Exercice 1 4 points

QCM

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte.
Aucune justification n'est demandée. Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l'absence de réponse à une question ne rapportent ni n'enlèvent de point.
Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse correspondante choisie.

1. Une forme exponentielle du nombre complexe $- 3 + \text{i}\sqrt{3}$ est :
   
   1. $- 2 \sqrt{3}\text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{6}}$
   2. $2\sqrt{3}\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{6}}$
   3. $2 \sqrt{3}\text{e}^{\text{i}\frac{5\pi}{6}}$
   4. $\sqrt{12}\text{e}^{- \text{i}\frac{5\pi}{6}}$
2. On considère le nombre complexe $z = \dfrac{1}{2}\text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{4}}$. Le nombre $z^2$ est :
   1. un nombre réel
   2. un nombre complexe de partie réelle nulle
   3. un nombre complexe de module 1
   4. un nombre complexe de partie imaginaire positive
3. Une variable aléatoire $T$ suit la loi uniforme sur un intervalle de la forme $[2~;~x]$, où $x$ est un réel strictement supérieur à 2. Sachant que $P(2 \leqslant T \leqslant 3) = \dfrac{1}{4}$, la valeur de $x$ est :
   
   1. 2,25
   2. 6
   3. 8
   4. 10
Sur le graphique ci-dessous, la surface grisée est délimitée par la courbe d'équation $y = \dfrac{1}{x}$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x = \text{e}$ et $x = a$, où $a$ est un réel strictement supérieur à e. La surface grisée a une aire strictement comprise entre 1 et $1,5$ unité d'aire lorsque $a$ est égal à:
1. 2e
2. $2\text{e}^2$
3. 3e
4. $\text{e}^2$

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Correction de l'exercice 1 (4 points)

QCM

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte.
Aucune justification n'est demandée. Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l'absence de réponse à une question ne rapportent ni n'enlèvent de point.
Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse correspondante choisie.

1. Une forme exponentielle du nombre complexe $- 3 + \text{i}\sqrt{3}$ est :
   
   1. $- 2 \sqrt{3}\text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{6}}$
   2. $2\sqrt{3}\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{6}}$
   3. $2 \sqrt{3}\text{e}^{\text{i}\frac{5\pi}{6}}$
   4. $\sqrt{12}\text{e}^{- \text{i}\frac{5\pi}{6}}$
$z= - 3 + \text{i}\sqrt{3}$ $$\begin{array}{cc} \text{ Module} & \text{ Argument }\\ \begin{array}{rl|rl} |z |&=\sqrt{a^2+b^2} \\ & =\sqrt{ 3^2+\sqrt{3}^2}\\ &=\sqrt 12\\ &= 2\sqrt 3 \end{array}& \left\lbrace \begin{array}{l} \cos \theta=\frac{a}{r}~=\frac{-3}{2\sqrt 3}= -\frac{\sqrt 3}{2}\\ ~\sin \theta=\frac{b}{r}~= \frac{\sqrt 3}{2\sqrt 3}= \frac{1}{2} \end{array} \right.\\ &\text{ Donc } \theta = \frac{5\pi}{6} \text{ convient } \end{array}$$ $$z= - 3 + \text{i}\sqrt{3}= 2\sqrt 3 \left(\cos\left( \frac{5\pi}{6} \right) +i\sin \left( \frac{5\pi}{6} \right) \right)= 2 \sqrt{3}\text{e}^{\text{i}\frac{5\pi}{6}}$$ La bonne réponse est c. Une forme exponentielle du nombre complexe $- 3 + \text{i}\sqrt{3}$ est $2 \sqrt{3}\text{e}^{\text{i}\frac{5\pi}{6}}$.
2. On considère le nombre complexe $z = \dfrac{1}{2}\text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{4}}$. Le nombre $z^2$ est :
   1. un nombre réel
   2. un nombre complexe de partie réelle nulle
   3. un nombre complexe de module 1
   4. un nombre complexe de partie imaginaire positive
$$\begin{array}{rl} z^2&= \left ( = \dfrac{1}{2}\text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{4}} \right )\\ &= \dfrac{1}{4}\text{e}^{-\text{i}\frac{2\pi}{4}} \\ &= \dfrac{1}{4}\text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{2}} \\ &= \dfrac{1}{4} \left(\cos\left( \frac{ -\pi}{2} \right) +i\sin \left(-\frac{ \pi}{2} \right) \right) \\ &= \dfrac{1}{4}(0-i) \\ &=-\dfrac{1}{4}i \end{array}$$ La bonne réponse est donc b. $z^2$ est un nombre complexe de partie réelle nulle.
3. Une variable aléatoire $T$ suit la loi uniforme sur un intervalle de la forme $[2~;~x]$, où $x$ est un réel strictement supérieur à 2. Sachant que $P(2 \leqslant T \leqslant 3) = \dfrac{1}{4}$, la valeur de $x$ est :
   
   1. 2,25
   2. 6
   3. 8
   4. 10
$$\begin{array}{ll}P(2 \leqslant T \leqslant 3) = \dfrac{1}{4}&\iff \dfrac{3-2}{x-2} = \dfrac{1}{4}\\ &\iff \dfrac{1}{x-2} = \dfrac{1}{4}\\ &\iff x-2 = 4 \\& \iff x=6 \end{array}$$Réponse b.
4. Sur le graphique ci-dessous, la surface grisée est délimitée par la courbe d'équation $y = \dfrac{1}{x}$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x = \text{e}$ et $x = a$, où $a$ est un réel strictement supérieur à e.
   
   La surface grisée a une aire strictement comprise entre 1 et $1,5$ unité d'aire lorsque $a$ est égal à:
   
   1. 2e
   2. $2\text{e}^2$
   3. 3e
   4. $\text{e}^2$
La surface grisée a une aire $\mathcal A$ égale à $$\begin{array}{ll} \mathcal A&=\displaystyle\int_{\text{e}}^{a} \dfrac{1}{x} \text{d }x = \left [ \ln(x)\strut\right ]_{\text{e}}^{a}\\ &= \ln(a)-\ln(\text{e}) = \ln(a)-1 \end{array}$$ On veut $1< \mathcal{A} < 1,5$ donc $1 < \ln(a) -1 < 1,5$ ce qui équivaut à $2 < \ln(a) < 2,5$. La seule valeur de $a$ qui convienne est $a=3\text{e}$.
Réponse c.

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Exercice 2 6 points

Suites

Le benzène est un produit chimique liquide utilisé dans la fabrication de matières plastiques.
À la suite d'un incident le 10 juin 2018, une certaine quantité de benzène a été rejetée dans une rivière qui alimente en partie un bassin servant de base nautique. Les autorités sanitaires doivent s'occuper de la dépollution de la rivière tandis que le responsable de la base nautique s'occupe de celle du bassin. Le benzène flotte à la surface de l'eau. Le responsable de la base nautique prélève un échantillon de liquide selon un protocole établi. Il détermine ainsi la concentration de benzène à la surface du bassin. Celle observée le 10 juin 2018 est de $68$ microgrammes par litre. Le tableau suivant classe la qualité de l'eau selon la concentration de benzène, exprimée en microgrammes par litre ($\mu$g/L), dans un échantillon prélevé à la surface de l'eau. $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline \text{ Concentration de benzène en }\mu g/L&[0~;~0,5[ &[0,5~;~5[ &[5~;~50[ &[50~;~5000[& \geqslant 5000 \\ \hline \text{Qualité de l'eau }&\text{Excellente} &\text{Bonne} &\text{Moyenne }&\text{Médiocre} &\text{Mauvaise}\\ \hline \end{array} $$ La toxicité du benzène par inhalation conduit le responsable à fermer la base nautique afin de préserver la santé des usagers, cette décision entraînant une perte de recette de $750$ euros par jour. La base nautique pourra rouvrir lorsque la qualité de l'eau sera devenue excellente. Le responsable décide d'étudier deux solutions pour dépolluer le bassin : la première consiste à laisser le benzène s'éliminer sans intervention extérieure et la seconde consiste à filtrer l'eau au charbon actif.

Partie A

Élimination du benzène de façon naturelle
Dans cette partie, le responsable étudie l'évolution de la concentration de benzène à la surface du bassin sans intervention extérieure. Il estime que cette concentration diminue de manière naturelle de $7 %$ par jour, notamment par évaporation.

1. 1. Quelle est la qualité de l'eau le 10 juin 2018 ?
   2. Quelle serait la qualité de l'eau le 11 juin 2018 ?
2. Pour tout entier naturel $n$, on note $u_n$ la concentration de benzène, en microgrammes par litre, à la surface du bassin $n$ jours après le 10 juin 2018.
   1. Montrer que la suite $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
   2. Déterminer une expression de $u_n$ en fonction de $n$.
   3. Vérifier que le 15 juin 2018, l'eau deviendrait de qualité moyenne.
   4. Quelle est la limite de la suite $\left(u_n\right)$ ? Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
3. 1. On propose ci-dessous la partie traitement de deux algorithmes. $$ \begin{array}{ |l|l|l|} \hline u \gets 68 && u \gets 68 \\ n \gets 0 && n \gets 0 \\ \text{ Tant que }u \geqslant 0,5 &&\text{Tant que }u < 0,5 \\ u \gets 0,93u && u \gets 0,93u \\ n \gets n+1 && n \gets n+1 \\ \text{Fin Tant que}&&\text{Fin Tant que}\\ \hline\end{array} $$
   2. Déterminer le plus petit entier naturel $n$ vérifiant l'inéquation $68 \times 0,93^n < 0,5$. Indiquer la démarche utilisée.
   3. Interpréter le résultat précédent.
   4. En déduire la perte financière qui résulterait de la fermeture de la base si cette solution était retenue.

 

Partie B

Élimination du benzène par traitement au charbon actif
Un procédé de filtration de l'eau de la base nautique au charbon actif permettrait d'éliminer plus rapidement le benzène présent à la surface du bassin. Le coût total de l'installation est de 20000 euros. Dans cette partie, le responsable étudie cette solution. L'action du filtre commencerait alors le 13 juin 2018. À la mise en service, à l'instant $t = 0$, le responsable estime que la concentration de benzène à la surface du bassin serait de $54,7$ microgrammes par litre. Il choisit de modéliser la concentration de benzène en microgrammes par litre à la surface du bassin, en fonction du temps $t$ exprimé en jours, par une fonction $f$, définie sur $[0~; ~+ \infty[$ et vérifiant l'équation différentielle : \[(E)\qquad y' + \dfrac{1}{4}y = 0\]

1. Résoudre dans l'intervalle $[0~; ~+ \infty[$ l'équation différentielle $(E)$.
2. Justifier que, pour tout $t \geqslant 0$, $f(t) = 54,7\text{e}^{-0,25t}$.
3. Quelle serait la qualité de l'eau $19$ jours après la mise en service du filtre ?

 

Partie C

Comparaison des deux solutions étudiées
Laquelle des deux solutions envisagées est financièrement la plus judicieuse pour la base nautique ?

 

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Correction de l'exercice 2 (6 points)

Suites

Le benzène est un produit chimique liquide utilisé dans la fabrication de matières plastiques.
À la suite d'un incident le 10 juin 2018, une certaine quantité de benzène a été rejetée dans une rivière qui alimente en partie un bassin servant de base nautique. Les autorités sanitaires doivent s'occuper de la dépollution de la rivière tandis que le responsable de la base nautique s'occupe de celle du bassin. Le benzène flotte à la surface de l'eau. Le responsable de la base nautique prélève un échantillon de liquide selon un protocole établi. Il détermine ainsi la concentration de benzène à la surface du bassin. Celle observée le 10 juin 2018 est de $68$ microgrammes par litre. Le tableau suivant classe la qualité de l'eau selon la concentration de benzène, exprimée en microgrammes par litre ($\mu$g/L), dans un échantillon prélevé à la surface de l'eau. $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline \text{ Concentration de benzène en }\mu g/L&[0~;~0,5[ &[0,5~;~5[ &[5~;~50[ &[50~;~5000[& \geqslant 5000 \\ \hline \text{Qualité de l'eau }&\text{Excellente} &\text{Bonne} &\text{Moyenne }&\text{Médiocre} &\text{Mauvaise}\\ \hline \end{array} $$ La toxicité du benzène par inhalation conduit le responsable à fermer la base nautique afin de préserver la santé des usagers, cette décision entraînant une perte de recette de $750$ euros par jour. La base nautique pourra rouvrir lorsque la qualité de l'eau sera devenue excellente. Le responsable décide d'étudier deux solutions pour dépolluer le bassin : la première consiste à laisser le benzène s'éliminer sans intervention extérieure et la seconde consiste à filtrer l'eau au charbon actif.

Partie A

Élimination du benzène de façon naturelle
Dans cette partie, le responsable étudie l'évolution de la concentration de benzène à la surface du bassin sans intervention extérieure. Il estime que cette concentration diminue de manière naturelle de $7 %$ par jour, notamment par évaporation.

1. 1. Quelle est la qualité de l'eau le 10 juin 2018 ?
   Le 10 juin 2018 la concentration de benzène est de 68~$\mu$g/L donc la qualité est médiocre.
   2. Quelle serait la qualité de l'eau le 11 juin 2018 ?
   Le 11 juin 2018 la concentration aurait baissé de 7 % donc serait de $68-68\times \dfrac{7}{100}= 63,24$; la qualité de l'eau serait toujours médiocre.
2. Pour tout entier naturel $n$, on note $u_n$ la concentration de benzène, en microgrammes par litre, à la surface du bassin $n$ jours après le 10 juin 2018.
   1. Montrer que la suite $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
   Chaque jour, la concentration diminue de 7 %; diminuer de 7 %, c'est multiplier par $1-\dfrac{7}{100} = 0,93$.
   Donc la suite $(u_n)$ est géométrique de raison $q=0,93$.
   Le 10 juin 2018 la concentration est de 68~$\mu$g/L donc le premier terme de la suite est $u_0=68$.
   2. Déterminer une expression de $u_n$ en fonction de $n$.
   La suite $(u_n)$ est géométrique de raison $q=0,93$ et de premier terme $u_0=68$ donc,
   pour tout entier naturel $n$, $u_n=u_0 \times q^n = 68 \times 0,93^n$.
   3. Vérifier que le 15 juin 2018, l'eau deviendrait de qualité moyenne.
   Le 15 juin 2018 correspond à $n=5$: $u_5 = 68\times 0,93^5 \approx 47,3$.
   Or $47,3 \in [5\,; 50[$ donc le 15 juin 2018 la qualité de l'eau est moyenne.
   4. Quelle est la limite de la suite $\left(u_n\right)$ ? Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
   La suite $(u_n)$ est géométrique de raison $0,93$. Or $0< 0,93 < 1$ donc la suite $(u_n)$ a pour limite 0. Cela signifie qu'au bout d'un certain temps, la concentration en benzène va tendre vers 0 donc que la qualité de l'eau va devenir excellente.
3. 1. On propose ci-dessous la partie traitement de deux algorithmes. $$ \begin{array}{ |l|l|l|} \hline u \gets 68 && u \gets 68 \\ n \gets 0 && n \gets 0 \\ \text{ Tant que }u \geqslant 0,5 &&\text{Tant que }u < 0,5 \\ u \gets 0,93u && u \gets 0,93u \\ n \gets n+1 && n \gets n+1 \\ \text{Fin Tant que}&&\text{Fin Tant que}\\ \hline\end{array} $$
   Dans l'algorithme 2 la condition pour entrer dans la boucle est « $<0,5$»; or la variable $u$ est initialisée à 68 donc on n'entre jamais dans la boucle et l'algorithme 2 affiche la valeur 0 pour $n$. C'est donc l'algorithme 1 qui permet de déterminer le nombre de jours de fermeture avant que la qualité de l'eau soit devenue excellente.
   2. Déterminer le plus petit entier naturel $n$ vérifiant l'inéquation $68 \times 0,93^n < 0,5$. Indiquer la démarche utilisée.
   On résout l'inéquation $68 \times 0,93^n < 0,5$: $$\begin{array}{rll} 68 \times 0,93^n < 0,5 &\iff 0,93^n< \dfrac{0,5}{68}&\\ &\iff \ln\left (0,93^n\right ) <\ln \left ( \dfrac{0,5}{68}\right )& \ln \text{est strictement croissante sur } ]0;+\infty[\\ & \iff n\ln\left (0,93 \right ) <\ln \left ( \dfrac{0,5}{68}\right )& \text{ car } \ln\left (a^n \right )=n\ln a\\ &\iff n> \dfrac{\ln \left ( \dfrac{0,5}{68}\right )}{\ln\left (0,93 \right )}&\text{ car } 0,93 <1 \text{ donc } \ln\left (0,93 \right ) <0\\ \end{array}$$ Grâce à une calculatrice, on obtient $\dfrac{\ln \left ( \dfrac{0,5}{68}\right )}{\ln\left (0,93 \right )}\approx 67,7$.
   Donc le plus petit entier $n$ tel que la concentration soit inférieure à $0,5$ $\mu$g/L est 68.
   3. Interpréter le résultat précédent.
   Donc c'est à partir du $68 $ ième jour après le 10 juin 2018 que la qualité de l'eau sera redevenue excellente.
   4. En déduire la perte financière qui résulterait de la fermeture de la base si cette solution était retenue.
   Si cette solution était retenue, la base serait fermée 67 jours donc la perte financière serait, en euros, de $68 \times 750 = 51000$.

