Baccalauréat S Métropole- La Réunion 12 septembre 2016

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Exercice 1 6 points


Commun à tous les candidats


Les trois parties sont indépendantes. Les résultats des probabilités seront arrondis à $10^{-3} $ près.

Partie 1


On estime qu'en 2013 la population mondiale est composée de 4,6 milliards de personnes âgées de 20 à 79 ans et que 46,1 % des personnes âgées de 20 à 79 ans vivent en zone rurale et 53,9 % en zone urbaine. En 2013, d'après la fédération internationale du diabète, 9,9 % de la population mondiale âgée de 20 à 79 ans vivant en zone urbaine est atteinte de diabète et 6,4 % de la population mondiale âgée de 20 à 79 ans vivant en zone rurale est atteinte de diabète. On interroge au hasard une personne âgée de 20 à 79 ans. On note :

  • $R$ l'évènement : «la personne choisie habite en zone rurale » ,
  • $D$ l'évènement: «la personne choisie est atteinte de diabète » .

 

  1. Traduire cette situation à l'aide d'un arbre de probabilité.
    1. Calculer la probabilité que la personne interrogée soit diabétique.
    2. La personne choisie est diabétique. Quelle est la probabilité qu'elle habite en zone rurale ?

 

Partie 2


Une personne est dite en hypoglycémie si sa glycémie à jeun est inférieure à 60 mg.dL$^{-1}$ et elle est en hyperglycémie si sa glycémie à jeun est supérieure à 110 mg. dL$^{-1}$. La glycémie à jeun est considérée comme «normale »  si elle est comprise entre 70 mg.dL$^{-1}$ et 110 mg.dL$^{-1}$. Les personnes ayant un taux de glycémie compris entre 60 et 70 mg.dL$^{-1}$ ne font pas l'objet d'un suivi particulier. On choisit au hasard un adulte dans cette population. Une étude a permis d'établir que la probabilité qu'il soit en hyperglycémie est 0,052 à $10^{-3}$ près. Dans la suite on admettra que cette probabilité est égale à $0,052$. On modélise la glycémie à jeun, exprimée en mg.dL$^{-1}$, d'un adulte d'une population donnée, par une variable aléatoire $X$ qui suit une loi normale d'espérance $\mu$ et d'écart-type $\sigma$. On donne ci-dessous la représentation graphique de la densité de probabilité de la variable aléatoire $X$.

  1. Quelle est la probabilité que la personne choisie ait une glycémie à jeun «normale»  ?
  2. Déterminer la valeur de $\sigma$ arrondie au dixième.
  3. Dans cette question, on prend $\sigma = 12$. Calculer la probabilité que la personne choisie soit en hypoglycémie.

 

Partie 3


Afin d'estimer la proportion, pour l'année 2013, de personnes diagnostiquées diabétiques dans la population française âgée de 20 à 79 ans, on interroge au hasard 10000 personnes. Dans l'échantillon étudié, 716 personnes ont été diagnostiquées diabétiques.

  1. À l'aide d'un intervalle de confiance au niveau de confiance 95 % , estimer la proportion de personnes diagnostiquées diabétiques dans la population française âgée de 20 à 79 ans.
  2. Quel doit être le nombre minimal de personnes à interroger si l'on veut obtenir un intervalle de confiance d'amplitude inférieure ou égale à 0,01 ?

 

 

 

Correction Exercice 1
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