cette question que $n$ s'écrit $p \times q$ où $p$ et $q$ sont des nombres premiers distincts.
   1. Démontrer que $S(n) = (1 + p)(1 + q)$.
   2. On considère la proposition suivante : « Pour tous entiers naturels $n$ et $m$ non nuls distincts, $S(n \times m) = S(n) \times S(m)$ ». Cette proposition est-elle vraie ou fausse ? Justifier.
4. On suppose dans cette question que l'entier $n$ s'écrit $p^k$, où $p$ est un nombre premier et $k$ un nombre entier naturel non nul.
   1. Quels sont les diviseurs de $n$ ?
   2. En déduire que $S(n) = \dfrac{1- p^{k+1}}{1- p}$.
5. On suppose dans cette question que $n$ s'écrit $p^{13} \times q^7$, où $p$ et $q$ sont des nombres premiers distincts.
   1. Soit $m$ un entier naturel. Démontrer que $m$ divise $n$ si, et seulement si, il existe deux nombres entiers $s$ et $t$ avec $0 \leqslant s \leqslant 13$ et $0 \leqslant t \leqslant 7$ tels que $m = p^s \times q^t$.
   2. Démontrer que $S(n) = \dfrac{1 - p^{14}}{1 - p} \times \dfrac{1 - q^8}{1 - q}$.

Correction de l'exercice de Spécialité 5 points

Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

Pour tout entier naturel $n$ non nul, on appelle $S(n)$ le nombre égal à la somme des diviseurs positifs de $n$.

1. Vérifier que $S(6) = 12$ et calculer $S(7)$.
Les diviseurs positifs de $6$, sont $1,2,3$ et $6$. Ainsi $S(6) = 12$.
Les diviseurs positifs de $7$ sont $1$ et $7$. Ainsi $S(7)=8$.
$\quad$
2. 1. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 2, $S(n) \geqslant 1 + n$.
   Pour tout entier naturel $n$ supérieur à $2$, $1$ et $n$ sont des diviseurs positifs de $n$ distincts.
   Ainsi $S(n) \ge 1+n$.
   $\quad$
   
   2. Quels sont les entiers naturels $n$ tels que $S(n) = 1 + n$ ?
   Pour que $S(n)=1+n$ il faut que $n$ ne soit divisible exactement par $2$ nombres : $1$ et lui-même. C’est donc un nombre premier.
   $\quad$
3. On suppose dans cette question que $n$ s'écrit $p \times q$ où $p$ et $q$ sont des nombres premiers distincts.
   1. Démontrer que $S(n) = (1 + p)(1 + q)$.
   Si $n=p\times q$ avec $p$ et $q$ deux nombres premiers distincts, alors les seuls diviseurs positifs de $n$ sont $1$, $p$, $q$ et $pq$.
   Par conséquent $S(n)=1+p+q+pq = (1+p)(1+q)$.
   $\quad$
   
   2. On considère la proposition suivante : « Pour tous entiers naturels $n$ et $m$ non nuls distincts, $S(n \times m) = S(n) \times S(m)$ ». Cette proposition est-elle vraie ou fausse ? Justifier.
   Prenons $n=4$ et $m=2$.
   Les diviseurs positifs de $n$ sont $1$, $2$ et $4$. Ainsi $S(4)=7$.
   Puisque $2$ est premier, $S(2) = 3$
   Les diviseurs positifs de $8$ sont $1$, $2$, $4$ et $8$. Ainsi $S(8) = 15$.
   Par conséquent $S(8) \neq S(4) \times S(2)$.
   La proposition faite est donc fausse.
   $\quad$
4. On suppose dans cette question que l'entier $n$ s'écrit $p^k$, où $p$ est un nombre premier et $k$ un nombre entier naturel non nul.
   1. Quels sont les diviseurs de $n$ ?
   $n=p^k$ ou $p$ est un nombre premier et $k$ un nombre entier naturel non nul.
   Les diviseurs de $n$ sont donc les $p^i$ pour $i\in \left\{0;1;\ldots;k\right\}$.
   $\quad$
   
   2. En déduire que $S(n) = \dfrac{1- p^{k+1}}{1- p}$.
   Ainsi $S(n) = \displaystyle \sum_{i=0}^k p^i= 1+p+p^2+\ldots +p^k = \dfrac{1-p^{k+1}}{1-p}$.
   $\quad$
5. On suppose dans cette question que $n$ s'écrit $p^{13} \times q^7$, où $p$ et $q$ sont des nombres premiers distincts.
   1. Soit $m$ un entier naturel. Démontrer que $m$ divise $n$ si, et seulement si, il existe deux nombres entiers $s$ et $t$ avec $0 \leqslant s \leqslant 13$ et $0 \leqslant t \leqslant 7$ tels que $m = p^s \times q^t$.
   $n=p^{13}\times q^7$ avec $p$ et $q$ deux nombres premiers distincts.
   Soit $m$ un diviseur de $n$.
   Supposons que $m$ soit divisible par un nombre premier $d$ différent de $p$ et $q$.
   Puisque $d$ divise $m$, il divise également $n$.
   Cela signifie donc que $m$ divise soit $p$ soit $q$. Ce qui est impossible.
   Donc $m$ s’écrit sous la forme $p^s\times q^t$ où $s$ et $t$ sont des entiers naturels.
   $s \le 13$ car $p^{14}$ ne divise pas $n$. De même $t \le 7$ car $q^8$ ne divise pas $n$.
   Par conséquent, il existe deux entiers naturels $s$ et $t$, tels que $0 \le s\le 13$ et $0 \le t \le 7$ tel que $m=p^s\times q^t$
   $\quad$
   Réciproquement supposons qu’il existe deux entiers naturels $s$ et $t$, tels que $0 \le s\le 13$ et $0 \le t \le 7$ tel que $m=p^s\times q^t$
   Alors $n=p^{13}\times q^7 = p^s\times p^{13-s}\times q^t\times q^{7-t} = m \times p^{13-s}\times q^{7-t}$.
   $m$ divise bien $n$.
   $\quad$
   
   2. Démontrer que $S(n) = \dfrac{1 - p^{14}}{1 - p} \times \dfrac{1 - q^8}{1 - q}$.
   On a donc :
   $$\begin{align*} S(n) &= \displaystyle \sum_{s=0}^{13} \sum_{t=0}^{7} p^s\times q^t \\\\
   &= \sum_{s=0}^{13} p^s\times\sum_{t=0}^{7} q^t \\\\
   &= \sum_{s=0}^{13} p^s\times\dfrac{1-q^8}{1-q} \\\\
   &= \left(\sum_{s=0}^{13} p^s\right) \times\dfrac{1-q^8}{1-q}\\\\
   &= \dfrac{1-p^{14}}{1-p} \times \dfrac{1-q^8}{1-q}
   \end{align*}$$