Suites, le cours
Chapitre 1 : Les suites numériques
1. Définition d'une suite
1.1. Définition
Une suite numérique est une fonction de $\mathbb{N}$dans $\mathbb{R}$, définie à partir d'un certain rang $n_0 \in \mathbb{N}$.
La notation $\left( u_n \right) $ désigne la suite en tant qu'objet mathématique (que l'on note parfois tout simplement $u$) et $u_n$ désigne l'image de l'entier $n$
(appelé encore terme d'indice $n$ de la suite $\left( u_n \right) $), terme que l'on pourrait noter $u(n)$ mais l'usage en a voulu autrement.
Certaines suites ne sont définies qu'à partir d'un certain rang, comme par exemple :
$u_n = \dfrac{1}{n}$ définie pour $n \in \mathbb{N}^{\star} $ et $v_n =\sqrt{ n - 3}$ définie pour $n\geq 3$.
Notons que le domaine de définition est nécessairement du type $[n_0, +\infty[$ où $n_0 \in \mathbb{N}$. Il faut bien comprendre qu'il y a de multiples façons de définir une suite. Nous en rencontrerons principalement de deux types.
Celles qui sont définies par une "relation de récurrence" et la donnée d'un ou plusieurs termes initiaux comme par exemple $u_{n+2} = u_{n+1} + u_n$ et $u_0 = 0 ; u_1 = 1$ (suite de Fibonacci). Et celles qui sont définies explicitement "en fonction de $n$" comme les deux exemples cités juste au-dessus. Les stratégies pour étudier les suites dépendront justement de leur type.
Techniques fonctionnelles pour les suites de la forme $u_n = f(n)$ et techniques de récurrence pour les suites récurrentes.
2. Sens de variation (ou monotonie) d'une suite
2.1. Définition
Soit $\left( u_n \right) $ une suite de nombres réels. On dit que :
· La suite $\left( u_n \right) $ est croissante (à partir du rang $n_0$) lorsque $u_{n+1}\geq u_n$ pour tout entier $n\geq n_0$.
· La suite $\left( u_n \right) $est strictement croissante (à partir du rang $n_0$) lorsque $u_{n+1} > u_n$ pour tout entier $n\geq n_0$.
· La suite $\left( u_n \right) $ est décroissante (à partir du rang $n_0$) lorsque $u_{n+1}\leq u_n$ pour tout entier $n\geq n_0$.
· La suite $\left( u_n \right) $ est strictement décroissante (à partir du rang $n_0$) lorsque $ u_{n+1}<u_n$ pour tout entier $n\geq n_0$.
· La suite $\left( u_n \right) $ est monotone (à partir du rang $n_0$) si elle est croissante ou décroissante à partir du rang $n_0$.
· La suite $\left( u_n \right) $ est stationnaire s'il existe un entier $n_0$ tel que $ u_n = u_{n+1}$pour tout entier $n\geq n_0$.
· La suite $\left( u_n \right) $ est constante lorsque $ u_n= u_{n+1}$ pour tout entier n du domaine de définition de $\left( u_n \right) $.
Remarques : · Nuance entre suite stationnaire et suite constante :
notons $E$ la partie entière d'un réel (par exemple $E(\pi) = 3$) et $\left( u_n \right) $ la suite définie, pour $n \in \mathbb{N}^{\star}$, par $u_n = E\left( \dfrac{1}{n}\right)$ . On a $u_1 = E(1) = 1, u_2 = E(0,5) = 0$ puis pour tout $n\geq 2, u_n = 0$.
La suite $\left( u_n \right) $ est stationnaire (à partir du rang 2) mais non constante puisque $u_1 = 1$ et $u_2 = 0$.
· Il existe des suites qui sont ni croissantes, ni décroissantes. Par exemple : $u_n = (-1)^n$.
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