Baccalauréat STI2D Métropole - La Réunion - 18 juin 2019 - Correction Exercice 4

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Exercice 4 5 points

Probabilités

Dans cet exercice, les résultats sont à arrondir à 10$^{-3}$ près.
Les trois parties sont indépendantes.

Partie A

Les téléphones portables intègrent des capteurs photographiques de plus en plus évolués. Ces capteurs sont fragiles et ont une durée de vie limitée. La durée de fonctionnement sans panne, exprimée en années, d’un capteur photographique est modélisée par une variable aléatoire $D$ qui suit la loi normale de paramètres $\mu = 4$ et $\sigma = 1,23$.

1. Quelle est la durée moyenne de fonctionnement sans panne d’un capteur photographique?
La durée moyenne de fonctionnement sans panne d’un capteur photographique est donnée par $E(D)=\mu= 4$ années.
2. Déterminer la probabilité $P (3,5 \leq D \leq 4,5)$.

2ND DISTR 2NORMALFRép( \1 , \2,\3,\4)EXE
Avec une calculatrice de type TI

$$NormalFR\text{é}p(\1,\2,\3,\4) \approx \5$$

$$P(\1 \leq \6 \leq \2)\approx \5 \text{ à } 10^{-\7} \text{ près.}$$

 

La probabilité pour que le capteur photographique fonctionne sans panne entre 3 ans 6 mois et 4ans 6 mois vaut environ 0,316.
3. Lors de l’achat d’un téléphone portable, la garantie pièces et main d’oeuvre est de deux ans. Quelle est la probabilité que la durée de fonctionnement sans panne d’un capteur photographique soit inférieure à la durée de garantie ?
On calcule $P(D<2)$ :

2ND DISTR 2NORMALFRép( -10^(99) , \1,$\2$,$\3$)EXE
Avec une calculatrice de type TI

$$NormalFR\text{é}p(-10^{99},\1,\2,\3) \approx \4$$

$$P( \5 \leq \1)\approx \4 \text{ à } 10^{-\6} \text{ près.}$$

Partie B

Lorsqu’un téléphone portable devient défectueux et qu’il est encore sous garantie, le client peut le déposer dans un point de vente agréé pour réparation ou échange contre un appareil neuf.
On s'intéresse au temps d’attente, exprimé en jours, avant le retour de l’appareil, réparé ou échangé. Ce temps peut être modélisé par une variable aléatoire T qui suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda = 0,025$.

1. 1. Déterminer l’espérance $E(T)$ de la variable aléatoire $T$.
   L’espérance de la variable aléatoire $T$ est $E(T)=\dfrac{1}{\lambda}=\dfrac{1}{0,025}=40$.
   
   2. nterpréter cette valeur dans le contexte.
   Le temps d'attente moyen avant le retour de l’appareil, réparé ou échangé est de 40 jours.
2. Un téléphone portable, défectueux et encore sous garantie, a été déposé par un client dans un point de vente agréé.
   1. Calculer la probabilité $P (T \leq 7)$ et interpréter ce résultat.
   La densité de probabilité de $T$ est $f(t)=\lambda \text{e}^{-\lambda .t}$. Donc : $$\begin{array}{rl} P (T \leq 7)&= \displaystyle\int_0^7 \lambda \text{e}^{-\lambda .t}\text{d}t \\ & =\left [ - \text{e}^{-\lambda .t} \right ] _0^7\\ & =- \text{e}^{-7\lambda }-\left (- \text{e}^{0}\right )\\ &=1- \text{e}^{-7\times 0,025 } \\ &\approx 0,161 \\ \end{array}$$ $P(T\leq 7)\approx 0,161$.
   La probabilité pour que ce client attende moins de 7 jours avant le retour de l’appareil, réparé ou échangé vaut environ 0,161.
   2. Calculer la probabilité que le client doive attendre plus de 20 jours avant de récupérer son téléphone portable.
   On calcule ici $P(T\geq 20)$ : $$\begin{array}{rl} P (T \geq 20)&=1-P(T<20)\\ &=1- \displaystyle\int_0^{20} \lambda \text{e}^{-\lambda .t}\text{d}t \\ & =1-\left [ - \text{e}^{-\lambda .t} \right ] _0^{20}\\ & =1-\left ( 1- \text{e}^{-20\lambda } \right )\\ &= \text{e}^{-20\times 0,025 } \\ &\approx 0,607 \\ \end{array}$$ Il y a environ 60,7% de chances que ce client attende plus de 20 jours avant de récupérer son téléphone portable.

Partie C

Un magazine spécialisé souhaite comparer l’efficacité des services après-vente (SA.V) pour les téléphones portables de deux marques A et B. Après une enquête auprès de clients, le magazine obtient les résultats suivants : $$\begin{array}{|c|c|c|} \hline \text{Marque de téléphone}& \text{Nombre de clients du S.A.V ayant répondu à l’enquête}& \text{Nombre de clients indiquant avoir récupéré leur téléphone en moins de 20 jours} \\ \hline A& 120 & 47 \\ \hline B& 92 & 26 \\ \hline \end{array} $$

1. 1. On admet que l’intervalle de confiance, au niveau de confiance 95%, de la proportion de clients ayant récupéré en moins de 20 jours leur téléphone de marque A est [0,304; 0,480].
   Déterminer l’intervalle de confiance, au niveau de confiance 95%, de la proportion de clients ayant récupéré en moins de 20 jours leur téléphone de marque B.

La fréquence est égale à  $\1$. La taille $n$ de l'échantillon considéré est égale à  $\2.$
Comme  $ n =\2$ ,   $n \times \8  $=\3  et $n\times (1-\8)=\4,$ les conditions d'utilisation d'un intervalle de confiance sont réunies.

En effet on a bien : $$n \geq 30\;;\; n \times \8 \geq 5 \text{ et } n\times (1-\8) \geq 5$$

L' intervalle de confiance avec un niveau de confiance de 95% est : \[\9 = \left[\8 - 1,96\sqrt{\dfrac{\8(1 - \8)}{n}}~;~\8 + 1,96\sqrt{\dfrac{\8(1 - \8)}{n}} \right]\]
La fréquence est $\8=\1$.
L'intervalle de confiance au niveau de 95% est \[\9 = \left[\1 - 1,96\sqrt{\dfrac{\1 (1 - \1 )}{\2}}~;~\1 + 1,96\sqrt{\dfrac{\1 (1 - \1 )}{\2}} \right]\approx[\5~;~\6]\] 

2. Au vu des deux intervalles de confiance obtenus, le magazine peut-il indiquer à ses lecteurs qu'il y a une différence significative dans l’efficacité des deux S.A.V ? Justifier la réponse.
On a $IC_A\approx [0,304; 0,480]$ et $IC_B\approx [0,190; 0,375]$.
Les deux intervalles de confiance ne sont pas disjoints. Il n'y a donc pas de différence significative dans l’efficacité des deux S.A.V.