Suites, le cours

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4.7. Théorème de la limite monotone

Toute suite croissante et majorée converge. Toute suite décroissante et minorée converge.

Applications :
· La suite $\left( u_n \right) $ définie par $u_n = \displaystyle\sum_{k=1}^n \dfrac{1}{k^2}$ , pour $n\geq 1$ est croissante et majorée (voir plus haut) donc
convergente. (Sa limite est difficile à déterminer, elle vaut $\dfrac{\pi^2}{6} $)
· La suite $\left( u_n \right) $ définie par $u_n =\displaystyle\sum_{k=1}^n \dfrac{1}{k!}$ est croissante et majorée donc convergente. On montrera que sa limite est nombre irrationnel. (Nombre $e$ qui sera défini ultérieurement).

5. Règles opératoires sur les limites d'une suite

 

Soient $(a_n)$ et $(b_n)$ deux suites qui admettent pour limite $a$ et $ b$ ($a$ et $b$ sont des réels ou $+\infty$ ou $-\infty$)

5.1. Cas de la somme :
comment déterminer $\lim\limits_{n \to +\infty} (a_n+b_n)$?

 

$\lim\limits_{n \to +\infty} b_n= \rightarrow $

$\lim\limits_{n \to +\infty} a_n= \downarrow $

$b \in \mathbb{R}$
$+\infty$
$-\infty$
$a \in \mathbb{R}$
$a+b$
$+\infty$
$-\infty$
$+\infty$
$+\infty$
$+\infty$
?
$-\infty$
$-\infty$
?
$-\infty$

 

 

5.2. Cas du produit :

comment déterminer $\lim\limits_{n \to +\infty} (a_nb_n)$?

 

$\lim\limits_{n \to +\infty} b_n= \rightarrow $

$\lim\limits_{n \to +\infty} a_n= \downarrow $

$-\infty$
$b<0$
$0$
$b>0$
$+\infty$
$-\infty$
$+\infty$
$+\infty$
?
$-\infty$
$-\infty$
$a<0$
$+\infty$
$ a b$
$0$
$ab$
$-\infty$
$0$
?
$0$
$0$
$0$
?
$a>0$
$-\infty$
$ab$
$0$
$ab$
$+\infty$
$+\infty$
$-\infty$
$-\infty$
?
$+\infty$
$+\infty$

 

 

 

5.3. Cas du quotient :

comment déterminer $\lim\limits_{n \to +\infty} ((a_n)/(b_n))$?

$\lim\limits_{n \to +\infty} b_n= \rightarrow $

$\lim\limits_{n \to +\infty} a_n= \downarrow $

$-\infty$
$b<0$
$0^-$
$0^+$
$b>0$
$+\infty$
$-\infty$
?
$+\infty$
$+\infty$
$-\infty$
$-\infty$
?
$a<0$
$0$
$ a/ b$
$+\infty$
$-\infty$
$a/b$
$0$
$0$
$0$
$0$
?
?
$0$
$0$
$a>0$
$0$
$a/b$
$-\infty$
$+\infty$
$a/b$
$0$
$+\infty$
?
$-\infty$
$-\infty$
$+\infty$
$+\infty$
?

Les points d'interrogation (?) signalent les cas indéterminés, pour lesquels une étude spécifique doit être menée pour déterminer l'éventuelle limite.
Il faut bien être conscient que tous les résultats de ces tableaux se démontrent. (Tous ne sont d'ailleurs pas évidents).

Donnons quelques unes de ces démonstrations :

Limite de la somme de deux suites convergentes égale à la somme des limites :

Soit $\epsilon \in \mathbb{R}+^{\star}$ .

 

Comme $(a_n)$ converge vers $a$, à partir d'un certain rang $N_1$, on a : $a_n \in ]a - \dfrac{2}{\epsilon}; a + \dfrac{2}{\epsilon}[$; autrement dit : $|a_n-a|<\dfrac{\epsilon}{2}$.
Comme $(b_n)$ converge vers $b$, à partir d'un certain rang $N_2$, on a : $b_n in ]b - \dfrac{2}{\epsilon}; b + \dfrac{2}{\epsilon}[$; autrement dit : $|b_n-b|<\dfrac{\epsilon}{2}$.

On a donc pour $N>max(N_1,N_2)$: $|a_n+b_n-(a+b)|= |a_n-a+b_n-b|\leq |a_n-a|+|b_n-b|\leq \dfrac{\epsilon}{2}+\dfrac{\epsilon}{2}$.

Donc si $N>max(N_1,N_2)$: $|a_n+b_n-(a+b)|\leq \epsilon$, autrement dit :$a_n+b_n \in ]a+b-\epsilon;a+b+\epsilon[$.

Ceci prouve que $(a_n+b_n) $ converge vers $a+b$.

Limite du produit de deux suites convergentes égale au produit des limites :


Soit $\epsilon \in \mathbb{R}+^{\star}$ . L'idée est d'écrire : $a_nb_n - ab = (a_n - a)b_n + (b_n - b)a$
Comme la suite $(a_n - a)$ converge vers 0 et que la suite $(b_n)$ est bornée (puisque convergente), on en déduit (voir
exercice section 4.3) que la suite $((a_n - a)b_n)$ converge vers 0. De même, la suite $((b_n - b)a)$ converge vers 0.
Donc la suite $(a_nb_n)$ converge vers $ab$.
Les autres règles opératoires sur les limites se démontrent aussi. On ne les donne pas toutes ici pour ne pas
alourdir l'exposé.
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