 

Partie B

Élimination du benzène par traitement au charbon actif
Un procédé de filtration de l'eau de la base nautique au charbon actif permettrait d'éliminer plus rapidement le benzène présent à la surface du bassin. Le coût total de l'installation est de 20000 euros. Dans cette partie, le responsable étudie cette solution. L'action du filtre commencerait alors le 13 juin 2018. À la mise en service, à l'instant $t = 0$, le responsable estime que la concentration de benzène à la surface du bassin serait de $54,7$ microgrammes par litre. Il choisit de modéliser la concentration de benzène en microgrammes par litre à la surface du bassin, en fonction du temps $t$ exprimé en jours, par une fonction $f$, définie sur $[0~; ~+ \infty[$ et vérifiant l'équation différentielle : \[(E)\qquad y' + \dfrac{1}{4}y = 0\]

1. Résoudre dans l'intervalle $[0~; ~+ \infty[$ l'équation différentielle $(E)$.
L'équation différentielle $y' + \dfrac{1}{4}y = 0$ est de la forme $y'=ay$ où $a=- \dfrac{1}{4}y$ qui a pour solutions $y=K\text{e}^{at}$ où $K$ est un réel quelconque.
Donc $(E)$ a pour solutions les fonctions $f$ définies par $f(t)=K\text{e}^{-0,25t}$ où $K$ est un réel quelconque.
2. Justifier que, pour tout $t \geqslant 0$, $f(t) = 54,7\text{e}^{-0,25t}$.
En $t=0$, la concentration du bassin est de $54,7$ $\mu$g/L donc $f(0)= 54,7$ ce qui équivaut à $K\text{e}^{0} = 54,7$ ce qui donne $K=54,7$. Donc pour tout $t \geqslant 0$,\: $f(t) = 54,7\text{e}^{-0,25t}$.
3. Quelle serait la qualité de l'eau $19$ jours après la mise en service du filtre ?
La concentration de benzène dans l'eau $19$ jours après la mise en service du filtre est $f(19) = 54,7 \text{e}^{-0,25\times 19} \approx 0,47$.
Cela veut dire que 19 jours après la mise en service du filtre, la qualité de l'eau est redevenue excellente.

 

Partie C

$f(18) \approx 0,61$ donc au bout de 18 jours après la mise en service du filtre, l'eau n'est pas de qualité excellente. Elle devient excellente après 19 jours à compter du 13 juin, donc après 22 jours à compter du 10 juin, jour de la pollution 22 jours de fermeture coûtent $22\times 750 = 16500 $ € le coût total de la solution avec filtre est donc $20000 + 16500 = 36500 $ €
La solution avec utilisation d'un filtre à charbon est nettement plus judicieuse que l'autre.

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Exercice 3 6 points

Fonctions exponentielles

Une société d'extraction de gravier reçoit une commande de 550000 tonnes de gravier pour la construction d'un tronçon d'autoroute. Pour satisfaire cette commande, elle exploite un nouveau gisement de pierre.
Le responsable a recensé les masses journalières de gravier extraites de ce gisement au cours de son exploitation. La tendance observée et son expérience professionnelle le conduisent à modéliser la masse journalière de gravier extraite, exprimée en tonnes, par la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0~;~600]$ par : \[f(x) = \left(0,2x^2 + 30x\right)\text{e}^{- 0,01x}\] où $x$ désigne le temps écoulé en jours depuis le début de l'exploitation du gisement.

Partie A

 

1. 1. Démontrer que, pour tout $x$ de l'intervalle $[0~;~600]$, \[f'(x) = \left(- 0,002x^2 + 0,1x + 30\right)\text{e}^{- 0,01x}.\]
   2. Vérifier que, pour tout $x$ de l'intervalle $[0~;~600]$, \[f'(x) = 0,002(- x + 150)(x + 100)\text{e}^{- 0,01x}\]
2. 1. Étudier le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle $[0~;~600]$.
   2. Dresser le tableau de variations de $f$ sur l'intervalle $[0~;~600]$.
   3. En déduire au bout de combien de jours la masse journalière de gravier extraite sera maximale. Quelle est alors cette masse maximale, en tonnes ?
3. La courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthogonal est donnée ci-dessous :
   
   Après avoir atteint son maximum, la masse journalière de gravier extraite diminue. Déterminer graphiquement au bout de combien de jours elle deviendra alors inférieure à 1000 tonnes. Répondre avec la précision permise par le graphique.

 

Partie B

Un logiciel de calcul formel a permis d'obtenir les résultats suivants:

1. 1. Que représente le résultat fourni par le logiciel en ligne 2 ?
   2. Une valeur approchée de la masse totale de gravier extraite, en tonnes, entre le début de l'exploitation et le 600 ème jour d'exploitation est donnée par : \[I= \displaystyle\int_0^{600} f(x)\:\text{d}x.\] La commande pourra-t-elle être satisfaite au bout de $600$ jours ?
2. Le responsable du chantier d'extraction estime que la commande sera satisfaite au bout de $400$ jours. Qu'en pensez-vous ? Justifier la réponse par un calcul.

 

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Correction de l'exercice 3 (6 points)

Fonctions exponentielles

Une société d'extraction de gravier reçoit une commande de 550000 tonnes de gravier pour la construction d'un tronçon d'autoroute. Pour satisfaire cette commande, elle exploite un nouveau gisement de pierre.
Le responsable a recensé les masses journalières de gravier extraites de ce gisement au cours de son exploitation. La tendance observée et son expérience professionnelle le conduisent à modéliser la masse journalière de gravier extraite, exprimée en tonnes, par la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0~;~600]$ par : \[f(x) = \left(0,2x^2 + 30x\right)\text{e}^{- 0,01x}\] où $x$ désigne le temps écoulé en jours depuis le début de l'exploitation du gisement.

Partie A

 

1. 1. Démontrer que, pour tout $x$ de l'intervalle $[0~;~600]$, \[f'(x) = \left(- 0,002x^2 + 0,1x + 30\right)\text{e}^{- 0,01x}.\]
   Pour tout $x$ de l'intervalle $[0~;~600]$, $f'(x) = \left(0,2\times 2x + 30\right)\text{e}^{- 0,01x} + \left(0,2x^2 + 30x\right) \times (-0,01)\text{e}^{-0,01x}\\ \phantom{f'(x)} = \left ( 0,4 x + 30 -0,002 x^2 -0,3x \right ) \text{e}^{-0,01x}\\ \phantom{f'(x)} = \left(- 0,002x^2 + 0,1x + 30\right)\text{e}^{- 0,01x}$
   2. Vérifier que, pour tout $x$ de l'intervalle $[0~;~600]$, \[f'(x) = 0,002(- x + 150)(x + 100)\text{e}^{- 0,01x}\]
   Pour tout $x$ de l'intervalle $[0~;~600]$, $0,002(- x + 150)(x + 100)\text{e}^{- 0,01x} = 0,002 (-x^2 +150x -100x + 15000 )\text{e}^{-0,01x}\\ \phantom{0,002(- x + 150)(x + 100)\text{e}^{- 0,01x}} = 0,002 (-x^2 +50x + 15000 )\text{e}^{-0,01x}\\ \phantom{0,002(- x + 150)(x + 100)\text{e}^{- 0,01x}} = (-0,002 x^2 +0,1x +30 )\text{e}^{-0,01x}\\ \phantom{0,002(- x + 150)(x + 100)\text{e}^{- 0,01x}} = f'(x)$.
2. 1. Étudier le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle $[0~;~600]$.
   On étudie le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle $[0~;~600]$.
   
   
   2. Dresser le tableau de variations de $f$ sur l'intervalle $[0~;~600]$.
   $f(0)=0$, $f(150)\approx 2008 $ et $f(600) \approx 223$ On dresse le tableau de variations de $f$ sur l'intervalle $[0~;~600]$.
   
   
   3. En déduire au bout de combien de jours la masse journalière de gravier extraite sera maximale. Quelle est alors cette masse maximale, en tonnes ?
   La masse journalière de gravier extraite sera maximale au bout de 150 jours et cette masse maximale sera d'environ $ 2008 $ tonnes.
3. La courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthogonal est donnée ci-dessous :
   
   Après avoir atteint son maximum, la masse journalière de gravier extraite diminue. Déterminer graphiquement au bout de combien de jours elle deviendra alors inférieure à 1000 tonnes. Répondre avec la précision permise par le graphique.
Après avoir atteint son maximum, la masse journalière de gravier extraite diminue. La masse deviendra alors inférieure à 1000 tonnes au bout de 360 jours

 

Partie B

Un logiciel de calcul formel a permis d'obtenir les résultats suivants:

1. 1. Que représente le résultat fourni par le logiciel en ligne 2 ?
   Le résultat fourni par le logiciel en ligne 2 donne une primitive de la fonction $f$. Si on appelle $F$ cette primitive, on a $F(x)= \left(- 20x^2 - 7000 x- 700000 \right)\text{e}^{- 0,01x}$.
   2. Une valeur approchée de la masse totale de gravier extraite, en tonnes, entre le début de l'exploitation et le 600 ème jour d'exploitation est donnée par : \[I= \displaystyle\int_0^{600} f(x)\:\text{d}x.\] La commande pourra-t-elle être satisfaite au bout de $600$ jours ?
   Une valeur approchée de la masse totale de gravier extraite, en tonnes, entre le début de l'exploitation et le 600ème jour d'exploitation est donnée par : $$I= \displaystyle\int_0^{600} f(x) \text{d} x$$
   D'après la ligne 4 du logiciel de calcul formel, $I= \displaystyle\int_0^{600} f(x) \text{d} x \approx 670007 $. Au bout de 600 jours on aura extrait environ 670007 tonnes ce qui est supérieur à 550000 tonnes, ce qui permet d'honorer la commande.
2. Le responsable du chantier d'extraction estime que la commande sera satisfaite au bout de $400$ jours. Qu'en pensez-vous ? Justifier la réponse par un calcul.
La masse extraite au bout de 400 jours est $\displaystyle\int_{0}^{400} f(x) \text{d} x = \left [ F(x) \strut\right ]_{0}^{400} = F(400) - F(0)\\ \hphantom{\displaystyle\int_{0}^{400} f(x) \text{d} x} = \left ( \left(- 20\times 400^2 - 7000 \times 400- 700000 \right)\text{e}^{- 0,01\times 400}\right ) - \left ( \left(- 700000 \right)\text{e}^{0}\right )\\ \hphantom{\displaystyle\int_{0}^{400} f(x) \text{d} x} = - 6700000 \text{e}^{-4} + 700000 \approx 577285 > 550000 $
Donc la commande peut être satisfaite au bout de 400 jours.

 

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Exercice 4 : 4 points

Probabilités

 

Les parties A et B sont indépendantes.

Dans cet exercice, sauf mention contraire, on donnera les résultats arrondis à $10^{- 3}$ près.

Partie A

 

1. Lors de la conception d'un avion, les techniciens cherchent à optimiser l'espacement entre les rangées de sièges. L'espace minimal de confort, exprimé en centimètres, pour les jambes d'un passager adulte peut être modélisé par une variable aléatoire $L$ qui suit la loi normale d'espérance $\mu = 55$ et d'écart type $\sigma = 5$. Un passager adulte est choisi au hasard.
   1. Calculer la probabilité que l'espace minimal de confort de ce passager soit compris entre 48 cm et 62 cm.
   2. Calculer la probabilité que l'espace minimal de confort de ce passager soit supérieur à 67 cm.
2. Sur cet avion comportant $334$ sièges, les techniciens fixent l'espace entre deux rangées consécutives à 65 cm. La probabilité qu'un client adulte prenne place confortablement est alors égale à $0,977$. On choisit au hasard un échantillon de $334$ personnes adultes pour prendre place dans cet avion. Le nombre de passagers confortablement installés peut être modélisé par une variable aléatoire $X$.
   1. On admet que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale. Préciser les paramètres de cette loi.
   2. Justifier qu'en moyenne, dans un tel avion, $326$ personnes pourraient s'asseoir confortablement.
   3. Calculer $P(X \geqslant 330)$. Interpréter le résultat.

 

Partie B

Par expérience, la compagnie estime que la probabilité qu'un passager ayant réservé une place se présente à l'embarquement est égale à $0,9$. La compagnie a accepté un nombre $n$ de réservations supérieur ou égal à $335$ pour $334$ sièges disponibles. On suppose par ailleurs que les comportements des passagers sont indépendants les uns des autres. On note $Y$ la variable aléatoire égale au nombre de passagers se présentant effectivement. $Y$ suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $p = 0,9$. Dans le tableau ci-dessous, on donne, pour quelques valeurs de $n$ supérieures à 335, la probabilité $p_n$ qu'il y ait plus de personnes à l'embarquement que de places disponibles. $$ \begin{array}{ |c|c|c|}\hline &A &B\\ \hline 1 &\text{ Nombre } n \text{ de places vendues} & p_n \\ \hline 2 & 353 &0,0006 \\ \hline 3 & 354 &0,0012 \\ \hline 4 & 355 &0,0023 \\ \hline 5 &356 & \\ \hline 6 &357 &0,0070 \\ \hline 7 & 358 &0,0115 \\ \hline 8 & 359 &0,0183 \\ \hline 9 & 360 &0,0280 \\ \hline 10 & 361 &0,0414 \\ \hline 11 & 362 &0,0594 \\ \hline 12 & 363 &0,0826 \\ \hline 13 & 364 &0,1116 \\ \hline 14 & 365 &0,1468 \\ \hline 15 & 366 &0,1883 \\ \hline \end{array} $$

1. Indiquer à $10^{-4}$ près la valeur manquante de la cellule B5 de ce tableau.
2. Combien de billets au maximum la compagnie peut-elle vendre si elle souhaite que le risque d'avoir plus de passagers que de sièges le jour de l'embarquement soit inférieur à $2,5$ % ?

 

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Exercice 4 : 4 points

Probabilités

 

Les parties A et B sont indépendantes.

Dans cet exercice, sauf mention contraire, on donnera les résultats arrondis à $10^{- 3}$ près.

Partie A

 

1. Lors de la conception d'un avion, les techniciens cherchent à optimiser l'espacement entre les rangées de sièges. L'espace minimal de confort, exprimé en centimètres, pour les jambes d'un passager adulte peut être modélisé par une variable aléatoire $L$ qui suit la loi normale d'espérance $\mu = 55$ et d'écart type $\sigma = 5$. Un passager adulte est choisi au hasard.
   1. Calculer la probabilité que l'espace minimal de confort de ce passager soit compris entre 48 cm et 62 cm.

   2ND DISTR 2NORMALFRép( \1 , \2,\3,\4)EXE
   Avec une calculatrice de type TI

   $$NormalFR\text{é}p(\1,\2,\3,\4) \approx \5$$

   $$P(\1 \leq \6 \leq \2)\approx \5 \text{ à } 10^{-\7} \text{ près.}$$

    

   La probabilité que l'espace minimal de confort de ce passager soit compris entre 48 cm et 62 cm est $P(48 \leqslant L \leqslant 62) \approx 0,838$.
   2. Calculer la probabilité que l'espace minimal de confort de ce passager soit supérieur à 67 cm.

    

   2ND DISTR 2NORMALFRép( $\1$ , $10^{99}$,\2,$\3$)EXE
   Avec une calculatrice de type TI

   $$NormalFR\text{é}p(\1,10^{99},\2,\3) \approx \4$$

   $$P( \5 \geq \1)\approx \4 \text{ à } 10^{-\6} \text{ près.}$$
   La probabilité que l'espace minimal de confort de ce passager soit supérieur à 67 cm est $P(L > 67) \approx 0,008$.
2. Sur cet avion comportant $334$ sièges, les techniciens fixent l'espace entre deux rangées consécutives à 65 cm. La probabilité qu'un client adulte prenne place confortablement est alors égale à $0,977$. On choisit au hasard un échantillon de $334$ personnes adultes pour prendre place dans cet avion. Le nombre de passagers confortablement installés peut être modélisé par une variable aléatoire $X$.
   1. On admet que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale. Préciser les paramètres de cette loi.
   Les paramètres de cette loi sont $n=334$ et $p=0,977$.
   2. Justifier qu'en moyenne, dans un tel avion, $326$ personnes pourraient s'asseoir confortablement.
   L'espérance mathématique de la variable aléatoire $X$ est $np=334\times 0,977 \approx 326$ donc, en moyenne, dans un tel avion, $326$ personnes pourraient s'asseoir confortablement.
   3. Calculer $P(X \geqslant 330)$. Interpréter le résultat.
   Dans un tel avion, la probabilité qu'au moins 330 personnes puissent s'asseoir confortablement est de $0,051$.

 

Partie B

Par expérience, la compagnie estime que la probabilité qu'un passager ayant réservé une place se présente à l'embarquement est égale à $0,9$. La compagnie a accepté un nombre $n$ de réservations supérieur ou égal à $335$ pour $334$ sièges disponibles. On suppose par ailleurs que les comportements des passagers sont indépendants les uns des autres. On note $Y$ la variable aléatoire égale au nombre de passagers se présentant effectivement. $Y$ suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $p = 0,9$. Dans le tableau ci-dessous, on donne, pour quelques valeurs de $n$ supérieures à 335, la probabilité $p_n$ qu'il y ait plus de personnes à l'embarquement que de places disponibles. $$ \begin{array}{ |c|c|c|}\hline &A &B\\ \hline 1 &\text{ Nombre } n \text{ de places vendues} & p_n \\ \hline 2 & 353 &0,0006 \\ \hline 3 & 354 &0,0012 \\ \hline 4 & 355 &0,0023 \\ \hline 5 &356 & \\ \hline 6 &357 &0,0070 \\ \hline 7 & 358 &0,0115 \\ \hline 8 & 359 &0,0183 \\ \hline 9 & 360 &0,0280 \\ \hline 10 & 361 &0,0414 \\ \hline 11 & 362 &0,0594 \\ \hline 12 & 363 &0,0826 \\ \hline 13 & 364 &0,1116 \\ \hline 14 & 365 &0,1468 \\ \hline 15 & 366 &0,1883 \\ \hline \end{array} $$

1. Indiquer à $10^{-4}$ près la valeur manquante de la cellule B5 de ce tableau.
On cherche une valeur approchée à $10^{-4}$ près de la valeur manquante de la cellule B5 de ce tableau. Dans ce cas, la variable aléatoire $Y$ suit la loi binomiale de paramètres $n=356$ et $p=0,9$.
On cherche $p_{356}=P(Y >334)$; on trouve à la calculatrice $0,0041$. $P(Y> 334)=1-P(Y\leq 334)$.

