Métropole—La Réunion STI2D & STL 6 septembre 2018

Exercice 1 4 points

QCM

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte.
Aucune justification n'est demandée. Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l'absence de réponse à une question ne rapportent ni n'enlèvent de point.
Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse correspondante choisie.

1. Une forme exponentielle du nombre complexe $- 3 + \text{i}\sqrt{3}$ est :
   
   1. $- 2 \sqrt{3}\text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{6}}$
   2. $2\sqrt{3}\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{6}}$
   3. $2 \sqrt{3}\text{e}^{\text{i}\frac{5\pi}{6}}$
   4. $\sqrt{12}\text{e}^{- \text{i}\frac{5\pi}{6}}$
2. On considère le nombre complexe $z = \dfrac{1}{2}\text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{4}}$. Le nombre $z^2$ est :
   1. un nombre réel
   2. un nombre complexe de partie réelle nulle
   3. un nombre complexe de module 1
   4. un nombre complexe de partie imaginaire positive
3. Une variable aléatoire $T$ suit la loi uniforme sur un intervalle de la forme $[2~;~x]$, où $x$ est un réel strictement supérieur à 2. Sachant que $P(2 \leqslant T \leqslant 3) = \dfrac{1}{4}$, la valeur de $x$ est :
   
   1. 2,25
   2. 6
   3. 8
   4. 10
Sur le graphique ci-dessous, la surface grisée est délimitée par la courbe d'équation $y = \dfrac{1}{x}$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x = \text{e}$ et $x = a$, où $a$ est un réel strictement supérieur à e. La surface grisée a une aire strictement comprise entre 1 et $1,5$ unité d'aire lorsque $a$ est égal à:
1. 2e
2. $2\text{e}^2$
3. 3e
4. $\text{e}^2$

Correction de l'exercice 1 (4 points)

QCM

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte.
Aucune justification n'est demandée. Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l'absence de réponse à une question ne rapportent ni n'enlèvent de point.
Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse correspondante choisie.

1. Une forme exponentielle du nombre complexe $- 3 + \text{i}\sqrt{3}$ est :
   
   1. $- 2 \sqrt{3}\text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{6}}$
   2. $2\sqrt{3}\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{6}}$
   3. $2 \sqrt{3}\text{e}^{\text{i}\frac{5\pi}{6}}$
   4. $\sqrt{12}\text{e}^{- \text{i}\frac{5\pi}{6}}$
$z= - 3 + \text{i}\sqrt{3}$ $$\begin{array}{cc} \text{ Module} & \text{ Argument }\\ \begin{array}{rl|rl} |z |&=\sqrt{a^2+b^2} \\ & =\sqrt{ 3^2+\sqrt{3}^2}\\ &=\sqrt 12\\ &= 2\sqrt 3 \end{array}& \left\lbrace \begin{array}{l} \cos \theta=\frac{a}{r}~=\frac{-3}{2\sqrt 3}= -\frac{\sqrt 3}{2}\\ ~\sin \theta=\frac{b}{r}~= \frac{\sqrt 3}{2\sqrt 3}= \frac{1}{2} \end{array} \right.\\ &\text{ Donc } \theta = \frac{5\pi}{6} \text{ convient } \end{array}$$ $$z= - 3 + \text{i}\sqrt{3}= 2\sqrt 3 \left(\cos\left( \frac{5\pi}{6} \right) +i\sin \left( \frac{5\pi}{6} \right) \right)= 2 \sqrt{3}\text{e}^{\text{i}\frac{5\pi}{6}}$$ La bonne réponse est c. Une forme exponentielle du nombre complexe $- 3 + \text{i}\sqrt{3}$ est $2 \sqrt{3}\text{e}^{\text{i}\frac{5\pi}{6}}$.
2. On considère le nombre complexe $z = \dfrac{1}{2}\text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{4}}$. Le nombre $z^2$ est :
   1. un nombre réel
   2. un nombre complexe de partie réelle nulle
   3. un nombre complexe de module 1
   4. un nombre complexe de partie imaginaire positive
$$\begin{array}{rl} z^2&= \left ( = \dfrac{1}{2}\text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{4}} \right )\\ &= \dfrac{1}{4}\text{e}^{-\text{i}\frac{2\pi}{4}} \\ &= \dfrac{1}{4}\text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{2}} \\ &= \dfrac{1}{4} \left(\cos\left( \frac{ -\pi}{2} \right) +i\sin \left(-\frac{ \pi}{2} \right) \right) \\ &= \dfrac{1}{4}(0-i) \\ &=-\dfrac{1}{4}i \end{array}$$ La bonne réponse est donc b. $z^2$ est un nombre complexe de partie réelle nulle.
3. Une variable aléatoire $T$ suit la loi uniforme sur un intervalle de la forme $[2~;~x]$, où $x$ est un réel strictement supérieur à 2. Sachant que $P(2 \leqslant T \leqslant 3) = \dfrac{1}{4}$, la valeur de $x$ est :
   
