Baccalauréat STI2D et STL spécialité SPCL Antilles-Guyane 19 juin 2018 - Correction Exercice 3

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Correction de l'exercice 3 (5 points)

Suites

Une éolienne est un générateur qui produit du courant électrique à partir de l'énergie cinétique du vent. Une entreprise européenne réalise la conception, la fabrication, la vente, l'installation ainsi que l'exploitation et la maintenance de ses éoliennes. Son service de presse a publié un article en janvier 2017 dont voici un extrait: « Une de nos usines située en Espagne, en exploitation depuis 2001, a produit au total plus de $40\;000$ pales d'éoliennes de 2001 à 2016, pales qui ont été exportées vers cinq continents. »
On dispose également des données suivantes sur la production de l'usine espagnole considérée. $$\begin{array}{|c|c|} \hline \text{Année } &\text{Quantité de pales produites pendant l'année}\\ \hline 2001 &800\\ \hline 2008 &2002\\ \hline \end{array}$$

Partie A

Le but de cette partie est de trouver une suite modélisant au mieux la production des pales d'éoliennes de l'usine espagnole depuis 2001. On étudie deux modélisations.

1. Dans cette question, on se propose de modéliser le nombre de pales produites par l'usine espagnole pendant l'année $2001 + n$, où $n$ est un entier naturel, par la valeur arrondie à l'entier le plus proche de $u_n$ où $u_n = 800 + 578\ln (n + 1)$.
   1. Vérifier que cette suite satisfait aux données du tableau précédent.
      • L'année 2001 correspond à $n=0$ et $u_0=800+578\ln(1)=800$.
      • L'année 2008 correspond à $n=7$ et $u_7=800 + 578\ln(8)$ qui a pour valeur arrondie à l'unité près $ 2002 $.
   2. On considère l'algorithme suivant : $$\begin{array}{|ll|}\hline S \gets 0 \\ \text{ Pour } i \text{allant de } 0 \text{ à } 15 \\ \hspace{0.5cm}| S \gets S + \text{ ARRONDI }(800 + 578\ln (i + 1)) \\ \text{Fin Pour }\\ \hline \end{array}$$ On précise que ARRONDI$(x)$ signifie: calculer la valeur arrondie de $x$ à l'entier le plus proche. Une fois l'algorithme exécuté, $S$ contient la valeur $30\;529$. Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
   D'après ce modèle, il n'y a eu que $30529$ pales produites entre 2001 et 2016 alors que le service de presse de l'entreprise en annonce « plus de 40000 ».
   La variable $S$ donne le nombre total de pales produites pour $n$ compris entre 0 et 15, c'est-à-dire entre 2001 et 2016.
   3. La suite $\left(u_n\right)$ peut-elle modéliser la production des pales d'éoliennes de l'usine espagnole depuis 2001 ? Justifier la réponse.
   La suite $\left(u_n\right)$ ne peut donc pas modéliser la production des pales d'éoliennes de l'usine espagnole depuis 2001.
2. On examine maintenant une modélisation de la production par la suite géométrique $\left(v_n\right)$ de premier terme $v_0 = 800$ et de raison $q = 1,14$.
   1. Exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
   $v_n=v_0\times q^n = 800\times 1,14^{n}$
   2. Calculer $v_7$. On donnera le résultat arrondi à l'unité.
   $v_7=800\times 1,14^{7} \approx 2002 $ (à l'unité près).
   3. On rappelle que la somme des premiers termes consécutifs d'une suite géométrique de premier terme $v_0$ et de raison $q \neq 1$ est donnée par : \[v_0 + v_1 + \ldots + v_n = v_0 \times \dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q}.\] Calculer $v_0 + v_1 + \ldots + v_{15}$. On donnera le résultat arrondi à l'unité.
   $v_0 + v_1 + \ldots + v_{15} = v_0 \times \dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q} = 800 \times \dfrac{1-1,14^{16}}{1-1,14}$ a pour valeur arrondie à l'unité $ 40784 $.
   4. Peut-on modéliser par la suite $\left(v_n\right)$ la production, depuis 2001, de pales d'éoliennes de l'usine espagnole ? Justifier la réponse.
      • Le service de presse avait annoncé » plus de 40000 « pales produites entre 2001 et 2015. La modélisation par la suite $\left(v_n\right)$ en prévoit 40784 .
      • De plus pour 2001, $v_0=800$ et pour 2008, $v_7= 2002 $ donc la suite $\left(v_n\right)$ satisfait aux données du tableau.
   On peut donc modéliser par la suite $\left(v_n\right)$ la production, depuis 2001, de pales d'éoliennes de l'usine espagnole.

 

Partie B

L'entreprise gère aussi la réparation des pales sur leur lieu d'utilisation. On estime que la durée de vie d'une pale, exprimée en années, avant la première réparation, est une variable aléatoire $X$ qui suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda = 0,125$. Pour chaque question, donner le résultat arrondi à $10^{-3}$.

1. Calculer $P(0 \leqslant X \leqslant 5)$.
$P(X \leqslant a) = \displaystyle\int_{0}^{a} \lambda \text{e}^{-\lambda t} \text{d} t = 1-\text{e}^{- \lambda a}$ Donc $P(0 \leqslant X \leqslant 5) = 1-\text{e}^{-0,125 \times 5} = 1-\text{e}^{0,625} \approx 0,465$.
2. Calculer la probabilité qu'une pale n'ait pas eu de réparation au cours des dix premières années.
La probabilité qu'une pale n'ait pas eu de réparation au cours des dix premières années est $P(X>10) = 1-P(X\leqslant 10) = 1-\left ( 1-\text{e}^{-0,125\times 10}\right ) = \text{e}^{-1,25} \approx 0,287$.
3. Déterminer la durée de vie moyenne d'une pale avant la première réparation.
La durée de vie moyenne d'une pale avant la première réparation est, en années, $E(X) = \dfrac{1}{\lambda} = \dfrac{1}{0,125} = 8$.