 

2ND DISTR AbinomFRép( \1 , \2,\3)EXE
Avec une calculatrice de type TI $$binomFR\text{é}p(\1,\2,\3) \approx \4$$

$$P( \5 \leq \3)\approx \4 \text{ à } 10^{-\6} \text{ près.}$$
Puis $p_{356}=P(Y >334)\approx 1-0.9959\approx 0.0041$
2. Combien de billets au maximum la compagnie peut-elle vendre si elle souhaite que le risque d'avoir plus de passagers que de sièges le jour de l'embarquement soit inférieur à $2,5$ % ?
On cherche donc $n$ pour que $p_n <0,025$; d'après le tableau, on peut prendre $n\leqslant 359$. Pour que le risque d'avoir plus de passagers que de sièges le jour de l'embarquement soit inférieur à $2,5$ %, la compagnie doit prendre au maximum $359$ passagers.

Exercice 1 4 points

QCM

Cet exercice est composé de deux parties indépendantes.

Partie A

Pour chacune des questions suivantes, une seule réponse est correcte.
Recopier sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie.
Aucune justification n'est demandée.
Une bonne réponse rapporte $0,5$ point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l'absence de réponse ne rapportent ni n'enlèvent aucun point.

1. On donne ci-dessous la représentation graphique $\mathcal{C}$ d'une fonction$f$ définie sur $]-\infty~;~1[ \cup ]1~;~+\infty[$.
   1. $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x)=1$
   2. $\displaystyle\lim_{\substack{x \to 1 \\ x < 1}} f(x)= -\infty$
   3. $\displaystyle\lim_{\substack{x \to 1 \\ x > 1}} f(x)= -\infty$
   4. $\displaystyle\lim_{x\to -\infty} f(x)= -\infty$
   
2. Une solution $g$ de l'équation différentielle $y''+9y=0$ vérifiant $g(0)=1$ est définie sur $\mathbb R$ par:
   1. $g(t)= \cos\left (9t\right ) + \sin \left (9t\right )$
   2. $g(t)= 4\,\cos \left (3t\right ) - 3$
   3. $g(t)= \cos\left (3t\right ) + \sin \left (3t\right )$
   4. $g(t)= 2\, \cos\left (3t\right ) - \sin \left (3t\right )$
3. L'équation $\ln\left (x-2\right ) = -2$ admet pour solution dans $\mathbb R$:
   1. $0$
   2. $2+\text{e}^{-2}$
   3. $2,14$
   4. $2-\text{e}^{2}$
4. La dérivée de la fonction $h$ définie sur $\mathbb R$ par $h(x)=x\text{e}^{-2x}$ est la fonction $h'$ définie sur $\mathbb R$ par:
   1. $h'(x)=\text{e}^{-2x}$
   2. $h'(x)=-2\text{e}^{-2x}$
   3. $h'(x)=-2x\text{e}^{-2x}$
   4. $h'(x)=\left (1-2x\right )\text{e}^{-2x}$

Partie B

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé $\left(\text{O}~;~\vec{u},~\vec{v}\right)$. On note $ \text{i}$ le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$. On considère les points A, B et C du plan complexe d'affixes respectives $z_{\mathrm A}$, $z_{\mathrm B}$ et $z_{\mathrm C}$: \[z_{\mathrm A} = \dfrac{\sqrt{2} + \text{i} \sqrt{2}}{ \text{i}} \hspace{2cm} z_{\mathrm B} = 2 \text{e}^{ \text{i} \frac{\pi}{3}} \hspace{2cm} z_{\mathrm C} = -2 \text{i}\text{e}^{- \text{i}\frac{\pi}{6}}\] Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier les réponses choisies.Toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.
Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

• Affirmation 1: La forme algébrique de $z_{\mathrm{A}}$ est $\sqrt{2}- \text{i}\sqrt{2}$.
• Affirmation 2: Un argument de $z_{\mathrm{C}}$ est $\dfrac{\pi}{6}$.
• Affirmation 3: Les points A, B et C sont sur un même cercle de centre O.
• Affirmation 4: O est le milieu du segment [BC].

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Correction de l'exercice 1 (4 points)

QCM

Cet exercice est composé de deux parties indépendantes.

Partie A

Pour chacune des questions suivantes, une seule réponse est correcte.
Recopier sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie.
Aucune justification n'est demandée.
Une bonne réponse rapporte $0,5$ point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l'absence de réponse ne rapportent ni n'enlèvent aucun point.

1. On donne ci-dessous la représentation graphique $\mathcal{C}$ d'une fonction$f$ définie sur $]-\infty~;~1[ \cup ]1~;~+\infty[$.
   1. $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x)=1$
   2. $\displaystyle\lim_{\substack{x \to 1 \\ x < 1}} f(x)= -\infty$
   3. $\displaystyle\lim_{\substack{x \to 1 \\ x > 1}} f(x)= -\infty$
   4. $\displaystyle\lim_{x\to -\infty} f(x)= -\infty$
   
Par lecture graphique, on a : $\displaystyle\lim_{\substack{x \to 1 \\ x < 1}} f(x)= -\infty$
2. Une solution $g$ de l'équation différentielle $y''+9y=0$ vérifiant $g(0)=1$ est définie sur $\mathbb R$ par:
   1. $g(t)= \cos\left (9t\right ) + \sin \left (9t\right )$
   2. $g(t)= 4\,\cos \left (3t\right ) - 3$
   3. $g(t)= \cos\left (3t\right ) + \sin \left (3t\right )$
   4. $g(t)= 2\, \cos\left (3t\right ) - \sin \left (3t\right )$
L'équation différentielle $y″+9⁢y=0$ est du type $y"+\omega ^2y=0$ où $\omega=3$.
Les solutions de l'équation différentielle $y″+9⁢y=0$ sont les fonctions définies $f$ sur $\mathbb R$ par $f(t)=A\cos\left (3t\right ) +B \sin \left (3t\right )$ où $A$ et $B$ sont deux constantes réelles.
La condition $g(0)=1$ équivaut à $A=1$.
Ainsi, une solution $g$ de cette l'équation différentielle vérifiant $g(0)=1$ est définie sur $\mathbb R$ par $f(t)=\cos\left (3t\right ) + \sin \left (3t\right )$
3. L'équation $\ln\left (x-2\right ) = -2$ admet pour solution dans $\mathbb R$:
   1. $0$
   2. $2+\text{e}^{-2}$
   3. $2,14$
   4. $2-\text{e}^{2}$
$\ln⁡ x-2=-2\iff x-2=e^{-2}\iff x=2+e^{-2}$
La bonne réponse est b.
4. La dérivée de la fonction $h$ définie sur $\mathbb R$ par $h(x)=x\text{e}^{-2x}$ est la fonction $h'$ définie sur $\mathbb R$ par:
   1. $h'(x)=\text{e}^{-2x}$
   2. $h'(x)=-2\text{e}^{-2x}$
   3. $h'(x)=-2x\text{e}^{-2x}$
   4. $h'(x)=\left (1-2x\right )\text{e}^{-2x}$
$h$ est dérivable comme somme de deux fonctions dérivables. $h=u v ,$ d'où $f'=u'v+v'u $ avec pour tout réel $x$: $\left\{ \begin{array}{l} u(x)~ =x \\ v(x)~ = \text{e}^{-2x}\end{array}\right.$ ainsi : $\left\{ \begin{array}{l} u'(x)~ = 1 \\ v'(x)~ = -2\text{e}^{-2x}\end{array}\right.$ $$ \begin{array}{cl} h'(x)& =1\times \text{e}^{-2x}+\left (-2\text{e}^{-2x}\right )\times x\\ & = \text{e}^{-2x}-2x\text{e}^{-2x} \\ &= \text{e}^{-2x}\left (1-2x\right ) \end{array} $$ La bonne réponse est d.

Partie B

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé $\left(\text{O}~;~\vec{u},~\vec{v}\right)$. On note $ \text{i}$ le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$. On considère les points A, B et C du plan complexe d'affixes respectives $z_{\mathrm A}$, $z_{\mathrm B}$ et $z_{\mathrm C}$: \[z_{\mathrm A} = \dfrac{\sqrt{2} + \text{i} \sqrt{2}}{ \text{i}} \hspace{2cm} z_{\mathrm B} = 2 \text{e}^{ \text{i} \frac{\pi}{3}} \hspace{2cm} z_{\mathrm C} = -2 \text{i}\text{e}^{- \text{i}\frac{\pi}{6}}\] Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier les réponses choisies.Toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.
Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

• Affirmation 1: La forme algébrique de $z_{\mathrm{A}}$ est $\sqrt{2}- \text{i}\sqrt{2}$.
$$ \begin{array}{cl} z_{\mathrm A} &= \dfrac{\sqrt{2} + \text{i} \sqrt{2}}{ \text{i}} \\ & = \dfrac{\left ( \sqrt{2} + \text{i} \sqrt{2} \right )\times ( -\text{i} )}{ \text{i}\times (- \text{i} )} \\ &= \dfrac{\left ( -\text{i}\sqrt{2} - \text{i} ^2\sqrt{2} \right )}{ 1} \\ &=\sqrt{2}-\text{i}\sqrt{2} \end{array} $$ L'affirmation 1 est donc vraie.
• Affirmation 2: Un argument de $z_{\mathrm{C}}$ est $\dfrac{\pi}{6}$.
$-2\text{i}\text{e}^{- \text{i}\frac{\pi}{6}}$ n'est pas une forme exponentielle d'un nombre complexe. Comme $\text{e}^{- \text{i}\frac{\pi}{2}}=- \text{i}$, on en déduit : $$ \begin{array}{cl} z_{\mathrm C} &= -2\text{i}\text{e}^{- \text{i}\frac{\pi}{6}} \\ & = 2 \text{e}^{- \text{i}\frac{\pi}{2}} \text{e}^{- \text{i}\frac{\pi}{6}} \\ &= 2 \text{e}^{- \text{i}(-\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{6})} \\ &2 \text{e}^{- \text{i} \frac{2\pi}{3} } \end{array} $$ L'affirmation 2 est fausse : un argument de $z_{\mathrm C}$ est $-\frac{2\pi}{3}$.
• Affirmation 3: Les points A, B et C sont sur un même cercle de centre O.
Le module du nombre complexe $z_{\mathrm A}=\sqrt 2-\text{i}\sqrt ⁢2$ est : $\rvert z_{\mathrm A}\rvert=\sqrt{\sqrt ⁢2^2+\sqrt ⁢2^2}=\sqrt 4=2$.
Le module du nombre complexe $z_{\mathrm B}=2⁢\text{e}^{ \text{i}\frac{\pi}{3}} $ est $\rvert z_{\mathrm B}\rvert =2$ et, le module du nombre complexe $z_{\mathrm C}= 2 \text{e}^{- \text{i}( \frac{2\pi}{3}}$ est $\rvert z_{\mathrm C}\rvert =2$
L'affirmation 3 est vraie : $\rvert z_{\mathrm A}\rvert = \rvert z_{\mathrm B}\rvert =\rvert z_{\mathrm C}\rvert =2$ donc les points A, B et C sont sur le cercle de centre O et de rayon 2.
• Affirmation 4: O est le milieu du segment [BC].
$$ \begin{array}{cl} \left (\vec{OC} ;\vec{OB}\right )&=arg\left (\dfrac{z_{\mathrm B}}{z_{\mathrm C}}\right ) \\ &= arg\left( z_{\mathrm B} \right ) -arg\left ( z_{\mathrm C} \right ) \\ & =\frac{\pi}{3} -\left ( -\frac{2\pi}{3} \right )\\ &=\pi\\ \end{array} $$ Comme $\left (\vec{OC} ;\vec{OB}\right )=\pi$, les vecteurs $\vec{OC}$ et $\vec{OB}$ sont colinéaires de sens opposé.
Par ailleurs $\rvert z_{\mathrm B}\rvert =\rvert z_{\mathrm C}\rvert =2$, donc $OB=OC=2$.
L'affirmation 4 est vraie :O est le milieu du segment [BC].

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Exercice 2 6 points

Probabilités et suites

Les deux parties de l'exercice sont indépendantes.

Partie A

Dans cette partie on s'intéresse à l'évolution, depuis 2010, du nombre de véhicules « 100% électriques » en France. Le 24 mars 2017, l'association nationale pour le développement de la mobilité électrique (Avere-France) a publié l'article suivant:

La France célèbre son 100ieme véhicule

« 100% électrique », une première en Europe

Jeudi 23 mars, le marché français des véhicules particuliers et utilitaires « 100% électrique » a franchi le cap des $100\;000$ immatriculations cumulées depuis 2010, date de lancement de la nouvelle génération de véhicules électriques. La France devient alors le premier pays européen à atteindre un tel parc de véhicules avec zéro émission.

Dans ce contexte économique et environnemental, l'Avere-France estime qu'à l'horizon 2020, la France devrait compter plus de $350\;000$ véhicules « 100% électrique » immatriculés.
D'après l'association Avere-France
La lecture du graphique précédent permet, par exemple, de dire qu'au 31 décembre 2015, il y avait en tout $65\;793$ véhicules « 100% électrique » immatriculés.

1. Déterminer le pourcentage d'augmentation, entre le 31 décembre 2015 et le 31 décembre 2016, du nombre de véhicules « 100% électrique » immatriculés en France. Arrondir le résultat à 1%.

On suppose qu'à partir de l'année 2017, l'augmentation annuelle de véhicules « 100% électrique » immatriculés en France sera constante et égale à 40%. Dans le cadre de ce modèle, pour tout entier naturel $n$, on note $u_n$ une estimation du nombre de véhicules « 100% électrique » immatriculés en France au 31 décembre de l'année $2016+n$. Ainsi on a $u_0 = 93\;100 $.

2. 1. Déterminer le nombre de véhicules « 100% électrique » en France au 31 décembre 2017.
   2. Déterminer la nature de la suite $(u_n)$.
   3. L'affirmation de l'association Avere-France figurant à la fin de l'article est-elle validée par le modèle proposé? Justifier la réponse.
3. À l'aide d'un algorithme, on souhaite estimer l'année au cours de laquelle le nombre de véhicules « 100% électrique » immatriculés en France dépassera  $1000\;000$ avec ce modèle.
   1. Recopier et compléter l'algorithme suivant afin qu'il réponde au problème.
      $$\begin{array}{|l|} \hline n \leftarrow 0 \\ u \leftarrow 93\;100 \\ \text{Tant que } \cdots\\ \hspace{1cm} n \leftarrow \cdots \\ \hspace{1cm} u \leftarrow \cdots\\ \text{Fin Tant que}\\ \hline \end{array}$$
   2. Laquelle des variables $n$ ou $u$ est-il utile d'afficher après l'exécution de cet algorithme pour répondre au problème?
   3. Quelle est la valeur de cette variable?
   4. Interpréter cette valeur dans le contexte de l'exercice.

Partie B

Une usine fabrique des batteries Lithium-Ion, garanties 4 ans, nécessaires au fonctionnement des véhicules « 100% électrique ». La durée de vie moyenne d'une telle batterie s'élève à 7 ans. On admet que la variable aléatoire $T$ qui, à une batterie Lithium-Ion prélevée au hasard dans le stock de l'usine, associe sa durée de vie, exprimée en années, suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda$.

1. Déterminer la valeur exacte de $\lambda$.
2. Pour la suite, on prendra $\lambda = 0,143$.
   1. Déterminer la probabilité qu'une batterie Lithium-Ion soit encore en état de fonctionnement au bout de 8 ans. On donnera une valeur approchée à $10^{-3}$ près.
   2. Déterminer la probabilité qu'une batterie Lithium-Ion tombe en panne avant la fin de la garantie. On donnera une valeur approchée à $10^{-3}$ près.
   3. Déterminer le réel $t_0$ tel que $P(T>t_0)=0,75$. On donnera la valeur exacte et la valeur arrondie à l'unité. Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.

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Correction de l'exercice 2 (5 points)

Suites et Probabilités

Les deux parties de l'exercice sont indépendantes.

Partie A

Dans cette partie on s'intéresse à l'évolution, depuis 2010, du nombre de véhicules « 100% électriques » en France. Le 24 mars 2017, l'association nationale pour le développement de la mobilité électrique (Avere-France) a publié l'article suivant:

La France célèbre son 100ieme véhicule

« 100% électrique », une première en Europe

Jeudi 23 mars, le marché français des véhicules particuliers et utilitaires « 100% électrique » a franchi le cap des $100\;000$ immatriculations cumulées depuis 2010, date de lancement de la nouvelle génération de véhicules électriques. La France devient alors le premier pays européen à atteindre un tel parc de véhicules avec zéro émission.

Dans ce contexte économique et environnemental, l'Avere-France estime qu'à l'horizon 2020, la France devrait compter plus de $350\;000$ véhicules « 100% électrique » immatriculés.
D'après l'association Avere-France
La lecture du graphique précédent permet, par exemple, de dire qu'au 31 décembre 2015, il y avait en tout $65\;793$ véhicules « 100% électrique » immatriculés.

1. Déterminer le pourcentage d'augmentation, entre le 31 décembre 2015 et le 31 décembre 2016, du nombre de véhicules « 100% électrique » immatriculés en France. Arrondir le résultat à 1%.
$$\left (\dfrac{93100}{65793}-1\right )\times 100\approx 41,5$$ Entre le 31 décembre 2015 et le 31 décembre 2016, le nombre de véhicules « 100 % électrique » immatriculés en France a augmenté d'environ 42 %.

On suppose qu'à partir de l'année 2017, l'augmentation annuelle de véhicules « 100% électrique » immatriculés en France sera constante et égale à 40%. Dans le cadre de ce modèle, pour tout entier naturel $n$, on note $u_n$ une estimation du nombre de véhicules « 100% électrique » immatriculés en France au 31 décembre de l'année $2016+n$. Ainsi on a $u_0 = 93\;100 $.

