Baccalauréat S Centres étrangers 13 juin 2019 - Correction Spécialité

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Correction de l'exercice de Spécialité 5 points

Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

Le but de cet exercice est d'envisager plusieurs décompositions arithmétiques du nombre 40.

Partie A :

Les questions $1.$, $2.$ et $3.$ sont indépendantes

1. Sans justifier, donner deux nombres premiers $x$, et $y$ tels que $40 = x + y$.
On a $29+11=40$ et les nombres $29$ et $11$ sont deux nombres premiers.

 

$\quad$
1. On considère l'équation $20x + 19 y = 40$, où $x$ et $y$ désignent deux, entiers relatifs. Résoudre cette équation.
On a $20\times 2+19\times 0=40$. Le couple $(2;0)$ est donc solution de l’équation $20x+19y=40$.

 

On considère un couple solution $(x;y)$ de cette même équation.

 

Ainsi $20\times 2+19\times 0=40$ et $20x+19y=40$.

 

Par différence on a $20 (2-x)+19(-y)=0$.

 

Soit $20(2-x)=19y$.

 

$19$ et $20$ sont premiers entre eux.

 

D’après le théorème de Gauss, il existe alors un entier relatif $k$ tel que $y=20k$ et $2-x=19k$

 

Soit $x=2-19k$ et $y=20k$.

 

$\quad$

 

Réciproquement, on considère un entier relatif $k$.

 

$20(2-19k)+19\times 20k=40-380k+380k=40$.

 

Ainsi la solution de l’équation $(20x+19y=40$ est l’ensemble des couples $(2-19k;20k)$ pour $k\in \mathbb Z$.

 

$\quad$
1. Le nombre $40$ est une somme de deux carrés puisque : $40 = 2^2 + 6^2$. On veut savoir si 40, est aussi différence de deux carrés, autrement dit s’intéresser à l'équation $x^2 - y^2 = 40$, où $x$ et $y$ désignent deux entiers naturels.
   1. Donner la décomposition de 40 en produit de facteurs premiers.
   $40=8\times 5=2^3\times 5$
   
   
   $\quad$
   
   
   1. Montrer que, si $x$ et $y$ désignent des entiers naturels, les nombres $x- y$ et $x+ y$ ont la même parité.
   Supposons que $x-y$ soit pair. Il existe alors un entier relatif $k$ tel que $x-y=2k$.
   
   
   $(x-y)+(x+y)=2x$ soit $2k+x+y=2x$.
   
   
   Par conséquent $x+y=2(x-k)$ et $x+y$ est pair.
   
   
   $\quad$
   
   
   Supposons maintenant que $x-y$ soit impair. Il existe alors un entier relatif $k$ tel que $x-y=2k+1$.
   
   
   $(x-y)+(x+y)=2x$ soit $2k+1+x+y=2x$.
   
   
   Par conséquent $x+y=2(x-k)-1$ et $x+y$ est impair.
   
   
   $\quad$
   
   
   $x+y$ et $x-y$ ont donc la même parité.
   
   
   $\quad$
   
   
   1. Déterminer toutes les solutions de l'équation $x^2 - y^2 = 40$ où $x$ et $y$ désignent deux entiers naturels.
   $x^2-y^2=40\iff (x+y)(x-y)=2^3\times 5$.
   
   
   Puisque $5$ et $2^3$ n’ont pas la même parité, on ne peut pas avoir $x+y=5$ et $x-y=2^3$ ou $x+y=2^3$ et $x-y=5$.
   
   
   Pour la même raison, on ne peut pas avoir $x+y=1$ et $x-y=40$ ou $x+y=40$ et $x-y=1$.
   
   
   Les seules possibilités pour les couples $(x+y;x-y)$ sont donc $(4;10)$, $(10;4)$, $(2;20)$ et $(20;2)$.
   
