BAC S 2016 de Mathématiques : Métropole 20 juin 2016

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Exercice 1 6 points


Commun à tous les candidats

 

Partie A


Une usine fabrique un composant électronique. Deux chaînes de fabrication sont utilisées. La chaîne A produit 40% des composants et la chaîne B produit le reste.
Une partie des composants fabriqués présentent un défaut qui les empêche de fonctionner à la vitesse prévue par le constructeur. En sortie de chaîne A, 20% des composants présentent ce défaut alors qu'en sortie de chaîne B, ils ne sont que 5%.
On choisit au hasard un composant fabriqué dans cette usine. On note :

  • $A$ l'évènement « le composant provient de la chaîne A »
  • $B$ l'évènement « le composant provient de la chaîne B »
  • $S$ l'évènement « le composant est sans défaut »
    1. Montrer que la probabilité de l'évènement $S$ est $P(S) = 0,89$.
    2. Sachant que le composant ne présente pas de défaut, déterminer la probabilité qu'il provienne de la chaîne A. On donnera le résultat à $10^{-2}$ près.

    Partie B

    Des améliorations apportées à la chaîne A ont eu pour effet d'augmenter la proportion $p$ de composants sans défaut.
    Afin d'estimer cette proportion, on prélève au hasard un échantillon de $400$~composants parmi ceux fabriqués par la chaîne A. Dans cet échantillon, la fréquence observée de composants sans défaut est de $0,92$.
    1. Déterminer un intervalle de confiance de la proportion $p$ au niveau de confiance de 95%.
    2. Quelle devrait être la taille minimum de l'échantillon pour qu'un tel intervalle de confiance ait une amplitude maximum de $0,02$ ?

    Partie C

    La durée de vie, en années, d'un composant électronique fabriqué dans cette usine est une variable aléatoire $T$ qui suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda$ (où $\lambda$ est un nombre réel strictement positif). On note $f$ la fonction densité associée à la variable aléatoire $T$. On rappelle que :
    • pour tout nombre réel $x \geqslant 0,\: f(x) = \lambda\text{e}^{-\lambda x}$.
    • pour tout nombre réel $a \geqslant 0,\: p(T \leqslant a) = \displaystyle\int_0^a f(x)\:\text{d}x$.

    1. La courbe représentative $\mathcal{C}$ de la fonction $f$ est donnée ci-dessous.
      1. Interpréter graphiquement $P(T \leqslant a)$ où $a > 0$.
      2. Montrer que pour tout nombre réel $t \geqslant 0 \::\: P(T \leqslant t) = 1 - \text{e}^{- \lambda t}$.
      3. En déduire que $\displaystyle\lim_{t \to + \infty} P(T \leqslant t) = 1$.
    2. On suppose que $P(T \leqslant 7) = 0,5$. Déterminer $\lambda$ à $10^{-3}$ près.
    3. Dans cette question on prend $\lambda = 0,099$ et on arrondit les résultats des probabilités au centième.
      1. On choisit au hasard un composant fabriqué dans cette usine. Déterminer la probabilité que ce composant fonctionne au moins 5 ans.
      2. On choisit au hasard un composant parmi ceux qui fonctionnent encore au bout de 2 ans. Déterminer la probabilité que ce composant ait une durée de vie supérieure à 7 ans.
      3. Donner l'espérance mathématique E($T$) de la variable aléatoire $T$ à l'unité près. Interpréter ce résultat.

    Correction Exercice 1
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