2. 1. Déterminer le nombre de véhicules « 100% électrique » en France au 31 décembre 2017.
   $$u_1=93100\times \left(1+\dfrac{40}{100}\right)=93100\times 1,4=130340$$
   2. Déterminer la nature de la suite $(u_n)$.
   Le coefficient multiplicateur associé à une augmentation de 40 % est égal à 1,4.
   Pour tout entier naturel $n$, on a $u_{n+1}=1,4⁢u_n$. Par conséquent, $\left(u_n \right)$ est une suite géométrique de raison $q=1,4$.
   3. L'affirmation de l'association Avere-France figurant à la fin de l'article est-elle validée par le modèle proposé? Justifier la réponse.
   $\left(u_n \right)$ est une suite géométrique de raison $q=1,4$ et de premier terme $u_0=93100$ donc pour tout entier naturel $n, u_n=93100\times 1,4^n$.
   On en déduit que : $$u_4=93100\times 1,4^4\approx 357653$$ Selon ce modèle, il devrait y avoir plus de 357 600 véhicules « 100 % électrique » immatriculés en France au 31 décembre de l'année 2020. Ce résultat est conforme avec l'estimation de l'association Avere-France.
3. À l'aide d'un algorithme, on souhaite estimer l'année au cours de laquelle le nombre de véhicules « 100% électrique » immatriculés en France dépassera  $1000\;000$ avec ce modèle.
   1. Recopier et compléter l'algorithme suivant afin qu'il réponde au problème.
      $$\begin{array}{|l|} \hline n \leftarrow 0 \\ u \leftarrow 93\;100 \\ \text{Tant que } \cdots\\ \hspace{1cm} n \leftarrow \cdots \\ \hspace{1cm} u \leftarrow \cdots\\ \text{Fin Tant que}\\ \hline \end{array}$$
   $$\begin{array}{|l|} \hline n \leftarrow 0 \\ u \leftarrow 93\;100 \\ \text{Tant que }u < 1000000\\ \hspace{1cm} n \leftarrow n+1 \\ \hspace{1cm} u \leftarrow 1,4\times u\\ \text{Fin Tant que}\\ \hline \end{array}$$
   2. Laquelle des variables $n$ ou $u$ est-il utile d'afficher après l'exécution de cet algorithme pour répondre au problème?
   Il convient d'afficher la variable $n$ qui contient le nombre d'années depuis 2016 pour que le nombre de véhicules « 100 % électrique » immatriculés en France dépasse 1 000 000.
   3. Quelle est la valeur de cette variable?
   pour tout entier naturel $n, u_n=93100\times 1,4^n$ $$\begin{array}{rll} u_n <1 000 000 & \iff 93100\times 1,4^n <1 000 000. &\\ & \iff 1,4^n <\frac{1 000 000}{93100}&\\ &\iff 1,4^n < \frac{10 000}{931}&\\ &\iff \ln\left (1,4^n\right ) <\ln \left (\frac{10 000}{931}\right )& \ln \text{est strictement croissante sur } ]0;+\infty[\\ &\iff n\ln\left (1,4 \right ) <\ln \left ( \frac{10 000}{931}\right )& \text{ car } \ln\left (a^n \right )=n\ln a\\ &\iff n< \dfrac{\ln \left (\frac{10 000}{931}\right )}{\ln\left (1,4 \right )}&\text{ car } 1,4 >1 \text{ donc } \ln\left (1,4 \right ) >0\\ \end{array}$$ Grâce à une calculatrice, on obtient $\dfrac{\ln \left (\frac{10 000}{931}\right )}{\ln\left (1,4 \right )} \approx 7,06$.
   donc le plus petit entier $n$ solution de l'inéquation $u_n>1000000$ est $n=8$.
   La valeur de la variable $n$ obtenue à la fin de l'execution de l'algorithme est $n=8$.
   4. Interpréter cette valeur dans le contexte de l'exercice.
   Selon ce modèle, c'est en 2024 que le nombre de véhicules « 100 % électrique » immatriculés en France dépassera 1 000 000.

Partie B

Une usine fabrique des batteries Lithium-Ion, garanties 4 ans, nécessaires au fonctionnement des véhicules « 100% électrique ». La durée de vie moyenne d'une telle batterie s'élève à 7 ans. On admet que la variable aléatoire $T$ qui, à une batterie Lithium-Ion prélevée au hasard dans le stock de l'usine, associe sa durée de vie, exprimée en années, suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda$.

1. Déterminer la valeur exacte de $\lambda$.
L'espérance mathématique de la variable $T $est $E(T)=\dfrac{1}{\lambda} $ d'où : $$\dfrac{1}{\lambda}=7 \iff \lambda \dfrac{1}{7}$$ $T $suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda \dfrac{1}{7}$.
2. Pour la suite, on prendra $\lambda = 0,143$.
   1. Déterminer la probabilité qu'une batterie Lithium-Ion soit encore en état de fonctionnement au bout de 8 ans. On donnera une valeur approchée à $10^{-3}$ près.
   La densité de la variable aléatoire $T$ suivant une loi exponentielle de paramètre $\lambda =0,143$ est la fonction $f$ définie pour tout réel $t$ de l'intervalle $[0;+\infty[ $ par $f(t)=0,143 =0,143⁢e^{-0,143⁢t}$ d'où : $$ \begin{array}{cl} P(T\geq 8) & 1-P(T<8)\\ &= 1- \displaystyle \int_0^8 0,143⁢e^{-0,143t}\; dt \\ & =1-\left [ -e^{-0,143t} \right ]_0^8\\ &=1- \left (-e^{-0,143\times 8} -(-1)\right ) \\ &= e^{-1,144}\\ &\approx 0,319 \end{array} $$ La probabilité qu'une batterie Lithium-Ion soit encore en état de fonctionnement au bout de 8 ans est $P(T\geq 8) \approx 0,319$.
   2. Déterminer la probabilité qu'une batterie Lithium-Ion tombe en panne avant la fin de la garantie. On donnera une valeur approchée à $10^{-3}$ près.
   $$ \begin{array}{cl} P(T\leq 4) & = \displaystyle \int_0^4 0,143⁢e^{-0,143t}\; dt \\ & = \left [ -e^{-0,143t} \right ]_0^4\\ &= \left (-e^{-0,143\times 4} -(-1)\right ) \\ &= 1- e^{-0,572}\\ &\approx 0,436 \end{array} $$ La probabilité qu'une batterie Lithium-Ion tombe en panne avant la fin de la garantie est $P(T\leq 4 ) \approx 0,436$.
   3. Déterminer le réel $t_0$ tel que $P(T>t_0)=0,75$. On donnera la valeur exacte et la valeur arrondie à l'unité. Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
   $$ \begin{array}{cl} P(T\geq t_0) =0,75&\iff 1-P(T < t_0)=0,75\\ &\iff P(T< t_0)=0,25\\ &\iff \displaystyle \int_0^ {t_0} 0,143e^{-0,143t}\; dt =0,25 \\ &\iff \left [ -e^{-0,143t} \right ]_0^{t_0}=0,25\\ &\iff \left (-e^{-0,143\times t_0} -(-1)\right ) =0,25 \\ &\iff 1- e^{-0,143\times t_0} =0,25 \\ &\iff e^{-0,143\times t_0} =0,75 \\ &\iff -0,143t_0=\ln(0,75) \\ &\iff t_0= \dfrac{\ln(0,75)}{-0,143}\\ &\textbf{ soit} t_0\approx 2 \end{array} $$ La probabilité qu'une batterie Lithium-Ion fonctionne plus de deux ans est égale à 0,75.

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Exercice 3 4 points

Probabilités

Dans cet exercice, tous les résultats seront arrondis au millième.
Une entreprise assure la maintenance d'un parc de 75 ascenseurs qui fonctionnent de façon indépendante.

Partie A

On considère dans cette partie que la probabilité qu'un ascenseur du parc tombe en panne un jour donné est $0,08$. On note $X$ la variable aléatoire prenant pour valeur le nombre d'ascenseurs qui tombent en panne un jour donné.

1. 1. Justifier que $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
   2. Calculer la probabilité que 5 ascenseurs tombent en panne un jour donné.
   3. Calculer la probabilité qu'au moins 5 ascenseurs tombent en panne un jour donné.
   4. Déterminer l'espérance mathématique de la variable aléatoire $X$.
2. On appelle $Y$ la variable aléatoire qui suit la loi normale d'espérance $\mu=6$ et d'écart-type $\sigma=2,349$. On décide d'approcher la loi de $X$ par la loi de $Y$. En utilisant cette nouvelle loi, déterminer la probabilité que:
   1. entre 5 et 10 ascenseurs tombent en panne un jour donné.
   2. plus de 10 ascenseurs tombent en panne un jour donné.

Partie B

Depuis quelques temps, l'entreprise constate de nombreuses pannes parmi les 75 ascenseurs. Ainsi, sur une période de 30 jours, il a été relevé 263 pannes en tout. L'entreprise doit-elle remettre en cause, au seuil de 95%, le modèle selon lequel la probabilité qu'un ascenseur tombe en panne un jour donné est $0,08$? Justifier la réponse.

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Correction de l'exercice 3 (5 points)

Probabilités

Dans cet exercice, tous les résultats seront arrondis au millième.
Une entreprise assure la maintenance d'un parc de 75 ascenseurs qui fonctionnent de façon indépendante.

Partie A

On considère dans cette partie que la probabilité qu'un ascenseur du parc tombe en panne un jour donné est $0,08$. On note $X$ la variable aléatoire prenant pour valeur le nombre d'ascenseurs qui tombent en panne un jour donné.

1. 1. Justifier que $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
   On répète 75 fois, de façon indépendante,l'expérience \og On choisit au hasard un ascenceur parmi les 75 du parc . \fg qui comporte 2 issues :
   « l'ascenseur du parc tombe en panne un jour donné » considéré comme succès, de probabilité $p=0,08$
   « l'ascenseur du parc ne tombe pas en panne un jour donné » considéré comme échec, de probabilité $q=1-p=0,92$
   Nous sommes donc en présence d'un schéma de Bernoulli et la variable aléatoire $X$ prenant pour valeurs le nombre de succès obtenus suit la loi binomiale de paramètres $n=75$ et $p=0,08$ notée $\mathscr{B}(75;0,08)$ .
   Pour tout entier $k$ où $0\leq k\leq 75$, on a $$P(X=k)=\binom{75}{k}\times \left(0,08\right)^k\times\left( 0,92\right)^{75-k}$$
   2. Calculer la probabilité que 5 ascenseurs tombent en panne un jour donné.
   À l'aide de la calculatrice, $P(X=5)=\binom{75}{5}\times \left(0,08\right)^5\times\left( 0,92\right)^{70}\approx 0,165$ .

   2ND DISTR 0binomFdP( \1 , \2,\3)EXE
   Avec une calculatrice de type TI $binomFdP(\1,\2,\3) \approx \4$

   $$P( \5 = \3)\approx \4 \text{ à } 10^{-\6} \text{ près.}$$
   Arrondie au millième près, la probabilité que 5 ascenseurs tombent en panne un jour donné est 0,165.
   3. Calculer la probabilité qu'au moins 5 ascenseurs tombent en panne un jour donné.
   On calcule : $P(X\geq 5)=1-P(X <5)=1-P(X\leq 4)$.

    

   2ND DISTR AbinomFRép( \1 , \2,\3)EXE
   Avec une calculatrice de type TI $$binomFR\text{é}p(\1,\2,\3) \approx \4$$

   $$P( \5 \leq \3)\approx \4 \text{ à } 10^{-\6} \text{ près.}$$
   Ainsi $P(X\geq 5)\approx 1-0.274\approx 0.726$
   Arrondie au millième près, la probabilité qu'au moins 5 ascenseurs tombent en panne un jour donné est 0,726.
   4. Déterminer l'espérance mathématique de la variable aléatoire $X$.
   Comme $X$ suit une loi binomiale, son espérance mathématique est $E(X)=np=75\times 0.08=6$.
2. On appelle $Y$ la variable aléatoire qui suit la loi normale d'espérance $\mu=6$ et d'écart-type $\sigma=2,349$. On décide d'approcher la loi de $X$ par la loi de $Y$. En utilisant cette nouvelle loi, déterminer la probabilité que:
   1. entre 5 et 10 ascenseurs tombent en panne un jour donné.
   Avec la calculatrice, on trouve $P(5\leq Y\leq 10)\approx 0,621$.

   2ND DISTR 2NORMALFRép( \1 , \2,\3,\4)EXE
   Avec une calculatrice de type TI

   $$NormalFR\text{é}p(\1,\2,\3,\4) \approx \5$$

   $$P(\1 \leq \6 \leq \2)\approx \5 \text{ à } 10^{-\7} \text{ près.}$$

    

   Arrondie au millième près, la probabilité qu'entre 5 et 10 ascenseurs tombent en panne un jour donné est 0,621.
   Arrondie au millième près, la probabilité qu'entre 5 et 10 ascenseurs tombent en panne un jour donné est 0,621.
   2. plus de 10 ascenseurs tombent en panne un jour donné.
   On calcule $P(Y>10)= \approx 0,044$

    

   2ND DISTR 2NORMALFRép( $\1$ , $10^{99}$,\2,$\3$)EXE
   Avec une calculatrice de type TI

   $$NormalFR\text{é}p(\1,10^{99},\2,\3) \approx \4$$

   $$P( \5 \geq \1)\approx \4 \text{ à } 10^{-\6} \text{ près.}$$
   Arrondie au millième près, la probabilité que plus de 10 ascenseurs tombent en panne un jour donné est 0,044.

Partie B

La fréquence des pannes est $f=\dfrac{263}{30\times 75}=\dfrac{263}{2250}\approx 0,117$.

La proportion $p$ est égale à  $\1$. La taille  $n$  de l'échantillon considéré est égale à  $\2.$
Comme  $ n =\2$ ,   $n \times p  $=\3  et $n\times (1-p)=\4,$ les conditions d'utilisation d'un intervalle de fluctuation asymptotique sont réunies.

L'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de  $95\% $  est : $$I_{\2} = \left[\1 - 1,96\sqrt{\dfrac{\1\times \5}{\2}}~;~\1 + 1,96\sqrt{\dfrac{\1\times \5}{\2}} \right]$$ 

Soit avec des valeurs approchées à $10^{-3}$ près des bornes de l'intervalle, l'intervalle de fluctuation avec un niveau de confiance de 95 % de la fréquence des pannes dans un échantillon de taille 2250 est $I=[0,0680,092]$. $0,117\notin [0,0680,092]$ donc l'entreprise remet en cause l'hypothèse selon laquelle la probabilité qu'un ascenseur tombe en panne un jour donné est 0,08.

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Exercice 4 6 points

Fonctions et calcul intégral

 

Partie A

On donne ci-dessous la courbe représentative d'une fonction $f$ définie sur $\mathbb R$. La droite $(d)$ est tangente à cette courbe au point d'abscisse 0.

Donner par lecture graphique:

1. La valeur de $f(0)$.
2. La limite de $f$ en $+\infty$.
3. Le tableau de variation de $f$.
4. Le coefficient directeur de la tangente $(d)$ à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse 0.

Partie B

On considère l'équation différentielle $y'+2y=2$ dans laquelle $y$ est une fonction de la variable réelle $x$ définie et dérivable sur $\mathbb R$. On admet que la fonction représentée dans la Partie A est la solution de cette équation différentielle vérifiant $f(0)=4$.

1. Démontrer que, pour tout réel $x$, on a $f(x)=3\text{e}^{-2x}+1$.
2. Retrouver, en justifiant par des calculs, les résultats obtenus aux questions 2. 3. et 4. de la partie A.

Partie C

L'unité graphique est le dm (décimètre). On a représenté graphiquement ci-dessous la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~4]$. On appelle $\mathcal{C}$ la courbe obtenue.

On fait tourner la courbe $\mathcal{C}$ autour de l'axe des abscisses. On génère ainsi une surface dans l'espace ayant la forme d'un vase représenté ci-après en coupe et en perspective.

Le volume de ce vase, en dm$^3$, est donné par: \[V=\pi \times\displaystyle \int_{0}^{4} \left (f(x)\right )^2 \text{d} x.\]

1. Montrer que, pour tout $x \in [0~;~4]$, on a $\left ( f(x)\right )^2 = 9\text{e}^{-4x} + 6\text{e}^{-2x}+1$.
2. Calculer le volume du vase, exprimé en dm$^3$. On donnera la valeur exacte puis une valeur approchée à $10^{-2}$ près.
3. On désire remplir ce vase aux deux tiers du volume avec du sable coloré qui est vendu par sac de 3 dm$^3$. Déterminer le nombre minimum de sacs qu'il faut acheter.

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Exercice 4 6 points

Fonctions et calcul intégral

 

Partie A

On donne ci-dessous la courbe représentative d'une fonction $f$ définie sur $\mathbb R$. La droite $(d)$ est tangente à cette courbe au point d'abscisse 0.

Donner par lecture graphique:

1. La valeur de $f(0)$.
$f(0)=4$
2. La limite de $f$ en $+\infty$.
La limite de $f$ en $+\infty$ est égale à 1.
3. Le tableau de variation de $f$.


4. Le coefficient directeur de la tangente $(d)$ à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse 0.
Le coefficient directeur de la tangente $(d)$ à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse 0 est $-\dfrac{3}{0,5}=-6$.

Partie B

On considère l'équation différentielle $y'+2y=2$ dans laquelle $y$ est une fonction de la variable réelle $x$ définie et dérivable sur $\mathbb R$. On admet que la fonction représentée dans la Partie A est la solution de cette équation différentielle vérifiant $f(0)=4$.