   1. 2,25
   2. 6
   3. 8
   4. 10
$$\begin{array}{ll}P(2 \leqslant T \leqslant 3) = \dfrac{1}{4}&\iff \dfrac{3-2}{x-2} = \dfrac{1}{4}\\ &\iff \dfrac{1}{x-2} = \dfrac{1}{4}\\ &\iff x-2 = 4 \\& \iff x=6 \end{array}$$Réponse b.
4. Sur le graphique ci-dessous, la surface grisée est délimitée par la courbe d'équation $y = \dfrac{1}{x}$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x = \text{e}$ et $x = a$, où $a$ est un réel strictement supérieur à e.
   
   La surface grisée a une aire strictement comprise entre 1 et $1,5$ unité d'aire lorsque $a$ est égal à:
   
   1. 2e
   2. $2\text{e}^2$
   3. 3e
   4. $\text{e}^2$
La surface grisée a une aire $\mathcal A$ égale à $$\begin{array}{ll} \mathcal A&=\displaystyle\int_{\text{e}}^{a} \dfrac{1}{x} \text{d }x = \left [ \ln(x)\strut\right ]_{\text{e}}^{a}\\ &= \ln(a)-\ln(\text{e}) = \ln(a)-1 \end{array}$$ On veut $1< \mathcal{A} < 1,5$ donc $1 < \ln(a) -1 < 1,5$ ce qui équivaut à $2 < \ln(a) < 2,5$. La seule valeur de $a$ qui convienne est $a=3\text{e}$.
Réponse c.

Exercice 2 6 points

Suites

Le benzène est un produit chimique liquide utilisé dans la fabrication de matières plastiques.
À la suite d'un incident le 10 juin 2018, une certaine quantité de benzène a été rejetée dans une rivière qui alimente en partie un bassin servant de base nautique. Les autorités sanitaires doivent s'occuper de la dépollution de la rivière tandis que le responsable de la base nautique s'occupe de celle du bassin. Le benzène flotte à la surface de l'eau. Le responsable de la base nautique prélève un échantillon de liquide selon un protocole établi. Il détermine ainsi la concentration de benzène à la surface du bassin. Celle observée le 10 juin 2018 est de $68$ microgrammes par litre. Le tableau suivant classe la qualité de l'eau selon la concentration de benzène, exprimée en microgrammes par litre ($\mu$g/L), dans un échantillon prélevé à la surface de l'eau. $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline \text{ Concentration de benzène en }\mu g/L&[0~;~0,5[ &[0,5~;~5[ &[5~;~50[ &[50~;~5000[& \geqslant 5000 \\ \hline \text{Qualité de l'eau }&\text{Excellente} &\text{Bonne} &\text{Moyenne }&\text{Médiocre} &\text{Mauvaise}\\ \hline \end{array} $$ La toxicité du benzène par inhalation conduit le responsable à fermer la base nautique afin de préserver la santé des usagers, cette décision entraînant une perte de recette de $750$ euros par jour. La base nautique pourra rouvrir lorsque la qualité de l'eau sera devenue excellente. Le responsable décide d'étudier deux solutions pour dépolluer le bassin : la première consiste à laisser le benzène s'éliminer sans intervention extérieure et la seconde consiste à filtrer l'eau au charbon actif.

Partie A

Élimination du benzène de façon naturelle
Dans cette partie, le responsable étudie l'évolution de la concentration de benzène à la surface du bassin sans intervention extérieure. Il estime que cette concentration diminue de manière naturelle de $7 %$ par jour, notamment par évaporation.

1. 1. Quelle est la qualité de l'eau le 10 juin 2018 ?
   2. Quelle serait la qualité de l'eau le 11 juin 2018 ?
2. Pour tout entier naturel $n$, on note $u_n$ la concentration de benzène, en microgrammes par litre, à la surface du bassin $n$ jours après le 10 juin 2018.
   1. Montrer que la suite $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
   2. Déterminer une expression de $u_n$ en fonction de $n$.
   3. Vérifier que le 15 juin 2018, l'eau deviendrait de qualité moyenne.
   4. Quelle est la limite de la suite $\left(u_n\right)$ ? Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
3. 1. On propose ci-dessous la partie traitement de deux algorithmes. $$ \begin{array}{ |l|l|l|} \hline u \gets 68 && u \gets 68 \\ n \gets 0 && n \gets 0 \\ \text{ Tant que }u \geqslant 0,5 &&\text{Tant que }u < 0,5 \\ u \gets 0,93u && u \gets 0,93u \\ n \gets n+1 && n \gets n+1 \\ \text{Fin Tant que}&&\text{Fin Tant que}\\ \hline\end{array} $$
   2. Déterminer le plus petit entier naturel $n$ vérifiant l'inéquation $68 \times 0,93^n < 0,5$. Indiquer la démarche utilisée.
   3. Interpréter le résultat précédent.
   4. En déduire la perte financière qui résulterait de la fermeture de la base si cette solution était retenue.