   
   $\begin{cases}x+y=4\\x-y=10\end{cases} \iff \begin{cases}x=7\\y=-3\end{cases}$
   
   
   $\begin{cases}x+y=10\\x-y=4\end{cases} \iff \begin{cases} x=7\\y=3\end{cases}$
   
   
   $\begin{cases} x+y=2\\x-y=20\end{cases} \iff \begin{cases} x=11\\y=-9\end{cases}$
   
   
   $\begin{cases} x+y=20\\x-y=2\end{cases}\iff \begin{cases} x=11\\y=9\end{cases}$
   
   
   $x$ et $y$ devant être des entiers naturels, les solutions de l’équation $x^2-y^2=40$ sont donc les couples $(7;3)$ et $(11;9)$.
   
   
   $\quad$

 

Partie B : « sommes» de cubes

Les questions $1.$ et $2.$ sont indépendantes.
Certains nombres entiers peuvent se décomposer en somme ou différence de cubes d'entiers naturels. Par exemple : \[13 = 4^3 + 7^3 + 7^3 - 9^3 - 2^3\] \[13 = - 1^3 - 1^3 - 1^3 + 2^3 + 2^3\] \[13 = 1^3 + 7^3 + 10^3 - 11^3\] Dans tout ce qui suit, on écrira pour simplifier « sommes» de cubes à la place de « sommes ou différence de cubes d'entiers naturels ». Les deux premiers exemples montrent que 13 peut se décomposer en « somme» de 5 cubes. Le troisième exemple montre que 13 peut se décomposer en « somme» de 4 cubes.

1. 1. En utilisant l'égalité $13 = 1^3 + 7^3 + 10^3 - 11^3$, donner une décomposition de 40 en « somme » de 5 cubes.
   $40=27+13=3^3+1^3+7^3+10^3-11^3$.
   
   
   $\quad$
   
   
   1. On admet que pour tout entier naturel $n$ on a : \[6n = (n+1)^3 + (n - 1)^3 - n^3 - n^3\] En déduire une décomposition de $4$8 en « somme» de 4 cubes, puis une décomposition de 40 en « somme» de 5 cubes, différente de celle donnée en 1. a.)
   On a
   
   
   $\begin{align*} 48&=6\times 8 \\
   
   
   &=(8+1)^3+(8-1)^3-8^3-8^3\\
   
   
   &=9^3+7^3-8^3-8^3\end{align*}$
   
   
   $\quad$
   
   
   Or $40=48-8=9^3+7^3-8^3-8^3-2^3$
   
   
   $\quad$
2. Le nombre 40 est une « somme» de 4 cubes : $40 = 4^3 - 2^3 - 2^3 - 2^3$. On veut savoir si 40 peut être décomposé en « somme» de 3 cubes.
   1. Recopier et compléter sans justifier:
      $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline \text{Reste de la division euclidienne de } n \text{ par } 9 & 0& 1& 2& 3& 4& 5& 6& 7& 8\\ \hline \text{ Reste de la division euclidienne de } n^3 \text{ par } 9&&&&&1&&&&\\ \hline \end{array}$$
   On a :
   
   
   $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline \text{Reste de la division euclidienne de } n \text{ par } 9 & 0& 1& 2& 3& 4& 5& 6& 7& 8\\ \hline \text{ Reste de la division euclidienne de } n^3 \text{ par } 9& 0 &1 & 8& 0 &1 & 8 &0 &1 & 8\\ \hline \end{array}$$ $\quad$
   
   
   1. On déduit du tableau précédent que, pour tout entier naturel $n$, l'entier naturel $n^3$ est congru modulo 9 soit à 0, soit à 1, soit à $-1$. Prouver que 40 ne peut pas être décomposé en « somme» de 3 cubes.
   Or $8\equiv -1~[9]$ donc, pour tout entier naturel $n$ on a $n^3$ est congru modulo $9$ soit à $0$, soit à $1$ soit à $-1$.
   
   
   Par conséquent, la somme de $3$ cubes est congrue modulo $9$ appartient à $\left\{-3;-2;-1;0;1;2;3\right\}$.
   
   
   Mais $40\equiv 4~[9]$.
   
   
   Donc $40$ ne peut pas être décomposé en « somme »de $3$ cubes.
   
   
   $\quad$