Baccalauréat S Antilles-Guyane septembre 2016

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Exercice 1 6 points

Le plan est muni d'un repère orthonormal $\left(\text{O},~\vec{\imath},~\vec{\jmath}\right)$. Pour tout entier naturel $n$, on considère la fonction $f_n$ définie et dérivable sur l'ensemble des nombres réels $\mathbb R$ par \[f_n(x) = \dfrac{\text{e}^{-(n-1)x}}{1 + \text{e}^{x}}.\] On désigne par $\mathcal{C}_n$ la courbe représentative de $f_n$ dans le repère $\left(\text{O},~\vec{\imath},~\vec{\jmath}\right)$. On a représenté ci-dessous les courbes $\mathcal{C}_n$ pour différentes valeurs de $n$. Soit la suite $\left(u_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par : \[u_n = \displaystyle\int_0^1 f_n(x)\:\text{d}x.\] Figure

Partie A - Étude graphique

1. Donner une interprétation graphique de $u_n$.
2. Quelles conjectures peut-on faire concernant les variations et la convergence de la suite $\left(u_n\right)$ ?
3. Proposer, à l'aide du graphique et en expliquant la démarche, un encadrement de $u_4$ d'amplitude $0,05$.

Partie B - Étude théorique

1. Montrer que $u_0 = \ln \left(\frac{1 + \text{e}}{2}\right)$.
2. Montrer que $u_0 + u_1 = 1$ puis en déduire $u_1$.
3. Montrer que, pour tout entier naturel $n$,\: $u_n \geqslant 0$.
4. On pose pour tout entier naturel $n$ et pour tout $x$ réel, $d_n(x) = f_{n+1}(x) - f_n(x)$.
   1. Montrer que, pour tout nombre réel $x, d_n(x) = \text{e}^{- nx} \frac{1 - \text{e}^x}{1 + \text{e}^x}$.
   2. Étudier le signe de la fonction $d_n$ sur l'intervalle [0~;~1].
5. En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente.
6. On note $\ell$ la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
   1. Montrer que, pour tout entier $n$ supérieur ou égal à 1, on a : \[u_n + u_{n + 1} = \dfrac{1 - \text{e}^{- n}}{n}.\]
   2. En déduire la valeur de $\ell$.
   3. On souhaite construire un algorithme qui affiche la valeur de $u_N$ pour un entier naturel $N$ non nul donné. Recopier et compléter les quatre lignes de la partie Traitement de l'algorithme suivant. $$\begin{array}{|l l|}\hline \text{Entrée :} &N \text{ est un entier naturel non nul}\\ \text{Variables :} &U \text{ est un nombre réel }\\ &K \text{ est un entier naturel }\\ \text{Initialisation :}& \text{ Affecter 1 à } K\\ &\text{ Affecter } 1 - \ln \left(\frac{1 + \text{e}}{2}\right) \text{ à } U\\ &\text{ Demander à l'utilisateur la valeur de } N\\ \text{Traitement :} & \text{ Tant que } K < N\\ &\text{ Affecter } \ldots \ldots \ldots \text{ à } U\\ &\text{ Affecter } \ldots \ldots \ldots \text{ à } K\\ &\text{ Fin Tant que }\\ \text{Sortie :} &\text{ Afficher } U\\ \hline \end{array}$$