 

Partie B

Élimination du benzène par traitement au charbon actif
Un procédé de filtration de l'eau de la base nautique au charbon actif permettrait d'éliminer plus rapidement le benzène présent à la surface du bassin. Le coût total de l'installation est de 20000 euros. Dans cette partie, le responsable étudie cette solution. L'action du filtre commencerait alors le 13 juin 2018. À la mise en service, à l'instant $t = 0$, le responsable estime que la concentration de benzène à la surface du bassin serait de $54,7$ microgrammes par litre. Il choisit de modéliser la concentration de benzène en microgrammes par litre à la surface du bassin, en fonction du temps $t$ exprimé en jours, par une fonction $f$, définie sur $[0~; ~+ \infty[$ et vérifiant l'équation différentielle : \[(E)\qquad y' + \dfrac{1}{4}y = 0\]

1. Résoudre dans l'intervalle $[0~; ~+ \infty[$ l'équation différentielle $(E)$.
2. Justifier que, pour tout $t \geqslant 0$, $f(t) = 54,7\text{e}^{-0,25t}$.
3. Quelle serait la qualité de l'eau $19$ jours après la mise en service du filtre ?

 

Partie C

Comparaison des deux solutions étudiées
Laquelle des deux solutions envisagées est financièrement la plus judicieuse pour la base nautique ?

 

Correction de l'exercice 2 (6 points)

Suites

Le benzène est un produit chimique liquide utilisé dans la fabrication de matières plastiques.
À la suite d'un incident le 10 juin 2018, une certaine quantité de benzène a été rejetée dans une rivière qui alimente en partie un bassin servant de base nautique. Les autorités sanitaires doivent s'occuper de la dépollution de la rivière tandis que le responsable de la base nautique s'occupe de celle du bassin. Le benzène flotte à la surface de l'eau. Le responsable de la base nautique prélève un échantillon de liquide selon un protocole établi. Il détermine ainsi la concentration de benzène à la surface du bassin. Celle observée le 10 juin 2018 est de $68$ microgrammes par litre. Le tableau suivant classe la qualité de l'eau selon la concentration de benzène, exprimée en microgrammes par litre ($\mu$g/L), dans un échantillon prélevé à la surface de l'eau. $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline \text{ Concentration de benzène en }\mu g/L&[0~;~0,5[ &[0,5~;~5[ &[5~;~50[ &[50~;~5000[& \geqslant 5000 \\ \hline \text{Qualité de l'eau }&\text{Excellente} &\text{Bonne} &\text{Moyenne }&\text{Médiocre} &\text{Mauvaise}\\ \hline \end{array} $$ La toxicité du benzène par inhalation conduit le responsable à fermer la base nautique afin de préserver la santé des usagers, cette décision entraînant une perte de recette de $750$ euros par jour. La base nautique pourra rouvrir lorsque la qualité de l'eau sera devenue excellente. Le responsable décide d'étudier deux solutions pour dépolluer le bassin : la première consiste à laisser le benzène s'éliminer sans intervention extérieure et la seconde consiste à filtrer l'eau au charbon actif.

Partie A

Élimination du benzène de façon naturelle
Dans cette partie, le responsable étudie l'évolution de la concentration de benzène à la surface du bassin sans intervention extérieure. Il estime que cette concentration diminue de manière naturelle de $7 %$ par jour, notamment par évaporation.