1. Démontrer que, pour tout réel $x$, on a $f(x)=3\text{e}^{-2x}+1$.
   • L'équation différentielle $y'+2y=2$ est du type $y'=ay+b$ où $a=-2$ et $b=2$.
     $y'+2y=2\iff y'=-2y+2$
   • Une solution particulière de l'équation $y'+2y=2$ est la fonction $x \longmapsto=-\dfrac{b}{a}= 1$.
   • On en déduit que les solutions de l'équation différentielle $y'+2y=2$ sont les fonctions $x \longmapsto k\text{e}^{-2x}+1$.
   • La solution $f$ vérifiant $f(0)=4$ est telle que $k\text{e}^{0}+1=4$ ce qui entraîne $k=3$.
La solution de l'équation différentielle $y'+2y=2$ vérifiant $f(0)=4$ est donc la fonction $f$ définie par $f(x)=3\text{e}^{-2x} +1$.
2. Retrouver, en justifiant par des calculs, les résultats obtenus aux questions 2. 3. et 4. de la partie A.
   • On cherche $\displaystyle\lim_{x\to +\infty} f(x)$. $\left. \begin{array}{l} \displaystyle\lim_{x\to +\infty} -2x = -\infty\\ \text{On pose } X=-2x\\ \displaystyle\lim_{X\to -\infty} \text{e}^{X} = 0 \end{array} \right \rbrace$ donc $\displaystyle\lim_{x\to +\infty} \text{e}^{-2x} = 0$ et donc $\displaystyle\lim_{x\to +\infty} f(x)=1$
   • Tableau de variations de $f$.
     • On a vu que $\displaystyle\lim_{x\to +\infty} f(x)=1$.
     • $\left. \begin{array}{l} \displaystyle\lim_{x\to -\infty} -2x = +\infty\\ \text{On pose } X=-2x\\ \displaystyle\lim_{X\to +\infty} \text{e}^{X} = +\infty \end{array} \right \rbrace$. donc $\displaystyle\lim_{x\to -\infty} \text{e}^{-2x} = +\infty$ et donc $\displaystyle\lim_{x\to -\infty} f(x)=+\infty$
     • $f'(x)= 3\times (-2)\text{e}^{-2x} = -6\text{e}^{-2x}$ et $f'(x)<0$ sur $\mathbb R$; donc la fonction $f$ est strictement décroissante sur $\mathbb R$.
     Le tableau de variations de $f$ est donc justifié.
   • On cherche le coefficient directeur de la tangente à la courbe en 0. Il est égal à $f'(0) = -6\text{e}^{0} = -6$.

Partie C

L'unité graphique est le dm (décimètre). On a représenté graphiquement ci-dessous la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~4]$. On appelle $\mathcal{C}$ la courbe obtenue.

On fait tourner la courbe $\mathcal{C}$ autour de l'axe des abscisses. On génère ainsi une surface dans l'espace ayant la forme d'un vase représenté ci-après en coupe et en perspective.

Le volume de ce vase, en dm$^3$, est donné par: \[V=\pi \times\displaystyle \int_{0}^{4} \left (f(x)\right )^2 \text{d} x.\]

1. Montrer que, pour tout $x \in [0~;~4]$, on a $\left ( f(x)\right )^2 = 9\text{e}^{-4x} + 6\text{e}^{-2x}+1$.
$\left (f(x)\right )^2 = \left ( 3\text{e}^{-2x}+1 \right )^2 = 9\left (\text{e}^{-2x}\right )^2 +2\times 3\text{e}^{-2x}\times 1 + 1^2 = 9\text{e}^{-4x} +6\text{e}^{-2x}+1$
2. Calculer le volume du vase, exprimé en dm$^3$. On donnera la valeur exacte puis une valeur approchée à $10^{-2}$ près.
Le volume du vase en dm$^3$ est $V=\pi \times \displaystyle\int_{0}^{4} \left (f(x)\right )^2 \text{d} x = \pi \times \displaystyle\int_{0}^{4} \left (9\text{e}^{-4x} +6\text{e}^{-2x}+1 \right ) \text{d} x$. Pour $a$ réel non nul, la fonction $x \longmapsto \text{e}^{ax}$ a pour primitive la fonction $x \longmapsto \dfrac{\text{e}^{ax}}{a}$ donc la fonction $x \longmapsto 9\text{e}^{-4x} +6\text{e}^{-2x}+1$ a pour primitive la fonction $x \longmapsto 9\dfrac{\text{e}^{-4x}}{-4} + 6 \dfrac{\text{e}^{-2x}}{-2} + x$ c'est-à-dire $x \longmapsto -\dfrac{9}{4}\text{e}^{-4x} -3\text{e}^{-2x} + x$. $\text{Donc }V= \pi \times \left [-\dfrac{9}{4}\text{e}^{-4x} -3\text{e}^{-2x} + x \right ]_{0}^{4} = \pi\times \left [ \left ( -\dfrac{9}{4}\text{e}^{-16} - 3\text{e}^{-8} + 4 \right ) - \left ( -\dfrac{9}{4}\text{e}^{0} - 3\text{e}^{0} +0\right ) \right ]\\ \phantom{\text{Donc }V} = \pi\times \left ( -\dfrac{9}{4}\text{e}^{-16} -3\text{e}^{-8} + \dfrac{37}{4}\right )$ dont une valeur approchée à $10^{-2}$ près est $29,06$. Le volume est donc d'environ $29,06$ dm$^3$.
3. On désire remplir ce vase aux deux tiers du volume avec du sable coloré qui est vendu par sac de 3 dm$^3$. Déterminer le nombre minimum de sacs qu'il faut acheter.
Il faudra donc $\dfrac{2}{3}\,V \approx 19,4$ dm$^3$ de sable; le sable est vendu par sac de 3 dm$^3$. Il faudra donc acheter 7 sacs de sable pour remplir le volume aux deux tiers.

Exercice 1 3 points

Equations différentielles

Le béton est un matériau de construction fabriqué à partir d'un mélange de ciment, de granulats et d'eau. Selon l'usage prévu (dalle, poutre, fondation, $\ldots$), on utilise des bétons de compositions différentes. Dans cet exercice, on s'intéresse au béton adapté à la construction d'une dalle et on étudie la résistance à la compression, exprimée en MPa (mégapascal), en fonction de la durée $t$ de séchage, exprimée en jour. On admet que cette résistance peut être modélisée par une fonction $f$, définie et dérivable sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$, qui est une solution sur $[0~;~+\infty[$ de l'équation différentielle $(E)$ : \[y' + 0,15y = 4,5.\]

1. Résoudre l'équation différentielle $(E)$ sur $[0~;~+\infty[$.
2. À l'instant $t = 0$, la résistance à la compression de ce béton est nulle. Montrer alors que $f$ est définie sur $[0~;~+\infty[$ par \[f(t) = -30\text{e}^{- 0,15t} + 30.\]
3. Déterminer $\displaystyle\lim_{t \to + \infty} f(t)$ et interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
4. Il est possible de marcher sur ce type de béton lorsque sa résistance à la compression est supérieure à $12$ MPa. Après combien de jours complets de séchage est-il possible de marcher sur ce type de béton ?

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Correction de l'exercice 1 (3 points)

Equations différentielles

Le béton est un matériau de construction fabriqué à partir d'un mélange de ciment, de granulats et d'eau. Selon l'usage prévu (dalle, poutre, fondation, $\ldots$), on utilise des bétons de compositions différentes. Dans cet exercice, on s'intéresse au béton adapté à la construction d'une dalle et on étudie la résistance à la compression, exprimée en MPa (mégapascal), en fonction de la durée $t$ de séchage, exprimée en jour. On admet que cette résistance peut être modélisée par une fonction $f$, définie et dérivable sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$, qui est une solution sur $[0~;~+\infty[$ de l'équation différentielle $(E)$ : \[y' + 0,15y = 4,5.\]

1. Résoudre l'équation différentielle $(E)$ sur $[0~;~+\infty[$.
On met l'équation sous forme résolue : $y' =-0,15y+4,5$.
Cette équation différentielle est du type $y'=ay+b$ où $a=-0,15$ et $b=4,5$.
$-\dfrac{b }{a}=-\dfrac{4,5 }{-0,15}=\dfrac{450 }{ 15}=30$.
La solution générale est $y=-\dfrac{b }{a}+K\text{e}^{ax}$, soit ici $y= 30+K\text{e}^{-0,15x}$

2. À l'instant $t = 0$, la résistance à la compression de ce béton est nulle. Montrer alors que $f$ est définie sur $[0~;~+\infty[$ par \[f(t) = -30\text{e}^{- 0,15t} + 30.\]
À l'instant $t = 0$, la résistance à la compression de ce béton est nulle ce qui veut dire que $f(0)=0$.
$f(0)=0 \iff k \text{e}^{-0,15\times 0} + 30 = 0 \iff k=-30$
Donc $f(t) = -30 \text{e}^{-0,15t} +30$.
3. Déterminer $\displaystyle\lim_{t \to + \infty} f(t)$ et interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
On cherche $\displaystyle\lim_{t \to + \infty} f(t)$. $\left. \begin{array}{l} \displaystyle\lim_{t\to +\infty} -0,15t = -\infty\\ \text{on pose } T=-0,15t\\ \displaystyle\lim_{T\to -\infty} \text{e}^{T} = 0 \end{array} \right\rbrace \implies \displaystyle\lim_{t\to +\infty} \text{e}^{-0,15t} = 0$ donc $\displaystyle\lim_{t\to +\infty} -30 \text{e}^{-0,15t} + 30 = 30$ On a donc $\displaystyle\lim_{t\to +\infty} f(t) = 30$. Cela signifie que lorsque le temps augmente, la résistance va tendre vers 30 MPa.
4. Il est possible de marcher sur ce type de béton lorsque sa résistance à la compression est supérieure à $12$ MPa. Après combien de jours complets de séchage est-il possible de marcher sur ce type de béton ?
On cherche $t$ en jours tel que $f(t)>12$; on résout cette inéquation. $$\begin{array}{rl} f(t)>12 &\iff -30\text{e}^{-0,15t}+30 >12 \\ &\iff 18>30\text{e}^{-0,15t} \\ &\iff \dfrac{18}{30} > \text{e}^{-0,15t}\\ &\iff 0,6 >\text{e}^{-0,15t}\\ \phantom{f(t)>12} &\iff \ln(0,6) > -0,15t\\ &\iff -\dfrac{\ln(0,6)}{0,15} < t \end{array}$$ Or $-\dfrac{\ln(0,6)}{0,15} \approx 3,40$
donc c'est à partir du 4ième jour qu'on pourra marcher sur le béton.

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Exercice 2 7 points

Fonctions

On a représenté ci-dessous une des faces latérales d'une rampe de skate-board que l'on souhaite peindre.

On sait de plus que la face latérale de cette rampe de skate-board admet comme axe de symétrie la médiatrice de [AB].

Partie A

On modélise la partie incurvée de la rampe située à gauche de l'axe de symétrie à l'aide de la fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle $[0~;~2]$ par : \[f(x) = \left(0,5x^2 + ax + b\right)\text{e}^{-x}\] où $a$ et $b$ sont deux réels que l'on souhaite déterminer. On a tracé ci-après la courbe représentative $\mathcal{C}$ de $f$ dans un repère orthonormal d'unité 1 mètre.

On sait que la courbe $\mathcal{C}$ passe par les points A$(2~;~0)$ et H$(0~;~2)$.

1. Déterminer $f(0)$ et $f(2)$.
2. Déduire de la question précédente le système d'équations vérifié par les réels $a$ et $b$.
3. Déterminer l'expression de $f(x)$.

 

Partie B

On considère maintenant que la fonction $f$ est définie et dérivable sur l'intervalle $[0~;~2] $ par : \[f(x) = \left(0,5x^2 - 2x + 2\right)\text{e}^{-x}.\]

1. Calculer $f'(x)$.
2. Montrer que la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point A est l'axe des abscisses.
3. Justifier que le signe de $f'(x)$ est donné par le signe du trinôme $-0,5 x^2 + 3x - 4$.
4. En déduire le signe de $f'(x)$ puis le sens de variation de $f$ sur $[0~;~2]$.

 

Partie C

 

1. Justifier que la fonction $f$ est positive sur l'intervalle $[0~;~2]$.
2. On admet que la fonction $F$ définie par $F(x) = \left(- \frac{1}{2}x^2 + x - 1\right)\text{e}^{-x}$ sur l'intervalle $[0~;~2]$ est une primitive de la fonction $f$ sur $[0~;~2]$. Montrer que l'aire en m$^2$ de la partie délimitée par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x = 0$ et $x = 2$ est égale à $1 - \dfrac{1}{\text{e}^2}$.
3. En déduire l'aire de la zone à peindre. On donnera une valeur approchée du résultat à 0,01$~$m$^2$ près.

 

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Correction de l'exercice 2 (7 points)

Fonctions

On a représenté ci-dessous une des faces latérales d'une rampe de skate-board que l'on souhaite peindre.

On sait de plus que la face latérale de cette rampe de skate-board admet comme axe de symétrie la médiatrice de [AB].

Partie A

On modélise la partie incurvée de la rampe située à gauche de l'axe de symétrie à l'aide de la fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle [0~;~2] par : \[f(x) = \left(0,5x^2 + ax + b\right)\text{e}^{-x}\] où $a$ et $b$ sont deux réels que l'on souhaite déterminer. On a tracé ci-après la courbe représentative $\mathcal{C}$ de $f$ dans un repère orthonormal d'unité 1 mètre.

On sait que la courbe $\mathcal{C}$ passe par les points A$(2~;~0)$ et H$(0~;~2)$.

1. Déterminer $f(0)$ et $f(2)$.
La courbe $\mathcal{C}$ passe par le point H\,$(0\;,\;2)$ donc $f(0)=2$. La courbe $\mathcal{C}$ passe par le point A\,$(2\;,\;0)$ donc $f(2)=0$.
2. Déduire de la question précédente le système d'équations vérifié par les réels $a$ et $b$.
On sait que $f(x) = \left(0,5x^2 + ax + b\right)\text{e}^{-x}$.
• $f(0)=2 \iff \left(0,5\times 0^2 + a\times 0 + b\right)\text{e}^{0}=2 \iff b=2$
• $f(2)=0 \iff \left ( 0,5\times 2^2 + a\times 2 + b\right )\text{e}^{2} = 0 \iff 2+2a+b=0$
Les réels $a$ et $b$ vérifient donc le système $\left \lbrace \begin{array}{r !{=} l} b & 2\\ 2+2a+b & 0 \end{array} \right .$
3. Déterminer l'expression de $f(x)$.
Le système précédent donne $b=2$ et $a=-2$; donc $f(x)=\left (0,5x^2-2x+2\right )\text{e}^{-x}$.

 

Partie B

On considère maintenant que la fonction $f$ est définie et dérivable sur l'intervalle $[0~;~2] $ par : \[f(x) = \left(0,5x^2 - 2x + 2\right)\text{e}^{-x}.\]

1. Calculer $f'(x)$.
$f'(x) = \left ( 0,5\times 2x - 2 + 0\right ) \text{e}^{-x} + \left(0,5x^2 - 2x + 2\right)\times (-1)\text{e}^{-x} = \left(x-2 -0,5x^2 + 2x - 2\right)\text{e}^{-x}\\ \phantom{f'(x)} = \left ( -0,5x^2 +3x -4\right ) \text{e}^{-x}$
2. Montrer que la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point A est l'axe des abscisses.
La tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point A a pour équation $y=f'(x_{\mathrm{A}})\left (x- x_{\mathrm{A}}\right ) + f(x_{\mathrm{A}})$.
$x_{\mathrm{A}} = 2$ donc $f'(x_{\mathrm{A}})=f'(2)=(-2+6-4)\text{e}^{-x} = 0$; de plus $f(x_{\mathrm{A}})=0$.
La tangente a pour équation $y=0$, c'est donc l'axe des abscisses.
3. Justifier que le signe de $f'(x)$ est donné par le signe du trinôme $-0,5 x^2 + 3x - 4$.
$f'(x)=\left ( -0,5x^2 +3x -4\right ) \text{e}^{-x}$; or, pour tout réel $X$, $\text{e}^{X}>0$. Donc $f'(x)$ est du signe du trinôme $-0,5 x^2 + 3x - 4$.
4. En déduire le signe de $f'(x)$ puis le sens de variation de $f$ sur $[0~;~2]$.
On cherche le signe de $f'(x)$ donc de $-0,5 x^2 + 3x - 4$. $\Delta = 3^2 - 4\times (-0,5)\times (-4)=9-8 = 1$ Le trinôme admet deux racines $x'=\dfrac{-3 -\sqrt{1}}{2\times (-0,5)} = 4$ et $x''=\dfrac{-3 +\sqrt{1}}{-1} = 2$. D'où le tableau de signes:

 
$f'(x)<0$ sur [0 ; 2[ donc la fonction $f$ est strictement décroissante sur [0 ; 2].

Partie C

 

1. Justifier que la fonction $f$ est positive sur l'intervalle $[0~;~2]$.
La fonction $f$ est strictement décroissante sur $[0~;~2]$ donc pour tout $x$ de [0 ;~2], $f(x) \geqslant f(2)$. Or $f(2)=0$ donc la fonction $f$ est positive sur $[0~;~2]$.
2. On admet que la fonction $F$ définie par $F(x) = \left(- \frac{1}{2}x^2 + x - 1\right)\text{e}^{-x}$ sur l'intervalle $[0~;~2]$ est une primitive de la fonction $f$ sur $[0~;~2]$. Montrer que l'aire en m$^2$ de la partie délimitée par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x = 0$ et $x = 2$ est égale à $1 - \dfrac{1}{\text{e}^2}$.
L'aire en m$^2$ de la partie délimitée par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x = 0$ et $x = 2$ est égale à $\displaystyle\int_{0}^{2} f(x) \text{d} x = F(2) - F(0) = \left ( \left(- \frac{1}{2}2^2 + 2 - 1\right)\text{e}^{-2} \right ) - \left ( \left(- \frac{1}{2} 0 + 0 - 1\right)\text{e}^{0}\right ) = -\text{e}^{^{-2}} +1 = 1 -\dfrac{1}{\text{e}^{2}}$
3. En déduire l'aire de la zone à peindre. On donnera une valeur approchée du résultat à 0,01$ $m$^2$ près.
On découpe la surface à peindre en 5 surfaces.


