Continuité

Continuité

Définition
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$.
· Soit $a$ un réel appartenant à $I$.
            On dit que $f$ est continue en $a$ , si $\displaystyle\lim_{x \to a}f(x) = f(a)$.
· On dit que $f$ est continue sur $I$, si $f$ est continue en tout point $a$ de $I$.

Remarque

· Dire que $\displaystyle\lim_{x \to a}f(x) = f(a)$ revient aussi à dire que $\displaystyle\lim_{h \to 0}f(a + h) = f(a)$

Exemple 1

· La fonction $x\mapsto x ^2$ est une fonction continue en tout point $a$ de $\mathbb{R}$ , elle est continue sur $\mathbb{R}$

On peut le justifier en démontrant que$\displaystyle\lim_{x \to a} x ^2 = a^ 2$ , c'est-à-dire en démontrant que $x ^2$ est aussi proche que l'on veut de $a ^2 $ lorsqu'on prend $ x $ assez proche de $a$ .

La parabole représentant la fonction $x \mapsto x ^2$ peut être tracée sans lever le stylo de la feuille.

Exemple 2

· Considérons la fonction $x \mapsto E( x )$ appelée fonction "Partie entière" et qui, à tout réel $x$ associe le plus grand entier inférieur ou égal à $x$ .

Ainsi $E(2,5)$ est le plus grand entier inférieur ou égal à 2,5 , donc $E(2,5) = 2 $

De même $E( - 2,4) = - 2 ; E(1,9999) = 1$ et $ E(2) = 2$

Si $n$ est un nombre entier, alors $ E( n ) = n $

et pour tout $x \in [n ; n + 1 [$ , on a $E( x ) = n$

La représentation graphique de la fonction "Partie entière" est donnée ci-dessous.

Cette fonction n'est pas continue en $n$ avec $n \in \mathbb{Z} $

En effet lorsque $x$ est très proche de $n$ par valeurs inférieures, $E( x )$ n'est pas très proche de $ E( n )$.

On a vu par exemple que $E(1,9999) = 1$ et $E(2) = 2 $

"Partie entière" est une fonction dite "en escalier".

La courbe fait "un saut" pour chaque valeur de $x$ entière.

Avec une calculatrice TI89, $E( x)$ est noté int( x) ou $floor( x)$, en français $partEnt( x )$

Avec une calculatrice TI82, $E( x )$ est noté int x

Le tracé doit être fait en mode point (dot), \sinon apparaîtront des lignes verticales qui ne font pas partie de la représentation graphique.

Avec un tableur la fonction "Partie entière" est notée ent() .

Remarques

La démonstration de cette propriété se fait en utilisant les propriétés des limites.

La plupart des fonctions qui seront étudiées seront des fonctions continues.

Convention

Il est convenu que, dans un tableau de variation de fonction, les flèches obliques indiquent que la fonction est continue et strictement monotone .

Exemple 3

Le tableau de variation de la fonction carré ( $f(x) = x^ 2$ ) signifie que la fonction carré est continue et strictement décroissante sur $]-\infty   ;   0]$ et qu'elle est continue et strictement croissante sur $[0   ;   +\infty[$

Ce que l'on peut aussi exprimer sous la forme : L'équation $f(x) = k$ a au moins une solution $c$ comprise entre $a$ et $b$ .

Exemple 4

$f$ définie par $f(x) = x^ 3$ est continue et strictement croissante sur $[0   ;   +\infty[$ ,
$f (1) = 1$ et $f (2) = 8$

Donc pour tout $k \in [ 1   ;   8 ]$ , l'équation $x^ 3 = k$ a au moins une solution dans $[ 1   ;   2 ]$

En particulier l'équation $x ^3 = 5$ a au moins une solution $\alpha$ dans $[ 1   ;   2 ]$ .

De plus,$ f$ étant strictement croissante, si $x > \alpha$ , on a $f(x) > f ( \alpha )$, donc $x ^3 > 5$

et si $x < \alpha$ , on a $f(x) < f ( \alpha )$, donc $x ^3 < 5$ .

Il ne peut donc pas y avoir de solution à l'équation $x^ 3 = 5$, qui soit différente de $\alpha$ .

Donc l'équation $ x^ 3 = 5$ a une solution $\alpha$ unique dans l'intervalle $[ 1   ;   2 ]$ .

Déterminons une valeur approchée de $\alpha$ en utilisant la méthode de dichotomie.

On a $(1+2)/2=3/2=1,5$ ; $ f (1,5) =27/8< 5$ et $f (2) > 5$

Donc 5 est compris entre $f (1,5)$ et $f (2)$.

L'utilisation du théorème des valeurs intermédiaires permet alors d'affirmer que l'équation $x ^3 = 5$ a une solution comprise entre 1,5 et 2 .