1. 1. Quelle est la qualité de l'eau le 10 juin 2018 ?
   Le 10 juin 2018 la concentration de benzène est de 68~$\mu$g/L donc la qualité est médiocre.
   2. Quelle serait la qualité de l'eau le 11 juin 2018 ?
   Le 11 juin 2018 la concentration aurait baissé de 7 % donc serait de $68-68\times \dfrac{7}{100}= 63,24$; la qualité de l'eau serait toujours médiocre.
2. Pour tout entier naturel $n$, on note $u_n$ la concentration de benzène, en microgrammes par litre, à la surface du bassin $n$ jours après le 10 juin 2018.
   1. Montrer que la suite $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
   Chaque jour, la concentration diminue de 7 %; diminuer de 7 %, c'est multiplier par $1-\dfrac{7}{100} = 0,93$.
   Donc la suite $(u_n)$ est géométrique de raison $q=0,93$.
   Le 10 juin 2018 la concentration est de 68~$\mu$g/L donc le premier terme de la suite est $u_0=68$.
   2. Déterminer une expression de $u_n$ en fonction de $n$.
   La suite $(u_n)$ est géométrique de raison $q=0,93$ et de premier terme $u_0=68$ donc,
   pour tout entier naturel $n$, $u_n=u_0 \times q^n = 68 \times 0,93^n$.
   3. Vérifier que le 15 juin 2018, l'eau deviendrait de qualité moyenne.
   Le 15 juin 2018 correspond à $n=5$: $u_5 = 68\times 0,93^5 \approx 47,3$.
   Or $47,3 \in [5\,; 50[$ donc le 15 juin 2018 la qualité de l'eau est moyenne.
   4. Quelle est la limite de la suite $\left(u_n\right)$ ? Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
   La suite $(u_n)$ est géométrique de raison $0,93$. Or $0< 0,93 < 1$ donc la suite $(u_n)$ a pour limite 0. Cela signifie qu'au bout d'un certain temps, la concentration en benzène va tendre vers 0 donc que la qualité de l'eau va devenir excellente.
3. 1. On propose ci-dessous la partie traitement de deux algorithmes. $$ \begin{array}{ |l|l|l|} \hline u \gets 68 && u \gets 68 \\ n \gets 0 && n \gets 0 \\ \text{ Tant que }u \geqslant 0,5 &&\text{Tant que }u < 0,5 \\ u \gets 0,93u && u \gets 0,93u \\ n \gets n+1 && n \gets n+1 \\ \text{Fin Tant que}&&\text{Fin Tant que}\\ \hline\end{array} $$
   Dans l'algorithme 2 la condition pour entrer dans la boucle est « $<0,5$»; or la variable $u$ est initialisée à 68 donc on n'entre jamais dans la boucle et l'algorithme 2 affiche la valeur 0 pour $n$. C'est donc l'algorithme 1 qui permet de déterminer le nombre de jours de fermeture avant que la qualité de l'eau soit devenue excellente.
   2. Déterminer le plus petit entier naturel $n$ vérifiant l'inéquation $68 \times 0,93^n < 0,5$. Indiquer la démarche utilisée.
   On résout l'inéquation $68 \times 0,93^n < 0,5$: $$\begin{array}{rll} 68 \times 0,93^n < 0,5 &\iff 0,93^n< \dfrac{0,5}{68}&\\ &\iff \ln\left (0,93^n\right ) <\ln \left ( \dfrac{0,5}{68}\right )& \ln \text{est strictement croissante sur } ]0;+\infty[\\ & \iff n\ln\left (0,93 \right ) <\ln \left ( \dfrac{0,5}{68}\right )& \text{ car } \ln\left (a^n \right )=n\ln a\\ &\iff n> \dfrac{\ln \left ( \dfrac{0,5}{68}\right )}{\ln\left (0,93 \right )}&\text{ car } 0,93 <1 \text{ donc } \ln\left (0,93 \right ) <0\\ \end{array}$$ Grâce à une calculatrice, on obtient $\dfrac{\ln \left ( \dfrac{0,5}{68}\right )}{\ln\left (0,93 \right )}\approx 67,7$.
   Donc le plus petit entier $n$ tel que la concentration soit inférieure à $0,5$ $\mu$g/L est 68.
   3. Interpréter le résultat précédent.
   Donc c'est à partir du $68 $ ième jour après le 10 juin 2018 que la qualité de l'eau sera redevenue excellente.
   4. En déduire la perte financière qui résulterait de la fermeture de la base si cette solution était retenue.
   Si cette solution était retenue, la base serait fermée 67 jours donc la perte financière serait, en euros, de $68 \times 750 = 51000$.

 

Partie B

Élimination du benzène par traitement au charbon actif
Un procédé de filtration de l'eau de la base nautique au charbon actif permettrait d'éliminer plus rapidement le benzène présent à la surface du bassin. Le coût total de l'installation est de 20000 euros. Dans cette partie, le responsable étudie cette solution. L'action du filtre commencerait alors le 13 juin 2018. À la mise en service, à l'instant $t = 0$, le responsable estime que la concentration de benzène à la surface du bassin serait de $54,7$ microgrammes par litre. Il choisit de modéliser la concentration de benzène en microgrammes par litre à la surface du bassin, en fonction du temps $t$ exprimé en jours, par une fonction $f$, définie sur $[0~; ~+ \infty[$ et vérifiant l'équation différentielle : \[(E)\qquad y' + \dfrac{1}{4}y = 0\]