• La région 1 est un rectangle de dimensions 1 sur 2 donc a une aire de 2~m$^2$.
• L'aire de la région 2 a été calculée dans la question précédente: $1-\dfrac{1}{\text{e}^{2}}$.
• La région 3 est un rectangle de dimensions $0,2$ sur 7 donc a une aire de $1,4$~m$^2$.
• Pour des raisons de symétrie, la région 4 a une aire égale à celle de la région 2.
• Pour des raisons de symétrie, la région 5 a une aire égale à celle de la région 1.
La région à peindre a pour aire, en m$^2$: $2+\left (1-\dfrac{1}{\text{e}^{2}}\right ) + 1,4 + \left (1-\dfrac{1}{\text{e}^{2}}\right ) + 2 = 7,4-\dfrac{2}{\text{e}^{2}}\approx 7,13$.

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Exercice 3 6 points

Suites

Une éolienne est un générateur qui produit du courant électrique à partir de l'énergie cinétique du vent. Une entreprise européenne réalise la conception, la fabrication, la vente, l'installation ainsi que l'exploitation et la maintenance de ses éoliennes. Son service de presse a publié un article en janvier 2017 dont voici un extrait: « Une de nos usines située en Espagne, en exploitation depuis 2001, a produit au total plus de $40\;000$ pales d'éoliennes de 2001 à 2016, pales qui ont été exportées vers cinq continents. »
On dispose également des données suivantes sur la production de l'usine espagnole considérée. $$\begin{array}{|c|c|} \hline \text{Année } &\text{Quantité de pales produites pendant l'année}\\ \hline 2001 &800\\ \hline 2008 &2002\\ \hline \end{array}$$

Partie A

Le but de cette partie est de trouver une suite modélisant au mieux la production des pales d'éoliennes de l'usine espagnole depuis 2001. On étudie deux modélisations.

1. Dans cette question, on se propose de modéliser le nombre de pales produites par l'usine espagnole pendant l'année $2001 + n$, où $n$ est un entier naturel, par la valeur arrondie à l'entier le plus proche de $u_n$ où $u_n = 800 + 578\ln (n + 1)$.
   1. Vérifier que cette suite satisfait aux données du tableau précédent.
   2. On considère l'algorithme suivant : $$\begin{array}{|ll|}\hline S \gets 0 \\ \text{ Pour } i \text{allant de } 0 \text{ à } 15 \\ \hspace{0.5cm}| S \gets S + \text{ ARRONDI }(800 + 578\ln (i + 1)) \\ \text{Fin Pour }\\ \hline \end{array}$$ On précise que ARRONDI$(x)$ signifie: calculer la valeur arrondie de $x$ à l'entier le plus proche. Une fois l'algorithme exécuté, $S$ contient la valeur $30\;529$. Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
   3. La suite $\left(u_n\right)$ peut-elle modéliser la production des pales d'éoliennes de l'usine espagnole depuis 2001 ? Justifier la réponse.
2. On examine maintenant une modélisation de la production par la suite géométrique $\left(v_n\right)$ de premier terme $v_0 = 800$ et de raison $q = 1,14$.
   1. Exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
   2. Calculer $v_7$. On donnera le résultat arrondi à l'unité.
   3. On rappelle que la somme des premiers termes consécutifs d'une suite géométrique de premier terme $v_0$ et de raison $q \neq 1$ est donnée par : \[v_0 + v_1 + \ldots + v_n = v_0 \times \dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q}.\] Calculer $v_0 + v_1 + \ldots + v_{15}$. On donnera le résultat arrondi à l'unité.
   4. Peut-on modéliser par la suite $\left(v_n\right)$ la production, depuis 2001, de pales d'éoliennes de l'usine espagnole ? Justifier la réponse.

 

Partie B

L'entreprise gère aussi la réparation des pales sur leur lieu d'utilisation. On estime que la durée de vie d'une pale, exprimée en années, avant la première réparation, est une variable aléatoire $X$ qui suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda = 0,125$. Pour chaque question, donner le résultat arrondi à $10^{-3}$.

1. Calculer $P(0 \leqslant X \leqslant 5)$.
2. Calculer la probabilité qu'une pale n'ait pas eu de réparation au cours des dix premières années.
3. Déterminer la durée de vie moyenne d'une pale avant la première réparation.

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Correction de l'exercice 3 (5 points)

Suites

Une éolienne est un générateur qui produit du courant électrique à partir de l'énergie cinétique du vent. Une entreprise européenne réalise la conception, la fabrication, la vente, l'installation ainsi que l'exploitation et la maintenance de ses éoliennes. Son service de presse a publié un article en janvier 2017 dont voici un extrait: « Une de nos usines située en Espagne, en exploitation depuis 2001, a produit au total plus de $40\;000$ pales d'éoliennes de 2001 à 2016, pales qui ont été exportées vers cinq continents. »
On dispose également des données suivantes sur la production de l'usine espagnole considérée. $$\begin{array}{|c|c|} \hline \text{Année } &\text{Quantité de pales produites pendant l'année}\\ \hline 2001 &800\\ \hline 2008 &2002\\ \hline \end{array}$$

Partie A

Le but de cette partie est de trouver une suite modélisant au mieux la production des pales d'éoliennes de l'usine espagnole depuis 2001. On étudie deux modélisations.

1. Dans cette question, on se propose de modéliser le nombre de pales produites par l'usine espagnole pendant l'année $2001 + n$, où $n$ est un entier naturel, par la valeur arrondie à l'entier le plus proche de $u_n$ où $u_n = 800 + 578\ln (n + 1)$.
   1. Vérifier que cette suite satisfait aux données du tableau précédent.
      • L'année 2001 correspond à $n=0$ et $u_0=800+578\ln(1)=800$.
      • L'année 2008 correspond à $n=7$ et $u_7=800 + 578\ln(8)$ qui a pour valeur arrondie à l'unité près $ 2002 $.
   2. On considère l'algorithme suivant : $$\begin{array}{|ll|}\hline S \gets 0 \\ \text{ Pour } i \text{allant de } 0 \text{ à } 15 \\ \hspace{0.5cm}| S \gets S + \text{ ARRONDI }(800 + 578\ln (i + 1)) \\ \text{Fin Pour }\\ \hline \end{array}$$ On précise que ARRONDI$(x)$ signifie: calculer la valeur arrondie de $x$ à l'entier le plus proche. Une fois l'algorithme exécuté, $S$ contient la valeur $30\;529$. Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
   D'après ce modèle, il n'y a eu que $30529$ pales produites entre 2001 et 2016 alors que le service de presse de l'entreprise en annonce « plus de 40000 ».
   La variable $S$ donne le nombre total de pales produites pour $n$ compris entre 0 et 15, c'est-à-dire entre 2001 et 2016.
   3. La suite $\left(u_n\right)$ peut-elle modéliser la production des pales d'éoliennes de l'usine espagnole depuis 2001 ? Justifier la réponse.
   La suite $\left(u_n\right)$ ne peut donc pas modéliser la production des pales d'éoliennes de l'usine espagnole depuis 2001.
2. On examine maintenant une modélisation de la production par la suite géométrique $\left(v_n\right)$ de premier terme $v_0 = 800$ et de raison $q = 1,14$.
   1. Exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
   $v_n=v_0\times q^n = 800\times 1,14^{n}$
   2. Calculer $v_7$. On donnera le résultat arrondi à l'unité.
   $v_7=800\times 1,14^{7} \approx 2002 $ (à l'unité près).
   3. On rappelle que la somme des premiers termes consécutifs d'une suite géométrique de premier terme $v_0$ et de raison $q \neq 1$ est donnée par : \[v_0 + v_1 + \ldots + v_n = v_0 \times \dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q}.\] Calculer $v_0 + v_1 + \ldots + v_{15}$. On donnera le résultat arrondi à l'unité.
   $v_0 + v_1 + \ldots + v_{15} = v_0 \times \dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q} = 800 \times \dfrac{1-1,14^{16}}{1-1,14}$ a pour valeur arrondie à l'unité $ 40784 $.
   4. Peut-on modéliser par la suite $\left(v_n\right)$ la production, depuis 2001, de pales d'éoliennes de l'usine espagnole ? Justifier la réponse.
      • Le service de presse avait annoncé » plus de 40000 « pales produites entre 2001 et 2015. La modélisation par la suite $\left(v_n\right)$ en prévoit 40784 .
      • De plus pour 2001, $v_0=800$ et pour 2008, $v_7= 2002 $ donc la suite $\left(v_n\right)$ satisfait aux données du tableau.
   On peut donc modéliser par la suite $\left(v_n\right)$ la production, depuis 2001, de pales d'éoliennes de l'usine espagnole.

 

Partie B

L'entreprise gère aussi la réparation des pales sur leur lieu d'utilisation. On estime que la durée de vie d'une pale, exprimée en années, avant la première réparation, est une variable aléatoire $X$ qui suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda = 0,125$. Pour chaque question, donner le résultat arrondi à $10^{-3}$.

1. Calculer $P(0 \leqslant X \leqslant 5)$.
$P(X \leqslant a) = \displaystyle\int_{0}^{a} \lambda \text{e}^{-\lambda t} \text{d} t = 1-\text{e}^{- \lambda a}$ Donc $P(0 \leqslant X \leqslant 5) = 1-\text{e}^{-0,125 \times 5} = 1-\text{e}^{0,625} \approx 0,465$.
2. Calculer la probabilité qu'une pale n'ait pas eu de réparation au cours des dix premières années.
La probabilité qu'une pale n'ait pas eu de réparation au cours des dix premières années est $P(X>10) = 1-P(X\leqslant 10) = 1-\left ( 1-\text{e}^{-0,125\times 10}\right ) = \text{e}^{-1,25} \approx 0,287$.
3. Déterminer la durée de vie moyenne d'une pale avant la première réparation.
La durée de vie moyenne d'une pale avant la première réparation est, en années, $E(X) = \dfrac{1}{\lambda} = \dfrac{1}{0,125} = 8$.

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Exercice 4 4 points

QCM

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n'est demandée.
Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l'absence de réponse à une question ne rapportent ni n 'enlèvent aucun point.
Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse correspondante choisie.

1. Si $z_1 = - 1 + \text{i}\sqrt{3}$ et $z_2 = \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}$ alors le quotient $\dfrac{z_1}{\left(z_2\right)^2}$ vaut :
   
   • a.$\quad- 2$
   • b.$\quad- \sqrt{3} + \text{i}$
   • c. $\quad2$
   • d.$\quad- \sqrt{3} - \text{i}$
2. Si $z_1 = - 1 + \text{i}\sqrt{3}$ et $z_2 = \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}$ alors le produit $\overline{z_1} \times z_2$ vaut :
   
   
   • a.$\quad-2 $
   • b. $\quad1 - \text{i}\sqrt{3}$
   • c.$\quad\text{e}^{\text{i}\pi}$
   • d.$\quad- 1 - \text{i}\sqrt{3}$
3. Soit $X$ une variable aléatoire qui suit une loi normale d'espérance $\mu$ et d'écart-type $\sigma$. Sachant que $P(X \in [189~;~191]) \approx 0,95\:$, $\mu$ et $\sigma$ peuvent prendre les valeurs :
   
   
   • a.$\quad \mu = 1$ et $\sigma = 190$
   • b. $\quad\mu = 190$ et $\sigma = 1$
   • c. $\quad\mu = 190$ et $\sigma = 0,5$
   • d. $\quad\mu = 0,5$ et $\sigma = 190$
4. Dans le cadre du fonctionnement correct d'une chaîne de production de pièces détachées, la proportion de pièces détachées conformes doit être 96 %. On contrôle la production de la chaîne en prélevant de manière aléatoire un échantillon de $150$ pièces détachées. On rappelle que l'intervalle de fluctuation asymptotique à 95 % de la fréquence $p$ des pièces détachées conformes sur un échantillon de taille $n$ est : \[I = \left[p - 1,96\sqrt{\dfrac{p(1 - p)}{n}}~;~p + 1,96\sqrt{\dfrac{p(1 - p)}{n}}\right]\] En utilisant un intervalle de fluctuation asymptotique à 95 %, on prendra la décision d'effectuer des réglages sur la chaîne de production si le nombre de pièces détachées non conformes trouvées dans l'échantillon prélevé est :
   
   
   • a. $\quad8$
   • b.$\quad9$
   • c.$\quad10$
   • d.$\quad11$

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Exercice 4 4 points

QCM

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n'est demandée.
Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l'absence de réponse à une question ne rapportent ni n 'enlèvent aucun point.
Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse correspondante choisie.

1. Si $z_1 = - 1 + \text{i}\sqrt{3}$ et $z_2 = \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}$ alors le quotient $\dfrac{z_1}{\left(z_2\right)^2}$ vaut :
   
   • a.$\quad- 2$
   • b.$\quad- \sqrt{3} + \text{i}$
   • c. $\quad2$
   • d.$\quad- \sqrt{3} - \text{i}$
$\left |z_1\right |=2$ donc $z_1 = 2\left ( -\dfrac{1}{2} + \text{i} \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right ) = 2\text{e}^{\text{i} \frac{2\pi}{3}}$ et $z_2=\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}$ donc $z_2^{2}=\left (\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}\right )^2 =\text{e}^{\text{i}\frac{2\pi}{3}}$ On en déduit que $\dfrac{z_1}{\left (z_2\right )^2} = \dfrac{2 \text{e}^{\text{i}\frac{2\pi}{3}}}{\text{e}^{\text{i}\frac{2\pi}{3}}}=2$.
Réponse c
2. Si $z_1 = - 1 + \text{i}\sqrt{3}$ et $z_2 = \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}$ alors le produit $\overline{z_1} \times z_2$ vaut :
   
   
   • a.$\quad-2 $
   • b. $\quad1 - \text{i}\sqrt{3}$
   • c.$\quad\text{e}^{\text{i}\pi}$
   • d.$\quad- 1 - \text{i}\sqrt{3}$
$z_1 = 2\text{e}^{\text{i} \frac{2\pi}{3}}$ donc $\overline{z_1} = 2\text{e}^{-\text{i} \frac{2\pi}{3}}$ $\overline{z_1} \times z_2=2\text{e}^{-\text{i} \frac{2\pi}{3}} \times \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}} = 2\text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{3}} = 2\left ( \dfrac{1}{2} -\text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right ) = 1 - \text{i}\sqrt{3}$
Réponse b.
3. Soit $X$ une variable aléatoire qui suit une loi normale d'espérance $\mu$ et d'écart-type $\sigma$. Sachant que $P(X \in [189~;~191]) \approx 0,95\:$, $\mu$ et $\sigma$ peuvent prendre les valeurs :
   
   
   • a.$\quad \mu = 1$ et $\sigma = 190$
   • b. $\quad\mu = 190$ et $\sigma = 1$
   • c. $\quad\mu = 190$ et $\sigma = 0,5$
   • d. $\quad\mu = 0,5$ et $\sigma = 190$
Pour une variable aléatoire $X$ suivant une loi normale de moyenne $\mu$ et d'écart-type $\sigma$, on sait que $P\left (X\in [\mu -2\sigma\:; \mu+2\sigma]\strut\right ) \approx 0,95$. Si $\mu=190$ et $\sigma=0,5$, alors $P\left (X\in [190 -2\times 0,5~; 190+2\times 0,5]\strut\right )\approx 0,95$.
Réponse c.
4. Dans le cadre du fonctionnement correct d'une chaîne de production de pièces détachées, la proportion de pièces détachées conformes doit être 96 %. On contrôle la production de la chaîne en prélevant de manière aléatoire un échantillon de $150$ pièces détachées. On rappelle que l'intervalle de fluctuation asymptotique à 95 % de la fréquence $p$ des pièces détachées conformes sur un échantillon de taille $n$ est : \[I = \left[p - 1,96\sqrt{\dfrac{p(1 - p)}{n}}~;~p + 1,96\sqrt{\dfrac{p(1 - p)}{n}}\right]\] En utilisant un intervalle de fluctuation asymptotique à 95 %, on prendra la décision d'effectuer des réglages sur la chaîne de production si le nombre de pièces détachées non conformes trouvées dans l'échantillon prélevé est :
   
   
   • a. $\quad8$
   • b.$\quad9$
   • c.$\quad10$
   • d.$\quad11$
$p=0,96$ et $n=150$ donc l'intervalle de fluctuation asymptotique à 95 % de la proportion de pièces conformes est
$I = \left[p - 1,96\sqrt{\dfrac{p(1 - p)}{n}}~;~p + 1,96\sqrt{\dfrac{p(1 - p)}{n}}\right]$
$\phantom{I} = \left[0,96 - 1,96\sqrt{\dfrac{0,96\times 0,04}{150}}~;~0,96 + 1,96\sqrt{\dfrac{0,96\times 0,04}{150}}\right] \approx \left [ 0,928\:; 0,992\strut\right ]$
On calcule les fréquences correspondant à chacune des réponses proposées.
Si 8 pièces sont non conformes, $142$ sont conformes; $f_{\text a}=\dfrac{142}{150}\approx 0,947 \in I$.
Si 9 pièces sont non conformes, $141$ sont conformes; $f_{\text b}=\dfrac{141}{150} = 0,947 \in I$.
Si 10 pièces sont non conformes, $140$ sont conformes; $f_{\text c}=\dfrac{140}{150}\approx 0,933 \in I$.
Si 11 pièces sont non conformes, $139$ sont conformes; $f_{\text d}=\dfrac{139}{150}\approx 0,927 \notin I$.
Réponse d.

Exercice 1 QCM 4 points

QCM

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n’est demandée. Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l'absence de réponse à une question ne rapportent ni n’enlèvent de point.
Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse correspondante choisie.

