Primitives

 

IPrimitives d'une fonction continue

Soit $\displaystyle{f}$ une fonction définie sur un intervalle $\displaystyle{I}$.
On appelle primitive de $\displaystyle{f}$ sur $\displaystyle{I}$ toute fonction $\displaystyle{F}$ dérivable sur $\displaystyle{I}$ qui vérifie :
$$\forall x \in I \text{ , } F'(x) = f(x)$$
  • Toute fonction continue sur un intervalle $\displaystyle{I}$ admet des primitives sur $\displaystyle{I}$.
  • Si $\displaystyle{F}$ est une primitive de $\displaystyle{f}$ sur $\displaystyle{I}$, alors les primitives de $\displaystyle{f}$ sur $\displaystyle{I}$ sont de la forme : $\displaystyle{F(x) + k}$, pour tout réel $\displaystyle{k}$.

IILes primitives des fonctions usuelles

Soit un entier $\displaystyle{n}$, $\displaystyle{k}$ un réel ; la fonction $\displaystyle{F}$ est une primitive de $\displaystyle{f}$ sur l'intervalle $\displaystyle{I}$.

$\displaystyle{f(x)}$ $\displaystyle{F(x)}$ $\displaystyle{I}$
$\displaystyle{k}$ $\displaystyle{kx}$ $\displaystyle{\mathbb{R}}$
$\displaystyle{x^{n}}$ $\displaystyle{\frac{x^{n+1}}{n+1}}$ si $\displaystyle{n \geqslant 1 : \mathbb{R}}$

si $\displaystyle{n \leqslant - 2 : ]- \infty ; 0[}$ et $\displaystyle{]0 ; + \infty[}$
$\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{x}}}$ $\displaystyle{2\sqrt{ x } }$ $\displaystyle{]0 ; + \infty[}$
$\displaystyle{\frac{1}{x}}$ $\displaystyle{\ln(x)}$ $\displaystyle{]0 ; + \infty[}$
$\displaystyle{e^{x}}$ $\displaystyle{e^{x}}$ $\displaystyle{\mathbb{R}}$
$\displaystyle{\sin(x)}$ $\displaystyle{- \cos(x)}$ $\displaystyle{\mathbb{R}}$
$\displaystyle{\cos(x)}$ $\displaystyle{\sin(x)}$ $\displaystyle{\mathbb{R}}$
$\displaystyle{\sin(ax+b)}$ $\displaystyle{-\frac{1}{a}\cos(ax+b)}$ $\displaystyle{\mathbb{R}}$, avec $\displaystyle{a \neq 0}$
$\displaystyle{\cos(ax+b)}$ $\displaystyle{\frac{1}{a}\sin(ax+b)}$ $\displaystyle{\mathbb{R}}$, avec $\displaystyle{a \neq 0}$

IIIOpérations et primitives

Soit un entier $\displaystyle{n}$ différent de $\displaystyle{0}$ et $\displaystyle{- 1}$. On désigne par $\displaystyle{u}$ et $\displaystyle{v}$ deux fonctions dérivables sur l'intervalle $\displaystyle{I}$ ; la fonction $\displaystyle{F}$ est une primitive de $\displaystyle{f}$ sur l’intervalle $\displaystyle{I}$.

$\displaystyle{f}$ $\displaystyle{F}$ Conditions
$\displaystyle{u'u^{n}}$ $\displaystyle{\frac{u^{n+1}}{n + 1}}$ si $\displaystyle{n \leqslant - 2 : u(x) \neq 0}$
$\displaystyle{\frac{u’}{u}}$ $\displaystyle{\ln(u)}$ $\displaystyle{u \gt 0}$
$\displaystyle{\frac{u’}{\sqrt{u}}}$ $\displaystyle{2\sqrt{ u }}$ $\displaystyle{u \gt 0}$
$\displaystyle{u'e^{u}}$ $\displaystyle{e^{u}}$  
$\displaystyle{u'\sin(u)}$ $\displaystyle{- \cos(u)}$  
$\displaystyle{u'\cos(u)}$ $\displaystyle{\sin(u)}$  
  • Vues: 2163

Rechercher