1. Résoudre dans l'intervalle $[0~; ~+ \infty[$ l'équation différentielle $(E)$.
L'équation différentielle $y' + \dfrac{1}{4}y = 0$ est de la forme $y'=ay$ où $a=- \dfrac{1}{4}y$ qui a pour solutions $y=K\text{e}^{at}$ où $K$ est un réel quelconque.
Donc $(E)$ a pour solutions les fonctions $f$ définies par $f(t)=K\text{e}^{-0,25t}$ où $K$ est un réel quelconque.
2. Justifier que, pour tout $t \geqslant 0$, $f(t) = 54,7\text{e}^{-0,25t}$.
En $t=0$, la concentration du bassin est de $54,7$ $\mu$g/L donc $f(0)= 54,7$ ce qui équivaut à $K\text{e}^{0} = 54,7$ ce qui donne $K=54,7$. Donc pour tout $t \geqslant 0$,\: $f(t) = 54,7\text{e}^{-0,25t}$.
3. Quelle serait la qualité de l'eau $19$ jours après la mise en service du filtre ?
La concentration de benzène dans l'eau $19$ jours après la mise en service du filtre est $f(19) = 54,7 \text{e}^{-0,25\times 19} \approx 0,47$.
Cela veut dire que 19 jours après la mise en service du filtre, la qualité de l'eau est redevenue excellente.

 

Partie C

$f(18) \approx 0,61$ donc au bout de 18 jours après la mise en service du filtre, l'eau n'est pas de qualité excellente. Elle devient excellente après 19 jours à compter du 13 juin, donc après 22 jours à compter du 10 juin, jour de la pollution 22 jours de fermeture coûtent $22\times 750 = 16500 $ € le coût total de la solution avec filtre est donc $20000 + 16500 = 36500 $ €
La solution avec utilisation d'un filtre à charbon est nettement plus judicieuse que l'autre.

Exercice 3 6 points

Fonctions exponentielles

Une société d'extraction de gravier reçoit une commande de 550000 tonnes de gravier pour la construction d'un tronçon d'autoroute. Pour satisfaire cette commande, elle exploite un nouveau gisement de pierre.
Le responsable a recensé les masses journalières de gravier extraites de ce gisement au cours de son exploitation. La tendance observée et son expérience professionnelle le conduisent à modéliser la masse journalière de gravier extraite, exprimée en tonnes, par la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0~;~600]$ par : \[f(x) = \left(0,2x^2 + 30x\right)\text{e}^{- 0,01x}\] où $x$ désigne le temps écoulé en jours depuis le début de l'exploitation du gisement.

Partie A

 

1. 1. Démontrer que, pour tout $x$ de l'intervalle $[0~;~600]$, \[f'(x) = \left(- 0,002x^2 + 0,1x + 30\right)\text{e}^{- 0,01x}.\]
   2. Vérifier que, pour tout $x$ de l'intervalle $[0~;~600]$, \[f'(x) = 0,002(- x + 150)(x + 100)\text{e}^{- 0,01x}\]
2. 1. Étudier le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle $[0~;~600]$.
   2. Dresser le tableau de variations de $f$ sur l'intervalle $[0~;~600]$.
   3. En déduire au bout de combien de jours la masse journalière de gravier extraite sera maximale. Quelle est alors cette masse maximale, en tonnes ?
3. La courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthogonal est donnée ci-dessous :
   
   Après avoir atteint son maximum, la masse journalière de gravier extraite diminue. Déterminer graphiquement au bout de combien de jours elle deviendra alors inférieure à 1000 tonnes. Répondre avec la précision permise par le graphique.

 

Partie B

Un logiciel de calcul formel a permis d'obtenir les résultats suivants:

1. 1. Que représente le résultat fourni par le logiciel en ligne 2 ?
   2. Une valeur approchée de la masse totale de gravier extraite, en tonnes, entre le début de l'exploitation et le 600 ème jour d'exploitation est donnée par : \[I= \displaystyle\int_0^{600} f(x)\:\text{d}x.\] La commande pourra-t-elle être satisfaite au bout de $600$ jours ?
2. Le responsable du chantier d'extraction estime que la commande sera satisfaite au bout de $400$ jours. Qu'en pensez-vous ? Justifier la réponse par un calcul.

 

Correction de l'exercice 3 (6 points)

Fonctions exponentielles

Une société d'extraction de gravier reçoit une commande de 550000 tonnes de gravier pour la construction d'un tronçon d'autoroute. Pour satisfaire cette commande, elle exploite un nouveau gisement de pierre.
Le responsable a recensé les masses journalières de gravier extraites de ce gisement au cours de son exploitation. La tendance observée et son expérience professionnelle le conduisent à modéliser la masse journalière de gravier extraite, exprimée en tonnes, par la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0~;~600]$ par : \[f(x) = \left(0,2x^2 + 30x\right)\text{e}^{- 0,01x}\] où $x$ désigne le temps écoulé en jours depuis le début de l'exploitation du gisement.

