Estimation

 

ILe théorème de Moivre-Laplace

Soit $\displaystyle{X_n}$ une variable aléatoire suivant la loi binomiale $\displaystyle{\mathcal{B}(n;p)}$, on définit la variable aléatoire $\displaystyle{Z_n}$ par :
$$ Z_n = \frac{X_n-np}{\sqrt{np(1-p)}} $$ Pour tous réels $\displaystyle{a}$ et $\displaystyle{b}$ ($\displaystyle{a \lt b}$), on a alors :
$$ \lim_{n \to +\infty} P(a \leqslant Z_n \leqslant b) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{a}^{b} e^{-\frac{t^2}{2}} \ \mathrm dt $$
Cela signifie que si $\displaystyle{n}$ est très grand, on peut approximer une loi binomiale par la loi normale centrée réduite.

IILes intervalles de fluctuation

Soient $\displaystyle{Z}$ une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite, $\displaystyle{\alpha}$ un réel de $\displaystyle{]0;1[}$ et $\displaystyle{u_{\alpha}}$ l'unique réel positif tel que $\displaystyle{P(-u_{\alpha} \leqslant Z \leqslant u_{\alpha}) = 1-\alpha}$.
Si $\displaystyle{X_n}$ est une variable aléatoire suivant la loi binomiale $\displaystyle{\mathcal{B}(n;p)}$, on pose :
$$ I_n = \left[ p - u_{\alpha} \frac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}} ; p + u_{\alpha} \frac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}} \right] $$ et on a alors :
$$ \lim_{n \to +\infty} P\left(\frac{X_n}{n} \in I_n \right) = 1-\alpha $$ L'intervalle $\displaystyle{I_n}$ est appelé intervalle de fluctuation de $\displaystyle{\frac{X_n}{n}}$ au seuil $\displaystyle{1-\alpha}$, si les conditions suivantes sont satisfaites :
$$ n \geqslant 30 \text{ , } np \geqslant 5 \text{ , } n(1-p) \geqslant 5 $$
Dans cette configuration, la proportion ou probabilité de succès $\displaystyle{p}$ est connue.
En particulier, pour $\displaystyle{\alpha = 0,05}$, $\displaystyle{\left[ p - 1,96 \frac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}} ; p + 1,96 \frac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}} \right]}$ est un intervalle de fluctuation au seuil de $\displaystyle{95\%}$ de la fréquence d'apparition d'un caractère dans un échantillon aléatoire de taille $\displaystyle{n}$ (à condition d'avoir $\displaystyle{n \geqslant 30 \text{ , } np \geqslant 5 \text{ , } n(1-p) \geqslant 5}$).

IIILes intervalles de confiance

On considère une expérience de Bernoulli dont on veut estimer la probabilité de succès $\displaystyle{p}$. On appelle $\displaystyle{f_n}$ la fréquence d'apparition du succès après $\displaystyle{n}$ répétitions indépendantes. Si $\displaystyle{n \geqslant 30}$, $\displaystyle{nf_n \geqslant 5}$ et $\displaystyle{n(1-f_n) \geqslant 5}$, alors $\displaystyle{p}$ appartient à l'intervalle suivant avec un niveau de confiance de $\displaystyle{95\%}$ :
$$ \left[ f_n - \frac{1}{\sqrt{n}} ; f_n + \frac{1}{\sqrt{n}} \right] $$
Dans cette configuration, la proportion ou probabilité de succès $\displaystyle{p}$ est inconnue.
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