Cette solution ne peut être que $\alpha$ . On a donc $1,5 < \alpha < 2$

On a $(1,5+2)/2= 1,75$ ; $f (1,75) = 5,359375$ donc $f (1,75) > 5$ et $f (1,5) < 5 $

Donc 5 est compris entre $f (1,5)$ et $f (1,75)$

L'utilisation du théorème des valeurs intermédiaires permet alors d'affirmer que l'équation $x ^3 = 5$ a une solution comprise entre 1,5 et 1,75 .

Cette solution ne peut être que $\alpha$ . On a donc $1,5 < \alpha < 1,75$

En réitérant le procédé, on obtient des encadrements de $\alpha$ d'amplitude diminuée de moitié à chaque étape.

Cela revient à dire que l'on construit deux suites $u_ n$ et $v_ n$ adjacentes dont la limite est $\alpha$ .

Après 4 étapes supplémentaires, on obtient $\alpha\approx 1,71$ à $10^{ -2}$ près .

Nota : ce réel $\alpha$ est appelé racine cubique de 5 , on note $\alpha =^3\sqrt{5} $

Ce que l'on peut aussi exprimer sous la forme : L'équation $f(x) = k$ a une solution unique $c$ dans $[a ; b]$ .

$f$ une fonction définie, continue et strictement croissante sur $[a ; b]$	$f$ une fonction définie, continue et strictement décroissante sur $[a ; b]$

Remarque

Dans le cas où $f$ est strictement croissante sur $[a ; b]$ , le théorème précédent justifie que :

pour tout $k \in [f(a) ; f(b)]$ , l'équation $f(x) = k$ a une unique solution dans $[a ; b]$ .

On dit que $f$ réalise une bijection de $[a ; b]$ sur $[f(a) ; f(b)]$.

La fonction qui, à tout réel $k$ de $[f(a) ; f(b)]$ associe l'unique réel $c$ de $[a ; b]$ tel que $f(c) = k$ est appelée fonction réciproque de $ f $, elle est notée $f ^{-1}$ .

$f(c) = k$ se traduit alors par $c = f^{ -1} (k) $

Lorsque $f$ est strictement décroissante sur $[a ; b]$ , elle réalise une bijection de $[a ; b]$ sur $[f(b) ; f(a)]$ et on notera de même $f ^{-1}$ sa fonction réciproque.

Remarque

Ce théorème peut s'étendre à une fonction définie, continue et strictement monotone sur un intervalle ouvert éventuellement non borné en utilisant les limites de $f$ aux bornes de cet intervalle.

Par exemple :

Exemple 5

La fonction $f$ définie par $f(x) = x^ 2$ est une fonction définie, continue et strictement croissante sur $[0   ;   +\infty [$ .

On a $f (0) = 0$ et $ \displaystyle\lim_{x \to + \infty}f(x) = +\infty$ .

Pour tout réel $k \in [0   ;   +\infty [$, l'équation $x ^ 2 = k$ a une solution unique dans $[0   ;   +\infty [ $. Cette solution est $\sqrt{k}$

Donc $f $ réalise une bijection de $ [0   ;   +\infty [$ sur $[0   ;   +\infty [$ .

La fonction réciproque de la fonction "carré" est la fonction est la fonction "racine carrée".

Exemple 6

Démontrons que l'équation $\cos x =\dfrac{1}{4}$ une solution unique $\alpha$ dans $[0   ;   \pi ]$ .

On connaît le tableau de variations de la fonction cosinus sur l'intervalle $[0   ;   \pi ]$

La fonction co\sinus est continue et strictement décroissante sur $[0 ;  \pi ] $

On a $-1\leq \dfrac{1}{4}\leq 1$, ce tableau permet donc de justifier que l'équation $\cos x = \dfrac{1}{4}$ a , dans l'intervalle $ [0   ;   \pi ]$ , une solution unique $\alpha$ .

On peut donner une valeur approchée de $\alpha$ par balayage de l'intervalle $[0   ;   \pi ]$ par pas de 0,1

Une calculatrice ou un tableur peut donner les valeurs de $\cos x $ pour $x = 0,1 ; 0,2 ; 0,3$ etc...

On constate alors que $ \cos(1.4)\leq \dfrac{1}{4}\leq \cos(1.3)$

On peut en déduire que $1.3\leq \alpha\leq 1.4$ car la fonction cosinus est strictement décroissante sur $[0   ;   \pi ]$.

De même un balayage de l'intervalle $[ 1,3 ; 1,4 ]$ par pas de 0,01 permettra d'obtenir $1.31\leq \alpha\leq 1.32$

On en déduit que $a \approx 1,31$ à $10^{ -2}$ près par défaut.

Remarque

Les théorèmes précédents permettent de démontrer l'existence d'une ou de plusieurs solutions à une équation, mais il ne permettent pas de déterminer la valeur de ces solutions.