Partie A

 

1. 1. Démontrer que, pour tout $x$ de l'intervalle $[0~;~600]$, \[f'(x) = \left(- 0,002x^2 + 0,1x + 30\right)\text{e}^{- 0,01x}.\]
   Pour tout $x$ de l'intervalle $[0~;~600]$, $f'(x) = \left(0,2\times 2x + 30\right)\text{e}^{- 0,01x} + \left(0,2x^2 + 30x\right) \times (-0,01)\text{e}^{-0,01x}\\ \phantom{f'(x)} = \left ( 0,4 x + 30 -0,002 x^2 -0,3x \right ) \text{e}^{-0,01x}\\ \phantom{f'(x)} = \left(- 0,002x^2 + 0,1x + 30\right)\text{e}^{- 0,01x}$
   2. Vérifier que, pour tout $x$ de l'intervalle $[0~;~600]$, \[f'(x) = 0,002(- x + 150)(x + 100)\text{e}^{- 0,01x}\]
   Pour tout $x$ de l'intervalle $[0~;~600]$, $0,002(- x + 150)(x + 100)\text{e}^{- 0,01x} = 0,002 (-x^2 +150x -100x + 15000 )\text{e}^{-0,01x}\\ \phantom{0,002(- x + 150)(x + 100)\text{e}^{- 0,01x}} = 0,002 (-x^2 +50x + 15000 )\text{e}^{-0,01x}\\ \phantom{0,002(- x + 150)(x + 100)\text{e}^{- 0,01x}} = (-0,002 x^2 +0,1x +30 )\text{e}^{-0,01x}\\ \phantom{0,002(- x + 150)(x + 100)\text{e}^{- 0,01x}} = f'(x)$.
2. 1. Étudier le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle $[0~;~600]$.
   On étudie le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle $[0~;~600]$.
   
   
   2. Dresser le tableau de variations de $f$ sur l'intervalle $[0~;~600]$.
   $f(0)=0$, $f(150)\approx 2008 $ et $f(600) \approx 223$ On dresse le tableau de variations de $f$ sur l'intervalle $[0~;~600]$.
   
   
   3. En déduire au bout de combien de jours la masse journalière de gravier extraite sera maximale. Quelle est alors cette masse maximale, en tonnes ?
   La masse journalière de gravier extraite sera maximale au bout de 150 jours et cette masse maximale sera d'environ $ 2008 $ tonnes.
3. La courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthogonal est donnée ci-dessous :
   
   Après avoir atteint son maximum, la masse journalière de gravier extraite diminue. Déterminer graphiquement au bout de combien de jours elle deviendra alors inférieure à 1000 tonnes. Répondre avec la précision permise par le graphique.
Après avoir atteint son maximum, la masse journalière de gravier extraite diminue. La masse deviendra alors inférieure à 1000 tonnes au bout de 360 jours

 

Partie B

Un logiciel de calcul formel a permis d'obtenir les résultats suivants:

1. 1. Que représente le résultat fourni par le logiciel en ligne 2 ?
   Le résultat fourni par le logiciel en ligne 2 donne une primitive de la fonction $f$. Si on appelle $F$ cette primitive, on a $F(x)= \left(- 20x^2 - 7000 x- 700000 \right)\text{e}^{- 0,01x}$.
   2. Une valeur approchée de la masse totale de gravier extraite, en tonnes, entre le début de l'exploitation et le 600 ème jour d'exploitation est donnée par : \[I= \displaystyle\int_0^{600} f(x)\:\text{d}x.\] La commande pourra-t-elle être satisfaite au bout de $600$ jours ?
   Une valeur approchée de la masse totale de gravier extraite, en tonnes, entre le début de l'exploitation et le 600ème jour d'exploitation est donnée par : $$I= \displaystyle\int_0^{600} f(x) \text{d} x$$
   D'après la ligne 4 du logiciel de calcul formel, $I= \displaystyle\int_0^{600} f(x) \text{d} x \approx 670007 $. Au bout de 600 jours on aura extrait environ 670007 tonnes ce qui est supérieur à 550000 tonnes, ce qui permet d'honorer la commande.
2. Le responsable du chantier d'extraction estime que la commande sera satisfaite au bout de $400$ jours. Qu'en pensez-vous ? Justifier la réponse par un calcul.
La masse extraite au bout de 400 jours est $\displaystyle\int_{0}^{400} f(x) \text{d} x = \left [ F(x) \strut\right ]_{0}^{400} = F(400) - F(0)\\ \hphantom{\displaystyle\int_{0}^{400} f(x) \text{d} x} = \left ( \left(- 20\times 400^2 - 7000 \times 400- 700000 \right)\text{e}^{- 0,01\times 400}\right ) - \left ( \left(- 700000 \right)\text{e}^{0}\right )\\ \hphantom{\displaystyle\int_{0}^{400} f(x) \text{d} x} = - 6700000 \text{e}^{-4} + 700000 \approx 577285 > 550000 $
Donc la commande peut être satisfaite au bout de 400 jours.