1. Le plan complexe est muni d’un repère $\left(\text{O}~;~\vec{u},~\vec{v}\right)$. On considère le point A de coordonnées $\left(-4\sqrt 2 ; 4\sqrt 2\right )$.
   Une écriture exponentielle de l’affixe du point A est :
   1. $8\text{e}^{-i\frac{3\pi}{4}}$
   2. $8\text{e}^{i\frac{3\pi}{4}}$
   3. $4\sqrt 2 \text{e}^{-i\frac{3\pi}{4}}$
   4. $4\sqrt 2 \text{e}^{i\frac{3\pi}{4}}$
2. Sur le graphique ci-dessous, l’aire grisée est délimitée par la courbe d’équation $y = 2\text{e}^{-x}$ l'axe des abscisses et les droites d’équation $x = a$ et $x=2$, où $a$ est un nombre réel strictement inférieur à 2.
   
   L’aire grisée a une valeur strictement comprise entre 0,5 et 1 unité d’aire lorsque a est égal à :
   1. -0,5
   2. 0
   3. 0,5
   4. 1,5
3. On considère l’équation différentielle $y' + 2y = 6$ où $y$ désigne une fonction dérivable sur $\mathbb R$. On note $f$ l’unique solution de cette équation différentielle vérifiant $f(0)=5$ .
   La valeur de $f(2)$ est :
   1. $2\text{e}^{-4}+3$
   2. $2\text{e}^{4}+3$
   3. $5\text{e}^{-4}+3$
   4. $5\text{e}^{4}+3$
4. On considère la fonction $f$ définie sur $]0 ; +\infty[$ par $f(x)= \ln(x)$.
   La primitive $F$ de $f$ sur $]0 ; +\infty[$ telle que $F(1) = 3$ est donnée par :
   1. $F(x)=x\ln x -2x+5$
   2. $F(x)=\dfrac{3}{x}$
   3. $F(x)=x\ln x +3$
   4. $F(x)=x\ln x - x+4$

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Correction de l'exercice 1 (4 points)

Probabilités

QCM

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n’est demandée. Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l'absence de réponse à une question ne rapportent ni n’enlèvent de point.
Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse correspondante choisie.

1. Le plan complexe est muni d’un repère $\left(\text{O}~;~\vec{u},~\vec{v}\right)$. On considère le point A de coordonnées $\left(-4\sqrt 2 ; 4\sqrt 2\right )$.
   Une écriture exponentielle de l’affixe du point A est :
   1. $8\text{e}^{-i\frac{3\pi}{4}}$
   2. $8\text{e}^{i\frac{3\pi}{4}}$
   3. $4\sqrt 2 \text{e}^{-i\frac{3\pi}{4}}$
   4. $4\sqrt 2 \text{e}^{i\frac{3\pi}{4}}$
Notons $z_A$ l'affixe du point $A$, on a $z_A= -4\sqrt 2+i 4\sqrt 2$ $$\begin{array}{cc} \text{\ Module} & \text{ Argument} \\ \begin{array}{rl|rl} |z_A |&=\sqrt{a^2+b^2} \\ & =\sqrt{ \left (-4\sqrt 2\right )^2+\left (4\sqrt 2\right )^2}\\ &=\sqrt {16\times 2+16\times 2}\\ &= \sqrt{64}\\ &=8 \end{array}& \left\lbrace \begin{array}{l} \cos \theta=\frac{a}{r}~=\frac{-4\sqrt 2}{8}=-\frac{\sqrt 2}{2}\\ ~\sin \theta=\frac{b}{r}~=\frac{4\sqrt 2}{8}=\frac{\sqrt 2}{2} \end{array} \right.\\ &\text{ Donc } \theta = \frac{3\pi}{4} \text{ convient } \end{array}$$ $$z_A= -4\sqrt 2+i 4\sqrt 2= 8\left(\cos\left(\frac{3\pi}{4} \right) +i\sin \left(\frac{3\pi}{4} \right) \right) =8\text{e}^{i\frac{3\pi}{4}} $$ La bonne réponse est b.
2. Sur le graphique ci-dessous, l’aire grisée est délimitée par la courbe d’équation $y = 2\text{e}^{-x}$ l'axe des abscisses et les droites d’équation $x = a$ et $x=2$, où $a$ est un nombre réel strictement inférieur à 2.
   
   L’aire grisée a une valeur strictement comprise entre 0,5 et 1 unité d’aire lorsque a est égal à :
   1. -0,5
   2. 0
   3. 0,5
   4. 1,5
Comme la fonction $x\mapsto 2\text{e}^{-x}$ est continue et positive sur $[a;2]$, l'aire grisée vaut : $$\begin{array}{rl} \mathcal{A}&=\displaystyle\int_a^2 2\text{e}^{-x}\; \text{d} x \\ &=\left [-2\text{e}^{-x}\right ] _a^2\\ &=-2\text{e}^{-2}-\left (-2\text{e}^{-a}\right )\\ &=2\text{e}^{-a}-2\text{e}^{-2} \end{array}$$ On complète alors le tableau de valeurs de la fonction aire $\mathcal{A}:a\mapsto 2\text{e}^{-a}-2\text{e}^{-2}$ On obtient avec une calculatrice $$\begin{array}{|c|c|} \hline a & \mathcal{A}(a)\\ \hline -0,5 & 3,03 \\ \hline 0 & 1,73 \\ \hline 0,5& 0,94 \\\hline 1,5& 0,18\\\hline\end{array}$$ La bonne réponse est c.
Avec la calculatrice :

3. On considère l’équation différentielle $y' + 2y = 6$ où $y$ désigne une fonction dérivable sur $\mathbb R$. On note $f$ l’unique solution de cette équation différentielle vérifiant $f(0)=5$ .
   La valeur de $f(2)$ est :
   1. $2\text{e}^{-4}+3$
   2. $2\text{e}^{4}+3$
   3. $5\text{e}^{-4}+3$
   4. $5\text{e}^{4}+3$
On met l'équation sous forme résolue : $y' =-2y+6$.
Cette équation différentielle est du type $y'=ay+b$ où $a=-2$ et $b=6$.
La solution générale est $y=-\dfrac{b }{a}+K\text{e}^{ax}$, soit ici $y= 3+K\text{e}^{-2x}$
$$\begin{array}{rl} f(0)=5& \iff 3+K\text{e}^{0} =5\\ & \iff 3+K=5\\ &\iff K=2 \end{array}$$ On déduit ainsi $f(x) =3+2\text{e}^{-2x}$, puis $f(2)=3+2\text{e}^{-4}$
La bonne réponse est  a.
4. On considère la fonction $f$ définie sur $]0 ; +\infty[$ par $f(x)= \ln(x)$.
   La primitive $F$ de $f$ sur $]0 ; +\infty[$ telle que $F(1) = 3$ est donnée par :
   1. $F(x)=x\ln x -2x+5$
   2. $F(x)=\dfrac{3}{x}$
   3. $F(x)=x\ln x +3$
   4. $F(x)=x\ln x - x+4$
Calculons la dérivée de $F:x\mapsto x\ln x - x+4$.
$F(x)=x\ln x - x+4$, on a donc $F=uv+w$, donc $F'=u'v+v'u +w'$. $$\begin{array}{rl} F'(x)& =1\times \ln x+\dfrac{1}{x}\times x-1\\ & =\ln x +1-1\\ &=\ln x \\ &=f(x) \end{array}$$ Comme $F'(x)=f(x)$, on déduit que $F$ est une primitive de $f$; il reste à vérifier que $F(1)=3$.
Or $F(1)= 1\times \ln 1-1+4=-1+4=3$.
La bonne réponse est d.

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Exercice 2 5 points

Suites

Après son installation, un lundi matin, un aquarium contient 280 litres d’eau et des poissons. Par évaporation, le volume d’eau dans l’aquarium diminue de 2% par semaine. Compte tenu du nombre de poissons, cet aquarium doit contenir en permanence au minimum 240 litres d’eau.

Partie A

1. Quel volume d'eau restera-t-il dans l'aquarium au bout d’une semaine?
2. Est-il vrai qu’au bout de deux semaines, exactement 4% du volume d’eau initial se seront évaporés? Justifier.
3. Déterminer au bout de combien de semaines le volume d’eau dans l’aquarium deviendra insuffisant.

Partie B

On ajoute chaque lundi matin, en une seule fois, 5 litres d’eau pour compenser l’évaporation hebdomadaire de 2%.
On note $u_0$ le volume initial d’eau en litres dans l'aquarium. Ainsi $u_0 = 280$.
Pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1, on note $u_n$ le volume d’eau dans l'aquarium, en litres, $n$ semaines après son installation, immédiatement après l’ajout hebdomadaire des 5 litres d’eau.

1. Vérifier que $u_2 = 278,812$.
2. Justifier que pour tout entier naturel $n, u_{n+1} = 0,98 u_n + 5$.
3. Montrer que la suite $\left(u_n\right)$ n’est pas géométrique.
4. On considère l'algorithme ci-dessous dans lequel $k$ désigne un nombre entier naturel et $U$ un nombre réel.
   $$\begin{array}{| l |} \hline\\ U\gets 280 \\ \text{Pour } k \text{ allant de 1 à } \ldots\\ \hspace{0.5cm} U\gets \ldots \\ \text{Fin pour }\\ \hline \end{array}$$
   1. Recopier et compléter l’algorithme pour qu’à la fin de son exécution, la variable U contienne $u_6$.
   2. Quel est le volume d’eau dans l’aquarium, en litres à 10$^{-2}$ près, 6 semaines après son installation immédiatement après l’ajout hebdomadaire des 5 litres d’eau.
5. On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $v_n = u_n -250$. On admet que la suite $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique de raison 0,98.
   1. Calculer $v_0$.
   2. Exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
   3. En déduire que, pour tout entier naturel $n, u_n = 30 \times 0,98^n + 250$.
   4. Justifier que la préconisation concernant le volume d’eau dans l'aquarium est respectée.

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Correction de l'exercice 2 (5 points)

Suites

Suites

Après son installation, un lundi matin, un aquarium contient 280 litres d’eau et des poissons. Par évaporation, le volume d’eau dans l’aquarium diminue de 2% par semaine. Compte tenu du nombre de poissons, cet aquarium doit contenir en permanence au minimum 240 litres d’eau.

Partie A

1. Quel volume d'eau restera-t-il dans l'aquarium au bout d’une semaine?
Le volume d'eau restant dans l'aquarium au bout d’une semaine est : \renewcommand{\arraystretch}{1.25} $$\begin{array}{rl} V&=280-\frac{2}{100}\times 280 \\ & =0,98\times 280\\ &=274,4 \end{array}$$ Au bout d'une semaine il restera 274,4 litres d'au dans l'aquarium.
2. Est-il vrai qu’au bout de deux semaines, exactement 4% du volume d’eau initial se seront évaporés? Justifier.
C'est faux ! Au bout de deux semaines, il restera $0,98^2\times 280$. Il se sera échappé $$1-0,98^2=0,0396.$$ Au bout de deux semaines, exactement 3,96% du volume d’eau initial se seront évaporés.
3. Déterminer au bout de combien de semaines le volume d’eau dans l’aquarium deviendra insuffisant.
Notons $V_n$ le volume d'eau restant dans l'aquarium au bout de $n$ semaines.
On cherche le plus petit entier $n$ vérifiant : $V_n < 240$.
Comme on passe de $V_n$ à $V_{n+1}$ en multipliant par 0,98; la suite $\left ( V_n\right)$ est géométrique de raison 0,98.
Ainsi $V_n=q^n\times V_0=280\times 0,98^n$. $$\begin{array}{rll} V_n <240& \iff 280\times 0,98^n < 240&\\ & \iff 0,98^n <\frac{240}{280}&\\ &\iff 0,98^n < \frac{6}{7}&\\ &\iff \ln\left (0,98^n\right ) <\ln \left ( \frac{6}{7}\right )& \ln \text{est strictement croissante sur } ]0;+\infty[\\ &\iff n\ln\left (0,98 \right ) <\ln \left ( \frac{6}{7}\right )& \text{ car } \ln\left (a^n \right )=n\ln a\\ &\iff n> \dfrac{\ln \left ( \frac{6}{7}\right )}{\ln\left (0,98 \right )}&\text{ car } 0,98 <1 \text{ donc } \ln\left (0,98 \right ) <0\\ \end{array}$$ Grâce à une calculatrice, on obtient $\dfrac{\ln \left ( \frac{6}{7}\right )}{\ln\left (0,98 \right )}\approx 7,63$.
Le volume d’eau dans l’aquarium deviendra insuffisant au bout de 8 semaines.

Partie B

On ajoute chaque lundi matin, en une seule fois, 5 litres d’eau pour compenser l’évaporation hebdomadaire de 2%.
On note $u_0$ le volume initial d’eau en litres dans l'aquarium. Ainsi $u_0 = 280$.
Pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1, on note $u_n$ le volume d’eau dans l'aquarium, en litres, $n$ semaines après son installation, immédiatement après l’ajout hebdomadaire des 5 litres d’eau.

1. Vérifier que $u_2 = 278,812$.
   • $u_1= 0,98\times u_0+5=0,98\times 280+5 = 279,4$
   • $u_2= 0,98\times u_1+5=0,98\times 279,4+5 =278,812$
2. Justifier que pour tout entier naturel $n, u_{n+1} = 0,98 u_n + 5$.
Comme $u_n$ est le volume d’eau dans l'aquarium, en litres, $n$ semaines après son installation, immédiatement après l’ajout hebdomadaire des 5 litres d’eau, on a après évaporation de 2 % sur une semaine, il y aura $(1-0,02)u_n=0,98u_n$.
Puis on rajoute 5 litres d'eau, il y aura donc en litres, $n+1$ semaines après son installation: $0,98u_n+5$
D'où le résultat: $u_{n+1} = 0,98 u_n + 5.$
3. Montrer que la suite $\left(u_n\right)$ n’est pas géométrique.
Si $\left(u_n\right)$ est géométrique de raison $q$ alors $q=\dfrac{u_1}{u_0}=\dfrac{u_2}{u_1}$
Mais $$\dfrac{u_1}{u_0}=\dfrac{u_2}{u_1} \iff u_1^2=u_0\times u_2$$ Or $u_1^2=78\;064,36$ et $u_0\times u_2=78\;067,36$.
On a donc $\dfrac{u_1}{u_0}\neq \dfrac{u_2}{u_1}$, donc la suite $\left(u_n\right)$ n’est pas géométrique.
4. On considère l'algorithme ci-dessous dans lequel $k$ désigne un nombre entier naturel et $U$ un nombre réel.
   $$\begin{array}{| l |} \hline\\ U\gets 280 \\ \text{Pour } k \text{ allant de 1 à } \ldots\\ \hspace{0.5cm} U\gets \ldots \\ \text{Fin pour }\\ \hline \end{array}$$
   1. Recopier et compléter l’algorithme pour qu’à la fin de son exécution, la variable U contienne $u_6$.
   $$\begin{array}{| l |} \hline\\ U\gets 280 \\ \text{Pour } k \text{ allant de 1 à } \color{red}{6}\\ \hspace{0.5cm} U\gets \color{red}{0,98\times U+5 }\\ \text{Fin pour }\\ \hline \end{array}$$
   2. Quel est le volume d’eau dans l’aquarium, en litres à 10$^{-2}$ près, 6 semaines après son installation immédiatement après l’ajout hebdomadaire des 5 litres d’eau.
   Plusieurs méthodes sont possibles :
   On saisit l'algorithme ci-dessus sur une calculatrice
   On obtient $v_6\approx 276,58$
   On peut également utiliser le mode suite de la calculatrice :
   
5. On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $v_n = u_n -250$. On admet que la suite $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique de raison 0,98.
   1. Calculer $v_0$.
   $v_0=u_0-250=280-250=30$
   2. Exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
   Comme $\left(u_n\right)$ est géométrique de raison 0,98, on a pour tout entier $n$: $$v_n= q^n \times v_0= 30 \times 0,98^n$$
   3. En déduire que, pour tout entier naturel $n, u_n = 30 \times 0,98^n + 250$.
   Ayant $v_n = u_n -250$, on déduit $$u_n = v_n +250=30 \times 0,98^n + 250$$
   4. Justifier que la préconisation concernant le volume d’eau dans l'aquarium est respectée.
   Pour tout entier $n$, on a : $0,98^n>0$, donc $30\times 0,98^n >0$, puis $30\times 0,98^n +250>250$.
   Donc pour tout entier $n$, on a $u_n>250$, l'aquaruim contient donc toujours plus de 250 litres. Donc la préconisation concernant le volume d’eau dans l'aquarium est respectée.

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Exercice 3 6 points


Fonctions

Le niveau sonore $N$ d’un bruit, à une distance $D$ de sa source, dépend de la puissance sonore $P$ de la source. Il est donné par la relation $$ N =120+4\ln\left(\dfrac{P}{13D^2}\right)$$ où $N$ est exprimé en décibels (dB), $P$ en Watts (W) et $D$ en mètres (m).

Partie A

Les questions 1. et 2. sont indépendantes.

1. Calculer le niveau sonore $N$ d’un bruit entendu à 10 mètres de la source sonore dont la puissance $P$ est égale à 2,6 Watts. On arrondira le résultat à l’unité.
2. On donne $N = 84$ dB et $D = 10$ m. Déterminer $P$. On arrondira le résultat à $10^{-2}$ près.

Partie B

Une entreprise de travaux publics réalise un parking en plein air. Sur le chantier d’aménagement de ce parking, une machine de découpe a une puissance sonore $P$ égale à 0,026 Watts.