On pourra en donner des valeurs approchées en utilisant la méthode de dichotomie (exemple 4) ou la méthode de balayage (exemple 5).

Exercice 01

Démontrer que l'équation $x^ 3 + 3 x = 5$ a une solution et une seule dans $\mathbb{R}$ .

Donner une valeur approchée à $10^ {-2}$ près de cette solution.

Exercice 02

On donne ci-contre le tableau de variations de $f$.

Quel est le nombre de solutions de l'équation $f(x) = 1 $

(On justifiera le résultat)

Exercice 03

On donne ci-dessus le tableau de variations de $f$.

1°) Quel est le nombre de solutions de l'équation $f(x) = 0$

2°) Quel est le nombre de solutions de l'équation $f(x) = - 5$

(On justifiera les résultats)

Exercice 04

On considère l'équation $(E) : cos x = x$

1°) Montrer que si $x$ est solution de $(E)$ alors $0\leq x\leq\dfrac{\pi}{2} $ .

2°) Montrer que l'équation $(E)$ a une solution unique $\alpha$ dans $\mathbb{R}$ .

3°) Déterminer une valeur approchée de $\alpha$ à $10 ^{-2}$ près par défaut.

Exercice 05

Soit $ (C)$ la courbe représentative de la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = 2 - x^ 2$

et $(C')$ la courbe représentative de la fonction $g$ définie sur $ [0   ;   +\infty [$ par $ g(x) =\sqrt{3x}$ .

Quel est le nombre de points d'intersections de $(C)$ et de $(C')$ ? (Justifier)

Exercice 06

On considère la fonction $h$ définie sur $ [- 1   ;   +\infty [$ par $ h(x) = 2 x - 3 +\sqrt{x+1}$ .

1°) Donner le tableau de variations de $h$ .

2°) En déduire que l'équation $h(x) = 0$ a une solution unique $\alpha$ dans $[- 1   ;   +\infty [$ .

3°) Donner une valeur approchée de $\alpha$ à $ 10 ^{-2}$ près. (Facultatif : donner la valeur exacte de $\alpha$ )

Limite d'une suite et fonction continue

1. Théorème Suites et applications continues

L'idée de ce théorème est que pour que l'on puisse permuter les symboles $f$ et $lim$, il suffit que $f$ soit continue.

Exemples

Exemple 1 : cas où $f$ est continue. Déterminer la limite de la suite $(v_n)$ définie, pour $n \in \mathbb{N} ^{\star}$, par :$ v_n = \sqrt{ n .\sin\left( \dfrac{1}{n}\right)}$

Remarque: Cette suite est bien définie; en effet on a $n \geq 1$ ; ainsi $0<\dfrac{1}{n}\leq 1 $; puis $\sin\left( \dfrac{1}{n}\right)\leq 1$ car $\sin(t)\leq 1$ si $t \in ] 0;1]$.
Ecrivons : $n \sin \left(\dfrac{1}{n}\right)=\dfrac{\sin\left (\dfrac{1}{n}\right )}{\dfrac{1}{n}}$


Or, on sait que $ \displaystyle\lim_{x \to 0}\left(\dfrac{\sin x}{x}\right)=1$
donc : $\displaystyle\lim_{n \to + \infty}\left(\dfrac{\sin\left( \dfrac{1}{n}\right)}{\dfrac{1}{n}} \right)=1$

D'où : $\displaystyle\lim_{n \to + \infty}n\sin\left( \dfrac{1}{n}\right)=1$

Par ailleurs, l'application $x \mapsto \sqrt x $ est continue en 0, par conséquent :
$\displaystyle\lim_{n \to + \infty}\sqrt{n\sin\left( \dfrac{1}{n}\right)}=\sqrt 1 =1$

Exemple 2 : cas où $f$ n'est pas continue. Déterminer la limite de la suite $(v_n$ ) définie, pour $n \in \mathbb{N} ^{\star}$, par : $ v_n = E\left( 1- \dfrac{1}{n}\right)$


On sait que :$ \displaystyle\lim_{n \to + \infty}(1-\dfrac{1}{n})=1$

Malheureusement, la fonction $E$ n'est pas continue en 1. Le théorème précédent ne peut donc s'appliquer... Et la suite $(v_n)$ ne converge pas vers 1 mais vers 0. En effet, pour tout $n \in \mathbb{N} ^{\star}$, on a :
$0 \leq 1 - \dfrac{1}{n} < 1$
Donc, pour tout $n \in\mathbb{N} ^{\star}$ : $E \left(1- \dfrac{1}{n})\right)=0$

La suite $(v_n)$ est donc constante égale à 0. Donc sa limite est 0.