 

Exercice 4 : 4 points

Probabilités

 

Les parties A et B sont indépendantes.

Dans cet exercice, sauf mention contraire, on donnera les résultats arrondis à $10^{- 3}$ près.

Partie A

 

1. Lors de la conception d'un avion, les techniciens cherchent à optimiser l'espacement entre les rangées de sièges. L'espace minimal de confort, exprimé en centimètres, pour les jambes d'un passager adulte peut être modélisé par une variable aléatoire $L$ qui suit la loi normale d'espérance $\mu = 55$ et d'écart type $\sigma = 5$. Un passager adulte est choisi au hasard.
   1. Calculer la probabilité que l'espace minimal de confort de ce passager soit compris entre 48 cm et 62 cm.
   2. Calculer la probabilité que l'espace minimal de confort de ce passager soit supérieur à 67 cm.
2. Sur cet avion comportant $334$ sièges, les techniciens fixent l'espace entre deux rangées consécutives à 65 cm. La probabilité qu'un client adulte prenne place confortablement est alors égale à $0,977$. On choisit au hasard un échantillon de $334$ personnes adultes pour prendre place dans cet avion. Le nombre de passagers confortablement installés peut être modélisé par une variable aléatoire $X$.
   1. On admet que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale. Préciser les paramètres de cette loi.
   2. Justifier qu'en moyenne, dans un tel avion, $326$ personnes pourraient s'asseoir confortablement.
   3. Calculer $P(X \geqslant 330)$. Interpréter le résultat.

 

Partie B

Par expérience, la compagnie estime que la probabilité qu'un passager ayant réservé une place se présente à l'embarquement est égale à $0,9$. La compagnie a accepté un nombre $n$ de réservations supérieur ou égal à $335$ pour $334$ sièges disponibles. On suppose par ailleurs que les comportements des passagers sont indépendants les uns des autres. On note $Y$ la variable aléatoire égale au nombre de passagers se présentant effectivement. $Y$ suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $p = 0,9$. Dans le tableau ci-dessous, on donne, pour quelques valeurs de $n$ supérieures à 335, la probabilité $p_n$ qu'il y ait plus de personnes à l'embarquement que de places disponibles. $$ \begin{array}{ |c|c|c|}\hline &A &B\\ \hline 1 &\text{ Nombre } n \text{ de places vendues} & p_n \\ \hline 2 & 353 &0,0006 \\ \hline 3 & 354 &0,0012 \\ \hline 4 & 355 &0,0023 \\ \hline 5 &356 & \\ \hline 6 &357 &0,0070 \\ \hline 7 & 358 &0,0115 \\ \hline 8 & 359 &0,0183 \\ \hline 9 & 360 &0,0280 \\ \hline 10 & 361 &0,0414 \\ \hline 11 & 362 &0,0594 \\ \hline 12 & 363 &0,0826 \\ \hline 13 & 364 &0,1116 \\ \hline 14 & 365 &0,1468 \\ \hline 15 & 366 &0,1883 \\ \hline \end{array} $$

1. Indiquer à $10^{-4}$ près la valeur manquante de la cellule B5 de ce tableau.
2. Combien de billets au maximum la compagnie peut-elle vendre si elle souhaite que le risque d'avoir plus de passagers que de sièges le jour de l'embarquement soit inférieur à $2,5$ % ?

 

Exercice 4 : 4 points

Probabilités

 

Les parties A et B sont indépendantes.

Dans cet exercice, sauf mention contraire, on donnera les résultats arrondis à $10^{- 3}$ près.

Partie A

 

1. Lors de la conception d'un avion, les techniciens cherchent à optimiser l'espacement entre les rangées de sièges. L'espace minimal de confort, exprimé en centimètres, pour les jambes d'un passager adulte peut être modélisé par une variable aléatoire $L$ qui suit la loi normale d'espérance $\mu = 55$ et d'écart type $\sigma = 5$. Un passager adulte est choisi au hasard.
   1. Calculer la probabilité que l'espace minimal de confort de ce passager soit compris entre 48 cm et 62 cm.

   2ND DISTR 2NORMALFRép( \1 , \2,\3,\4)EXE
   Avec une calculatrice de type TI

   $$NormalFR\text{é}p(\1,\2,\3,\4) \approx \5$$

   $$P(\1 \leq \6 \leq \2)\approx \5 \text{ à } 10^{-\7} \text{ près.}$$

    

   La probabilité que l'espace minimal de confort de ce passager soit compris entre 48 cm et 62 cm est $P(48 \leqslant L \leqslant 62) \approx 0,838$.
   2. Calculer la probabilité que l'espace minimal de confort de ce passager soit supérieur à 67 cm.