1. 1. Montrer qu'à une distance $D$ de la machine, le niveau sonore $N$ dû à celle-ci vérifie la relation : $$N= 120 + 4\ln(0,002)-4\ln(D^2)$$
   2. Montrer qu’une approximation de $N$ peut être $95,14 - 8\ln(D)$.
      Dans la suite de l’exercice, à une distance de $x$ mètres de la machine, le niveau sonore $N$ émis par la machine est modélisé par la fonction $f$ définie sur l’intervalle $[0,1 ; 20]$ par : $$f(x) = 95,14 - 8 \ln(x)$$
2. 1. Déterminer une expression de $f'(x)$, où $f$ désigne la fonction dérivée de $f$.
   2. Donner le signe de $f'(x)$ pour tout $x$ de l'intervalle $[0,1 ; 20]$.
   3. En déduire le sens de variation de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0,1 ; 20]$.
3. On suppose qu’un ouvrier de cette entreprise se situe à trois mètres de la machine. La législation en vigueur l’oblige à porter des protections individuelles contre le bruit dès qu’un risque apparaît. Justifier, à l’aide du tableau ci-dessous, que l’ouvrier doit porter des protections individuelles contre le bruit. $$\begin{array}{|c|c|} \hline \textbf{Impacts sur l'audition}& \textbf{Niveaux sonores en décibels} \\ \hline \text{Aucun}& [0;85[\\ \hline \text{ Risque faible } &[85; 90[ \\ \hline \text{ Risque élevé } & [90; 120[\\ \hline \end{array}$$
4. Déterminer à quelle distance de la machine un ouvrier de l'entreprise sort de la zone de risque élevé ( c'est-à-dire lorsque le niveau sonore est inférieur à 90 dB).

Partie C

On s’intéresse au lien entre la puissance $P$ d’un bruit et la distance $D$ de sa source pour différentes valeurs de son niveau sonore $N$.

On admet que pour une puissance de 0,02 Watt, le niveau sonore du bruit est de 74,9 décibels à une distance de 11 mètres de la source sonore. Ainsi, le point A de coordonnées (0,02; 11) appartient à la courbe $\mathcal{C}_N=74,9$.

1. Pour un bruit de puissance $P$ égale à 0,06 W, déterminer graphiquement à quelles distances minimale et maximale de la source peut se situer une personne pour que le niveau sonore $N$ soit compris entre 85 et 90 dB.
2. Pour une source sonore située à une distance $D$ de 8 m, déterminer graphiquement les puissances minimale et maximale de cette source pour obtenir un niveau sonore compris entre 74,9 dB et 79,8 dB.

 

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Correction de l'exercice 3 (6 points)


Fonctions

Le niveau sonore $N$ d’un bruit, à une distance $D$ de sa source, dépend de la puissance sonore $P$ de la source. Il est donné par la relation $$ N =120+4\ln\left(\dfrac{P}{13D^2}\right)$$ où $N$ est exprimé en décibels (dB), $P$ en Watts (W) et $D$ en mètres (m).

Partie A

Les questions 1. et 2. sont indépendantes.

1. Calculer le niveau sonore $N$ d’un bruit entendu à 10 mètres de la source sonore dont la puissance $P$ est égale à 2,6 Watts. On arrondira le résultat à l’unité.
$$ N =120+4\ln\left(\dfrac{P}{13D^2}\right)=120+4\ln\left(\dfrac{2,6}{13\times 10^2}\right)=120+4\ln\left( 2\times 10^{-3}\right)\approx 95\text{dB}$$ Le niveau sonore $N $ d’un bruit entendu à 10 mètres de la source sonore dont la puissance $P $ est égale à 2,6 Watts est envron de 95 dB.
2. On donne $N = 84$ dB et $D = 10$ m. Déterminer $P$. On arrondira le résultat à $10^{-2}$ près.
On cherche $P$ tel que $N=84$ et $D=10$ $$\begin{array}{rl} N=84&\iff 120+4\ln\left(\dfrac{P}{13\times 10^2}\right)= 84\\ & \iff 4 \ln\left(\dfrac{P}{1300}\right)= -36 \\ &\iff \ln\left(\dfrac{P}{1300}\right)= -9\\ &\iff \dfrac{P}{1300}=\text{e}^{-9}\\ &\iff P=1300\text{e}^{-9} \end{array}$$ $P=1300\text{e}^{-9}\approx 0,16W$

Partie B

Une entreprise de travaux publics réalise un parking en plein air. Sur le chantier d’aménagement de ce parking, une machine de découpe a une puissance sonore $P$ égale à 0,026 Watts.

1. 1. Montrer qu'à une distance $D$ de la machine, le niveau sonore $N$ dû à celle-ci vérifie la relation : $$N= 120 + 4\ln(0,002)-4\ln(D^2)$$
   $$\begin{array}{rl} N&= 120+4\ln\left(\dfrac{P}{13D^2}\right)\\ &=120+4\ln\left(\dfrac{0,026}{13D^2}\right) \\ &=120+4\ln\left(\dfrac{0,002\times 13}{13D^2}\right) \\ &=120+4\ln\left(\dfrac{0,002 }{ D^2} \right) \\ &=120+4\ln\left( 0,02\right)-4\ln\left( D^2)\right) \\ \end{array}$$
   2. Montrer qu’une approximation de $N$ peut être $95,14 - 8\ln(D)$.
      Dans la suite de l’exercice, à une distance de $x$ mètres de la machine, le niveau sonore $N$ émis par la machine est modélisé par la fonction $f$ définie sur l’intervalle $[0,1 ; 20]$ par : $$f(x) = 95,14 - 8 \ln(x)$$
   Il suffit de remarquer que $120+4\ln\left( 0,02\right)\approx 95,14$.
   Ainsi $$=120+4\ln\left( 0,02\right)-4\ln\left( D^2)\right)\approx 95,14 - 8\ln(D)$$ en utilisant $\ln\left( D^2)\right)=2\ln D$
2. 1. Déterminer une expression de $f'(x)$, où $f$ désigne la fonction dérivée de $f$.
   Comme $f(x) = 95,14 - 8 \ln(x)$, on déduit $f'(x)= -8\times \dfrac{1 }{ x}= -\dfrac{8 }{ x}$
   2. Donner le signe de $f'(x)$ pour tout $x$ de l'intervalle $[0,1 ; 20]$.
   On étudie le signe de la dérivée : ici $x>0$ et $-8 < 0$ , donc $-\dfrac{8 }{ x} < 0$
   
   3. En déduire le sens de variation de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0,1 ; 20]$.
   La dérivée étant strictement négative sur l’intervalle $[0,1 ; 20]$, on conclut que la fonction $f$ est strictement décroissante sur l’intervalle $[0,1 ; 20]$.
3. On suppose qu’un ouvrier de cette entreprise se situe à trois mètres de la machine. La législation en vigueur l’oblige à porter des protections individuelles contre le bruit dès qu’un risque apparaît. Justifier, à l’aide du tableau ci-dessous, que l’ouvrier doit porter des protections individuelles contre le bruit. $$\begin{array}{|c|c|} \hline \textbf{Impacts sur l'audition}& \textbf{Niveaux sonores en décibels} \\ \hline \text{Aucun}& [0;85[\\ \hline \text{ Risque faible } &[85; 90[ \\ \hline \text{ Risque élevé } & [90; 120[\\ \hline \end{array}$$
On calcule $f(3)\approx 86,35$ dB.
A 3 mètres de la. machine, le niveau sonore est dans l'intervalle de risque faible et donc l'ouvrier devra porter des protections individuelles contre le bruit.
4. Déterminer à quelle distance de la machine un ouvrier de l'entreprise sort de la zone de risque élevé ( c'est-à-dire lorsque le niveau sonore est inférieur à 90 dB).
On résout l'inéquation $f(x)< 90$. $$\begin{array}{rl} f(x)<90& \iff 95,14 - 8 \ln(x) <90\\ &\iff -8 \ln x < -5,14\\ &\iff \ln x >\dfrac{ 5,14}{8}\\ &\iff x>\text{e}^{ \frac{ 5,14}{8}} \end{array}$$ Comme $\text{e}^{ \frac{ 5,14}{8}}\approx 1,901$ Une distance de la machine d’au moins 1,91 m permet à un ouvrier de l’entreprise sortir de la zone de risque élevé.

Partie C

On s’intéresse au lien entre la puissance $P$ d’un bruit et la distance $D$ de sa source pour différentes valeurs de son niveau sonore $N$.

On admet que pour une puissance de 0,02 Watt, le niveau sonore du bruit est de 74,9 décibels à une distance de 11 mètres de la source sonore. Ainsi, le point A de coordonnées (0,02; 11) appartient à la courbe $\mathcal{C}_N=74,9$.

1. Pour un bruit de puissance $P$ égale à 0,06 W, déterminer graphiquement à quelles distances minimale et maximale de la source peut se situer une personne pour que le niveau sonore $N$ soit compris entre 85 et 90 dB.
Pour un bruit de puissance $P$ égale à 0,06W, on lit (trait vertical en 0,06) une distance minimale de 3m et maximale de 5,4m de la source que peut se situer une personne pour que le niveau sonore $N $soit compris entre 85 et 90 dB.
2. Pour une source sonore située à une distance $D$ de 8 m, déterminer graphiquement les puissances minimale et maximale de cette source pour obtenir un niveau sonore compris entre 74,9 dB et 79,8 dB.
Pour une source sonore située à une distance $D$ de 8 m, on lit (trait horizontal en 8) une puissance minimale de 0,011W et maximale de 0,036W de cette source pour obtenir un niveau sonore compris entre 74,9 dB et 79,8 dB.

 

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Exercice 4 4 points


Probabilités

Un industriel commercialise des portes blindées. Il projette de lancer un nouveau modèle de portes blindées : les portes « SECUR ». Équipées d’un digicode et d'une caméra, elles seront donc plus sécurisées que celles déjà existantes sur le marché. Les résultats seront arrondis à 10$^{-4}$ près.

Partie A

Avant de débuter son projet, l’industriel s’intéresse à une étude portant sur le prix de vente des portes blindées classiques existantes. Le prix de vente, en euros, d'une porte blindée classique est une variable aléatoire $X$ qui suit la loi normale d’espérance $\mu = 3\;000$ et d’écart type $\sigma = 750$.

1. Déterminer la probabilité $P(1\;500 \leqslant X \leqslant 4\;500)$.
2. Déterminer la probabilité qu'une porte blindée classique coûte plus de $2\;500$ euros.
3. 1. Recopier et compléter le tableau suivant où $a$ désigne un nombre entier naturel. $$\begin{array}{|c|c|} \hline a & P(X\leqslant a)\\ \hline 3\; 950 & 0,897\;4\\ \hline 3\; 960 & \\ \hline 3\; 970& \\\hline \end{array}$$
   2. Déterminer le montant minimal, à l’euro près, tel qu’au moins 90% des portes blindées classiques aient un prix de vente inférieur à ce montant.
   3. L’industriel estime que le prix de vente du modèle de porte blindée équipée « SECUR » ne devra pas dépasser de plus de 15% le montant minimal précédent. Quel prix de vente maximal M, à l’euro près, peut-il envisager pour une porte du modèle « SECUR » ?

Partie B

L’industriel envisage de commercialiser les portes blindées de modèle « SECUR » au tarif $M$ déterminé précédemment. Il souhaite estimer la proportion de personnes susceptibles d'acheter son nouveau modèle. Une enquête est réalisée sur un échantillon de 984 personnes intéressées par l’achat d’une porte blindée. Sur cet échantillon, 123 personnes se disent favorables à l'achat du modèle « SECUR ».

1. Déterminer l'intervalle de confiance, au niveau de confiance 95%, de la proportion de personnes favorables à l’achat du nouveau modèle. On rappelle que pour une fréquence $f$ observée dans un échantillon de taille $n$, l’intervalle de confiance au niveau de confiance 95% de la proportion $p$ du caractère étudié dans la population est donné par : $$\left [f-1,96\sqrt{\dfrac{f\left (1-f\right )}{n}};f+1,96\sqrt{\dfrac{f\left (1-f\right )}{n}}\right ].$$
2. Pour que l’industriel prenne le risque d’investir dans les portes « SECUR », il faudrait qu’au minimum 20% des personnes souhaitant s'équiper d’une porte blindée soient favorables à ce nouveau modèle. A-t-il intérêt à réaliser son projet?

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Exercice 4 4 points


Probabilités

Un industriel commercialise des portes blindées. Il projette de lancer un nouveau modèle de portes blindées : les portes « SECUR ». Équipées d’un digicode et d'une caméra, elles seront donc plus sécurisées que celles déjà existantes sur le marché. Les résultats seront arrondis à 10$^{-4}$ près.

Partie A

Avant de débuter son projet, l’industriel s’intéresse à une étude portant sur le prix de vente des portes blindées classiques existantes. Le prix de vente, en euros, d'une porte blindée classique est une variable aléatoire $X$ qui suit la loi normale d’espérance $\mu = 3\;000$ et d’écart type $\sigma = 750$.

1. Déterminer la probabilité $P(1\;500 \leqslant X \leqslant 4\;500)$.

2ND DISTR 2NORMALFRép( \1 , \2,\3,\4)EXE
Avec une calculatrice de type TI

$$NormalFR\text{é}p(\1,\2,\3,\4) \approx \5$$

$$P(\1 \leq \6 \leq \2)\approx \5 \text{ à } 10^{-\7} \text{ près.}$$

 

On peut également remarquer que $1500= 3000-2\times 750= \mu-2\sigma$ et $4500= 3000+2\times 750= \mu+2\sigma$
On sait d'après le cours que $P(\mu -2\sigma\leq X\leq \mu +2\sigma)\approx 0,954$
2. Déterminer la probabilité qu'une porte blindée classique coûte plus de $2\;500$ euros.

 

2ND DISTR 2NORMALFRép( $\1$ , $10^{99}$,\2,$\3$)EXE
Avec une calculatrice de type TI

$$NormalFR\text{é}p(\1,10^{99},\2,\3) \approx \4$$

$$P( \5 \geq \1)\approx \4 \text{ à } 10^{-\6} \text{ près.}$$
3. 1. Recopier et compléter le tableau suivant où $a$ désigne un nombre entier naturel. $$\begin{array}{|c|c|} \hline a & P(X\leqslant a)\\ \hline 3\; 950 & 0,897\;4\\ \hline 3\; 960 & \\ \hline 3\; 970& \\\hline \end{array}$$
   $$\begin{array}{|c|c|} \hline a & P(X\leqslant a)\\ \hline 3\; 950 & 0,897\;4\\ \hline 3\; 960 &0,899\;7 \\ \hline 3\; 970&0,902\;1 \\\hline \end{array}$$
   
   2. Déterminer le montant minimal, à l’euro près, tel qu’au moins 90% des portes blindées classiques aient un prix de vente inférieur à ce montant.
   Grâce à la calculatrice on obtient $P(X\leq3962)\approx0,9002 $
   Ou on cherche le montant minimal $a$ tel que $P(X\leq a)=0,9$.

   2ND DISTR 2Fracnormale( \1 , \2, \3 )EXE
   Avec une calculatrice de type TI $FracNormale(\1,\2,\3) \approx \4$

   $$\Pi_{\2,\3}^{-1}(\1)\approx \4 \text{ à } 10^{-\5} \text{ près.}$$

    

   3. L’industriel estime que le prix de vente du modèle de porte blindée équipée « SECUR » ne devra pas dépasser de plus de 15% le montant minimal précédent. Quel prix de vente maximal M, à l’euro près, peut-il envisager pour une porte du modèle « SECUR » ?
   Le prix de vente maximal $M$, à l’euro près, qu’il peut envisager pour une porte du modèle « SECUR » est alors $3962\times 1,15 = 4556$ euros.

Partie B

L’industriel envisage de commercialiser les portes blindées de modèle « SECUR » au tarif $M$ déterminé précédemment. Il souhaite estimer la proportion de personnes susceptibles d'acheter son nouveau modèle. Une enquête est réalisée sur un échantillon de 984 personnes intéressées par l’achat d’une porte blindée. Sur cet échantillon, 123 personnes se disent favorables à l'achat du modèle « SECUR ».

1. Déterminer l'intervalle de confiance, au niveau de confiance 95%, de la proportion de personnes favorables à l’achat du nouveau modèle. On rappelle que pour une fréquence $f$ observée dans un échantillon de taille $n$, l’intervalle de confiance au niveau de confiance 95% de la proportion $p$ du caractère étudié dans la population est donné par : $$\left [f-1,96\sqrt{\dfrac{f\left (1-f\right )}{n}};f+1,96\sqrt{\dfrac{f\left (1-f\right )}{n}}\right ].$$
La fréquence des personnes intéressées par l’achat d’une porte blindée de modèle « SECUR » est $$f=\dfrac{123}{984}=\dfrac{1}{8}=0,125=12,5\%$$

La fréquence est égale à  $\1$. La taille $n$ de l'échantillon considéré est égale à  $\2.$
Comme  $ n =\2$ ,   $n \times \8  $=\3  et $n\times (1-\8)=\4,$ les conditions d'utilisation d'un intervalle de confiance sont réunies.

En effet on a bien : $$n \geq 30\;;\; n \times \8 \geq 5 \text{ et } n\times (1-\8) \geq 5$$

L' intervalle de confiance avec un niveau de confiance de 95% est : \[\9 = \left[\8 - 1,96\sqrt{\dfrac{\8(1 - \8)}{n}}~;~\8 + 1,96\sqrt{\dfrac{\8(1 - \8)}{n}} \right]\]
La fréquence est $\8=\1$.
L'intervalle de confiance au niveau de 95% est \[\9 = \left[\1 - 1,96\sqrt{\dfrac{\1 (1 - \1 )}{\2}}~;~\1 + 1,96\sqrt{\dfrac{\1 (1 - \1 )}{\2}} \right]\approx[\5~;~\6]\] 

2. Pour que l’industriel prenne le risque d’investir dans les portes « SECUR », il faudrait qu’au minimum 20% des personnes souhaitant s'équiper d’une porte blindée soient favorables à ce nouveau modèle. A-t-il intérêt à réaliser son projet?
Comme 20%= 0,2 n’est pas situé dans l’intervalle précédent, l’industriel n’a pas intérêt à réaliser son projet.