Baccalauréat S Asie 21 juin 2018 - Correction Exercice 2

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Correction de l'exercice 2 (5 points)

Commun à tous les candidats

Dans les parties A et B de cet exercice, on considère une maladie ; tout individu a une probabilité égale à $0,15$ d'être touché par cette maladie.

Partie A

Cette partie est un questionnaire à choix multiples (Q. C. M.). Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses est exacte. Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse exacte. Aucune justification n'est demandée. Une réponse exacte rapporte un point, une réponse fausse ou une absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point.
Un test de dépistage de cette maladie a été mis au point. Si l'individu est malade, dans 94 % des cas le test est positif. Pour un individu choisi au hasard dans cette population, la probabilité que le test soit positif vaut $0,158$.

1. On teste un individu choisi au hasard dans la population : le test est positif. Une valeur arrondie au centième de la probabilité que la personne soit malade est égale à :
   $$\begin{array}{cccc} \textbf{A :} 0,94 &\textbf{B :} 1 &\textbf{C :} 0,89 &\textbf{D :} \text{on ne peut pas savoir} \end{array}$$
On appelle $M$ l’événement “l’individu est touché par la maladie” et $T$ l’événement “le test est positif”.
On a ainsi $p(M)=0,15$, $p(T)=0,158$ et $p_M(T)=0,94$.
Par conséquent :
$\begin{align*} p_T(M)&=\dfrac{p(T\cap M)}{p(T)} \\
&=\dfrac{0,15\times 0,94}{0,158} \\
&\approx 0,89
\end{align*}$
Réponse C
$\quad$
2. On prélève un échantillon aléatoire dans la population, et on fait passer le test aux individus de cet échantillon. On souhaite que la probabilité qu'au moins un individu soit testé positivement soit supérieure ou égale à $0,99$. La taille minimum de l'échantillon doit être égale à :
   $$\begin{array}{cccc} \textbf{A :}\text{ 26 personnes } &\textbf{B :} \text{27 personnes }&\textbf{C :} \text{3 personnes } &\textbf{D :} \text{7 personnes} \end{array}$$
On effectue $n$ tirages indépendants, aléatoires et identiques.
À chaque tirage il y a deux issues : $T$ et $\overline{T}$.
De plus $p(T)=0,158$.
La variable aléatoire $X$ comptant le nombre d’individu testé positivement suit donc la loi binomiale de paramètres $n$ et $p=0,158$.
$\begin{align*} p(X \geq 1) \geq 0,99&\iff 1-p(X=0) \geq 0,99 \\
&\iff 1-(1-0,158)^n \geq 0,99 \\
&\iff -0,842^n \geq -0,01 \\
&\iff 0,842^n \leq 0,01 \\
&\iff n\ln(0,842) \leq \ln (0,01) \\
&\iff n \geq \dfrac{\ln (0,01)}{\ln(0,842)}
\end{align*}$
Or $\dfrac{\ln (0,01)}{\ln(0,842)}\approx 26,8$
Donc $n \geq 27$.
Réponse B
$\quad$
3. Un vaccin pour lutter contre cette maladie a été mis au point. II est fabriqué par une entreprise sous forme de dose injectable par seringue. Le volume $V$ (exprimé en millilitre) d'une dose suit une loi normale d'espérance $\mu = 2$ et d'écart-type $\sigma$. La probabilité que le volume d'une dose, exprimé en millilitre, soit compris entre $1,99$ et $2,01$ millilitres est égale à $0,997$. La valeur de $\sigma$ doit vérifier:
   $$\begin{array}{cccc} \textbf{A :} \sigma = 0,02 &\textbf{B :} \sigma < 0,003 &\textbf{C :} \sigma > 0,003 &\textbf{D :} \sigma = 0,003 \end{array}$$
La variable aléatoire $Z=\dfrac{V-2}{\sigma}$ suit la loi normale centrée réduite.
$\begin{align*} p(1,99 \leq V \leq 2,01)=0,997 &\iff p(-0,01 \leq V-2 \leq 0,1)=0,997 \\
&\iff p\left(-\dfrac{0,01}{\sigma} \leq \dfrac{V-2}{\sigma} \leq \dfrac{0,1}{\sigma}\right)=0,997 \\
&\iff  p\left(-\dfrac{0,01}{\sigma} \leq Z \leq \dfrac{0,1}{\sigma}\right)=0,997 \\
&\iff 2p\left(Z\leq \dfrac{0,01}{\sigma}\right)-1=0,997 \\
&\iff 2p\left(Z\leq \dfrac{0,01}{\sigma}\right)=1,997 \\
&\iff  p\left(Z\leq \dfrac{0,01}{\sigma}\right)=0,998~5
\end{align*}$
À l’aide de la touche inverse loi normale de la calculatrice on trouve $\dfrac{0,01}{\sigma}\approx 2,967~73$ donc $\sigma \approx 0,00337>0,003$
Réponse C
$\quad$

 

Partie B

 

1. Une boîte d'un certain médicament permet de soigner un malade. La durée d'efficacité (exprimée en mois) de ce médicament est modélisée de la manière suivante :
   • durant les $12$ premiers mois après fabrication, on est certain qu'il demeure efficace ;
   • au-delà, sa durée d'efficacité restante suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$.
   La probabilité que l'une des boîtes prise au hasard dans un stock ait une durée d'efficacité totale supérieure à $18$ mois est égale à $0,887$. Quelle est la valeur moyenne de la durée d'efficacité totale de ce médicament?
On appelle $B$ la variable aléatoire correspondant à la durée d’efficacité restante au delà des $12$ premiers mois.
On sait donc que
$\begin{align*} p(M>18-12)=0,887 &\iff p(M>6)=0,887 \\
&\iff \text{e}^{-6\lambda}=0,887 \\
&\iff -6\lambda =\ln(0,887) \\
&\iff \lambda=-\dfrac{\ln(0,887)}{6}
\end{align*}$
$\quad$
2. Une ville de $100\;000$ habitants veut constituer un stock de ces boîtes afin de soigner les personnes malades. Quelle doit être la taille minimale de ce stock pour que la probabilité qu'il suffise à soigner tous les malades de cette ville soit supérieure à $95$ % ?
La probabilité d’être touché par la maladie est $p=0,15$.
On a $n=100~000$.
Donc $n\geq 30$, $np=15~000 \geq 5$ et $n(1-p)=85~000\geq 5$.
La borne supérieure, arrondie par excès, d’un intervalle de fluctuation asymptotique de la proportion d’individus touchés par cette maladie est donc :
$$0,15+1,96\sqrt{\dfrac{0,15\times 0,85}{100~000}} \approx 0,15~222$$
Il faut donc que la ville ait un stock d’au moins $15~222$ boîtes de médicament pour soigner tous les malades de cette ville avec une probabilité supérieure à $95\%$.
$\quad$