Soient $\displaystyle{A}$ et $\displaystyle{B}$ deux événements, avec $\displaystyle{A}$ de probabilité non nulle.
On définit la probabilité de $\displaystyle{B}$ sachant $\displaystyle{A}$ par :
$$ P_{A}(B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} $$

Deux événements $\displaystyle{A}$ et $\displaystyle{B}$ sont indépendants si et seulement si :
$$P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$$

Soient $\displaystyle{X}$ et $\displaystyle{Y}$ deux variables aléatoires définies sur un univers $\displaystyle{\Omega}$ telles que :

• $\displaystyle{X(\Omega) = {x_{1}, x_{2},..., x_{n}}}$
• $\displaystyle{Y(\Omega) = {y_{1}, y_{2},..., y_{p}}}$

Les variables $\displaystyle{X}$ et $\displaystyle{Y}$ sont indépendantes si et seulement si, pour tout $\displaystyle{i}$ compris entre $\displaystyle{1}$ et $\displaystyle{n}$ et tout $\displaystyle{j}$ compris entre $\displaystyle{1}$ et $\displaystyle{p}$ :
$$P(X = x_{i} \cap Y = y_{j}) = P(X = x_{i}) \times P(Y = y_{j})$$

Soit un ensemble $\displaystyle{E}$.
Les événements de probabilités non nulles $\displaystyle{\{E_{1}, E_{2}, E_{3},..., E_{k}\}}$ forment un système complet ou une partition de $\displaystyle{E}$ si et seulement si :

• $\displaystyle{\forall i \in [\![ 1 ; k ]\!] \text{ , } E_{i} \in E}$ ;
• les événements $\displaystyle{E_{1}, E_{2}, E_{3},..., E_{k}}$ sont deux à deux incompatibles ;
• et leur réunion est égale à l'ensemble $\displaystyle{E}$.

Une variable aléatoire réelle est une fonction qui associe un réel à chaque événement de l'univers d'une expérience aléatoire.

Soit $\displaystyle{X}$ une variable aléatoire prenant les valeurs : $\displaystyle{X(\Omega) = {x_{1}, x_{2},..., x_{n}}}$.
La loi de probabilité de $\displaystyle{X}$ associe à chaque réel $\displaystyle{x_{i}}$ la probabilité $\displaystyle{P(X = x_{i})}$.

L'espérance d'une variable aléatoire $\displaystyle{X}$ est le réel :
$$E(X) = \sum_{i=0}^{n} x_{i} P(X = x_{i}) $$ Soit :
$$E(X) = x_{1} P(X = x_{1}) + x_{2} P(X = x_{2}) +... + x_{n} P(X = x_{n})$$

La variance d'une variable aléatoire $\displaystyle{X}$ est le réel :
$$V(X) = \sum_{i=0}^{n} [x_{i} - E(X)]^{2} P(X = x_{i}) $$

L'écart-type d'une variable aléatoire $\displaystyle{X}$ est le réel :
$$σ(X) = \sqrt{ V(X) } $$

Soit un réel $\displaystyle{p}$ compris entre $\displaystyle{0}$ et $\displaystyle{1}$.
Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire ne présentant que deux issues possibles :

• succès, de probabilité $\displaystyle{p}$
• échec, de probabilité $\displaystyle{1 - p}$.

Soit un réel $\displaystyle{p}$ compris entre $\displaystyle{0}$ et $\displaystyle{1}$.
Une variable aléatoire suit la loi de Bernoulli de paramètre $\displaystyle{p}$ si :

• $\displaystyle{X(\Omega) = \{0 ; 1\}}$
• $\displaystyle{P(X = 1) = p}$ et $\displaystyle{P(X = 0) = 1 - p}$

Soit un réel $\displaystyle{p}$ compris entre $\displaystyle{0}$ et $\displaystyle{1}$ et $\displaystyle{n}$ un entier naturel non nul.
Le nombre de succès dans la répétition de $\displaystyle{n}$ épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes suit la loi binomiale de paramètres $\displaystyle{n}$ et $\displaystyle{p}$.

Une variable aléatoire suit ainsi la loi binomiale de paramètres $\displaystyle{n}$ et $\displaystyle{p}$, notée $\displaystyle{B(n ; p)}$, si :

• $\displaystyle{X(\Omega) = [\![0 ; n]\!]}$
• $\displaystyle{\forall k \in [\![0 ; n]\!] \text{ , } P(X = k) = \binom{n}{k} p^{k} (1 - p)^{n-k}}$

Le coefficient $\displaystyle{\binom{n}{k}}$ est égal au nombre de possibilités de placer les $\displaystyle{k}$ succès parmi les $\displaystyle{n}$ répétitions.