On considère les deux suites $(u_n)$ et $(v_n)$ définies par : $ u_n =\dfrac{1}{\frac{\pi}{2}+2n.\pi}$ et $v_n= \dfrac{1}{-\frac{\pi}{2}+2n.\pi}$

On a :$\displaystyle\lim_{n \to + \infty}u_n=0$ et :$\displaystyle\lim_{n \to + \infty}v_n=0$

Or, $f(u_n) = \sin(\frac{\pi}{2}+2n.\pi)=1$ et$f(v_n) = \sin(-\frac{\pi}{2}+2n.\pi)= -1 $

donc $ \displaystyle\lim_{n \to + \infty}f(u_n) = 1$ et $ \displaystyle\lim_{n \to + \infty}f(v_n) = 1$

Si $f$ était continue en 0, on devrait avoir :

$\displaystyle\lim_{n \to + \infty}f(u_n) =f(0)$
C'est-à-dire : $1 = \lambda$
De même, on devrait avoir :

$\displaystyle\lim_{n \to + \infty}f(v_n) =f(0)$
C'est-à-dire : $-1 = \lambda$
C'est-à-dire : $-1 =1$
D'où une contradiction. Donc$f $ n'est pas continue en 0.

2. un Théorème pour les Suites récurrentes du type $u_n=f(u_n)$

Démonstration:

Soit $(v_n)$ la suite définie par $v_n=f(u_n)$.

Si $\displaystyle\lim_{n \to + \infty}u_n=l$ , alors , $f$ étant continue; $\displaystyle\lim_{n \to + \infty}f(u_n)=f(l)$

Or pour tout entier $n$; on a $v_n=u_{n+1}$ et $\displaystyle\lim_{n \to + \infty}u_{n+1}=l$

d'où l'égalité $l=f(l)$

Exemple 1 : Soit $(u_n)$ la suite définie par $\left\{\begin{array}{ l l } u_0 =& k\\ u_{n+1}=&u_n^2+1 \end{array}\right.$

Si $(u_n)$ converge vers un réel $l$ , alors il vérifie : $l=l^2+1$;

mais l'équation $l^2-l+1=0$ n'a pas de solution dans $\mathbb{R}$; la suite $(u_n)$ ne peut donc pas être convergente.

Exemple2 : Soit $(u_n)$ la suite définie par $\left\{\begin{array}{ l l } u_0 =& 0\\ u_{n+1}=& \dfrac{ 5u_n-24 }{u_n-6} \end{array}\right.$

On montre que pour tout $ n \in \mathbb{N}$ on a : $0\leq u_n\leq 4$.

On a $ u_{n+1}=f(u_n)$ où $ f(x)=\dfrac{5x-24}{x-6}$ ; $ f$ est continue sur $\mathbb{R}-{6}$donc sur $[0;4]$.

donc si $(u_n)$ converge alors sa limite $ l$ est une solution de l'équation $l=f(l)$

$l=f(l) \Leftrightarrow l=\dfrac{ 5l-24 }{l-6}\Leftrightarrow l^2-11l+24=0 \Leftrightarrow l=3 \text{ ou } l=8$

par passage à la limite, ayant $0\leq u_n\leq 4$ on obtient : $ 0 \leq l \leq 4$.

Ainsi si on sait prouver par ailleurs que $ (u_n)$ est convergente alors sa limite ne peut être que $3$.

Exemple3 : Soit $(u_n)$ la suite définie par $\left\{\begin{array}{ l l } u_0 =& k\\ u_{n+1}=& \sqrt{\dfrac{ 1+u_n }{2}} \end{array}\right.$ avec $ k \in ]0;1[ $

On montre que $ (u_n)$ est croissante et majorée; ainsi $ (u_n)$ est convergente . Notons $ l$ sa limite.

De plus , on a $ u_{n+1} =f(u_n)$ où $ f(x)=\sqrt{\dfrac{1+x}{2}}$; $f$ est une fonction continue sur $[-1;+\infty[$.

Donc la limite $ l$ est une solution de l'équation $l=f(l)$

$ l=f(l)\Leftrightarrow l=\sqrt{\dfrac{1+l}{2} }\Leftrightarrow l^2=\dfrac{1+l}{2} \text {(1) et } l\geq 0$

(1) $\Leftrightarrow 2l^2-l-1=0 \Leftrightarrow l=1 \text { ou } l=-\dfrac{1}{2}$

Ayant $u_{n+1}=\sqrt{\dfrac{1+u_n}{2}}$; on a clairement $u_n \geq 0$ puis par passage à la limite: $ \displaystyle\lim_{n \to + \infty}u_n\geq 0$ soit $ l\geq 0$

Conclusion : on exclut $ l=-\dfrac{1}{2}$ et donc $ l=1 $ soit $ \displaystyle\lim_{n \to + \infty}(u_n)= 1$.