Baccalauréat S Pondichéry 4 mai 2018

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Exercice 1 5 points


Commun à tous les candidats

Les parties A et B peuvent être traitées de façon indépendante.
Dans une usine, un four cuit des céramiques à la température de 1000 ° C. À la fin de la cuisson, il est éteint et il refroidit.
On s'intéresse à la phase de refroidissement du four, qui débute dès l'instant où il est éteint.
La température du four est exprimée en degré Celsius ( °C).
La porte du four peut être ouverte sans risque pour les céramiques dès que sa température est inférieure à $70$ °C. Sinon les céramiques peuvent se fissurer, voire se casser.

Partie A


Pour un nombre entier naturel $n$, on note $T_n$ la température en degré Celsius du four au bout de $n$ heures écoulées à partir de l'instant où il a été éteint. On a donc $T_0 = 1000 $. La température $T_n$ est calculée par l'algorithme suivant : $$ \begin{array}{|cc|}\hline T \gets 1000 \\ \text{ Pour } i \text{ allant de 1 à } n \\ \hspace{1cm} T \gets 0,82 \times T + 3,6 \\ \text{Fin Pour }\\\hline \end{array}$$

  1. Déterminer la température du four, arrondie à l'unité, au bout de $4$ heures de refroidissement.
  2. Démontrer que, pour tout nombre entier naturel $n$, on a : $T_n = 980 \times 0,82^n + 20$.
  3. Au bout de combien d'heures le four peut-il être ouvert sans risque pour les céramiques ?

 

Partie B


Dans cette partie, on note $t$ le temps (en heure) écoulé depuis l'instant où le four a été éteint. La température du four (en degré Celsius) à l'instant $t$ est donnée par la fonction $f$ définie, pour tout nombre réel $t$ positif, par : $$f(t) = a\text{e}^{- \frac{t}{5}} + b, $$ où $a$ et $b$ sont deux nombres réels. On admet que $f$ vérifie la relation suivante : $f'(t) + \dfrac{1}{5}f(t) = 4$.

  1. Déterminer les valeurs de $a$ et $b$ sachant qu'initialement, la température du four est de $ 1000 $ ° C, c'est-à-dire que $f(0) = 1000 $.
  2. Pour la suite, on admet que, pour tout nombre réel positif $t$: $$f(t) = 980\text{e}^{- \frac{t}{5}} + 20.$$
    1. Déterminer la limite de $f$ lorsque $t$ tend vers $+ \infty$.
    2. Étudier les variations de $f$ sur $[0~;~+ \infty[$. En déduire son tableau de variations complet.
    3. Avec ce modèle, après combien de minutes le four peut-il être ouvert sans risque pour les céramiques ?
  3. La température moyenne (en degré Celsius) du four entre deux instants $t_1$ et $t_2$ est donnée par: $\dfrac{1}{t_2 - t_1}\displaystyle\int_{t_1}^{t_2} f(t)\:\text{d}t$.
    1. À l'aide de la représentation graphique de $f$ ci-dessous, donner une estimation de la température moyenne $\theta$ du four sur les $15$ premières heures de refroidissement. Expliquer votre démarche.
    2. Calculer la valeur exacte de cette température moyenne $\theta$ et en donner la valeur arrondie au degré Celsius.
  4. Dans cette question, on s'intéresse à l'abaissement de température (en degré Celsius) du four au cours d'une heure, soit entre deux instants $t$ et $(t + 1)$. Cet abaissement est donné par la fonction $d$ définie, pour tout nombre réel $t$ positif, par : $d(t) = f(t) - f(t + 1)$.
    1. Vérifier que. pour tout nombre réel $t$ positif: $d(t) = 980\left(1 - \text{e}^{- \frac{1}{5}}\right)\text{e}^{- \frac{t}{5}}$.
    2. Déterminer la limite de $d(t)$ lorsque $t$ tend vers $+ \infty$. Quelle interprétation peut-on en donner ?

 

Correction Exercice 1
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