    

   2ND DISTR 2NORMALFRép( $\1$ , $10^{99}$,\2,$\3$)EXE
   Avec une calculatrice de type TI

   $$NormalFR\text{é}p(\1,10^{99},\2,\3) \approx \4$$

   $$P( \5 \geq \1)\approx \4 \text{ à } 10^{-\6} \text{ près.}$$
   La probabilité que l'espace minimal de confort de ce passager soit supérieur à 67 cm est $P(L > 67) \approx 0,008$.
2. Sur cet avion comportant $334$ sièges, les techniciens fixent l'espace entre deux rangées consécutives à 65 cm. La probabilité qu'un client adulte prenne place confortablement est alors égale à $0,977$. On choisit au hasard un échantillon de $334$ personnes adultes pour prendre place dans cet avion. Le nombre de passagers confortablement installés peut être modélisé par une variable aléatoire $X$.
   1. On admet que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale. Préciser les paramètres de cette loi.
   Les paramètres de cette loi sont $n=334$ et $p=0,977$.
   2. Justifier qu'en moyenne, dans un tel avion, $326$ personnes pourraient s'asseoir confortablement.
   L'espérance mathématique de la variable aléatoire $X$ est $np=334\times 0,977 \approx 326$ donc, en moyenne, dans un tel avion, $326$ personnes pourraient s'asseoir confortablement.
   3. Calculer $P(X \geqslant 330)$. Interpréter le résultat.
   Dans un tel avion, la probabilité qu'au moins 330 personnes puissent s'asseoir confortablement est de $0,051$.

 

Partie B

Par expérience, la compagnie estime que la probabilité qu'un passager ayant réservé une place se présente à l'embarquement est égale à $0,9$. La compagnie a accepté un nombre $n$ de réservations supérieur ou égal à $335$ pour $334$ sièges disponibles. On suppose par ailleurs que les comportements des passagers sont indépendants les uns des autres. On note $Y$ la variable aléatoire égale au nombre de passagers se présentant effectivement. $Y$ suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $p = 0,9$. Dans le tableau ci-dessous, on donne, pour quelques valeurs de $n$ supérieures à 335, la probabilité $p_n$ qu'il y ait plus de personnes à l'embarquement que de places disponibles. $$ \begin{array}{ |c|c|c|}\hline &A &B\\ \hline 1 &\text{ Nombre } n \text{ de places vendues} & p_n \\ \hline 2 & 353 &0,0006 \\ \hline 3 & 354 &0,0012 \\ \hline 4 & 355 &0,0023 \\ \hline 5 &356 & \\ \hline 6 &357 &0,0070 \\ \hline 7 & 358 &0,0115 \\ \hline 8 & 359 &0,0183 \\ \hline 9 & 360 &0,0280 \\ \hline 10 & 361 &0,0414 \\ \hline 11 & 362 &0,0594 \\ \hline 12 & 363 &0,0826 \\ \hline 13 & 364 &0,1116 \\ \hline 14 & 365 &0,1468 \\ \hline 15 & 366 &0,1883 \\ \hline \end{array} $$

1. Indiquer à $10^{-4}$ près la valeur manquante de la cellule B5 de ce tableau.
On cherche une valeur approchée à $10^{-4}$ près de la valeur manquante de la cellule B5 de ce tableau. Dans ce cas, la variable aléatoire $Y$ suit la loi binomiale de paramètres $n=356$ et $p=0,9$.
On cherche $p_{356}=P(Y >334)$; on trouve à la calculatrice $0,0041$. $P(Y> 334)=1-P(Y\leq 334)$.

 

2ND DISTR AbinomFRép( \1 , \2,\3)EXE
Avec une calculatrice de type TI $$binomFR\text{é}p(\1,\2,\3) \approx \4$$

$$P( \5 \leq \3)\approx \4 \text{ à } 10^{-\6} \text{ près.}$$
Puis $p_{356}=P(Y >334)\approx 1-0.9959\approx 0.0041$
2. Combien de billets au maximum la compagnie peut-elle vendre si elle souhaite que le risque d'avoir plus de passagers que de sièges le jour de l'embarquement soit inférieur à $2,5$ % ?
On cherche donc $n$ pour que $p_n <0,025$; d'après le tableau, on peut prendre $n\leqslant 359$. Pour que le risque d'avoir plus de passagers que de sièges le jour de l'embarquement soit inférieur à $2,5$ %, la compagnie doit prendre au maximum $359$ passagers.