Suites, le cours

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6. Quelques théorèmes de comparaison et d'encadrement

6.1. Comparaison par rapport à une suite divergente
Soient $\left( u_n \right) $ et $(v_n)$ deux suites telles que : pour tout $n, u_n \leq v_n$
· Si $\left( u_n \right) $ diverge vers $+\infty$ alors $(v_n)$ aussi.
· Si $(v_n)$ diverge vers $-\infty$ alors $\left( u_n \right) $ aussi.
Démonstration
Fixons $A \in \mathbb{R}+^{\star}$. Supposons que $\left( u_n \right) $ diverge vers $+\infty$. Alors, à partir d'un certain rang $N$, on a :
$u_n\geq A$; et comme $v_n\geq u_n$, on aura aussi : $v_n\geq A$.
Donc $(v_n)$ diverge vers $+\infty$.
Le deuxième point se démontre de manière analogue.
Exemple 1 :

Étudier la limite de la suite $\left( u_n \right) $ définie, pour tout $n \in \mathbb{N}$, par : $ u_n = 2\cos n + 3 \times(-1)^n - 3n$

On a pour tout $n \in \mathbb{N}$: $-1\leq \cos n\leq 1$ donc $ -2\leq 2 \cos n\leq 2$ . (1)

Par ailleurs , on a  $(-1)^n=\left\lbrace \begin{array}{l} 1 \text{ si } n \text{ est pair. }\\ -1 \text{ si } n \text{ est impair. }\end{array} \right. $; on a donc pour tout $n \in \mathbb{N}$: $-1\leq (-1)^n\leq 1$ donc $ -3\leq 3 \times(-1)^n\leq 3$ .(2)
En ajoutant (1) et (2) on obtient pour tout $n \in \mathbb{N} : u_n \leq 5 - 3n$
Or, $\lim\limits_{n \to +\infty} (5-3n)=-\infty$, d'où :$ \lim\limits_{n \to +\infty} u_n=-\infty$

Exemple 2 :
Étudier la limite de la suite $\left( u_n \right) $ définie par : $u_n = n^4(\cos n - 2)$
Comme $-1 \leq \cos n \leq 1$, on a : $-3 \leq \cos n - 2\leq -1$
Donc   en multipliant par $n^4$ qui est positif, il vient : $u_n \leq -n^4$
Or $\lim\limits_{n \to +\infty} -n^4=-\infty$, d'où :$ \lim\limits_{n \to +\infty} u_n=-\infty$

Exercice :
l'affirmation "une suite qui diverge vers $+\infty$ est nécessairement croissante" est-elle vraie ?
Réponse : non ! Considérer : $u_n = (-1)^ n + n$
On a, pour tout $n \in \mathbb{N}: u_n\geq -1 + n$
Donc, par comparaison : $\left( u_n \right) $ diverge vers $+\infty$
Cependant $\left( u_n \right) $ n'est pas croissante. En effet, pour tout $n \in \mathbb{N}$, on a :
$u_{n+1} - u_n = (-1)^{n+1} + n + 1 - (-1)^n - n = (-1)^{n+1}(1 + 1) + 1 = 2(-1)^{n+1} + 1 =\left\lbrace \begin{array}{l} 3 \text{ si } n \text{ est impair. }\\ -1 \text{ si } n \text{ est pair. }\end{array} \right. $

On a donc prouvé que $u_{n+1} - u_n$est de signe variable.

Donc la suite $\left( u_n \right) $ n'est ni croissante, ni décroissante.

6.2. Théorème d'encadrement ou des "gendarmes"
>Soient $\left( u_n \right) , (v_n)$ et $(w_n)$ trois suites telles que :
· À partir d'un certain rang : $u_n\leq v_n \leq w_n$
· $\left( u_n \right) $et $(w_n)$ convergent vers le même réel $l$.
Alors $(v_n)$ converge vers $l$.

Démonstration :
Notons $N_0$ le rang à partir duquel on a : $u_n\leq v_n \leq w_n$
Soit $I$ un intervalle ouvert centre en $l$. Notons $\epsilon$ son rayon. On a donc $I = ]l - \epsilon, l + \epsilon[$.
Comme $\left( u_n \right) $ converge vers $l$, à partir d'un certain rang $N_1$ on a : $u_n \in I$.
Comme $(w_n)$ converge vers $l$, à partir d'un certain rang $N_2$ on a : $w_n \in I$.
Pour $n\geq max(N0, N1, N2)$, comme $u_n \leq v_n\leq w_n$, on a alors :$ v_n \in I$

 

Bilan : tout intervalle ouvert $I$, centré en $l$, contient tous les termes de la suite $(v_n)$ à partir d'un certain rang (à
savoir $max(N_0, N_1, N_2)$). Donc la suite $(v_n)$ converge bien vers $l$.

Exemple 1 : déterminer la limite de la suite $(v_n)$ définie par :$v_n= \dfrac{3n+5(-1)^n}{2n} $.

Méthode : on encadre $v_n$ .

Pour tout entier $n \in \mathbb{N}+^{\star}$ on a : $-1\leq (-1)^n\leq 1$

Donc en multipliant par $5$ on a $-5\leq 5(-1)^n\leq 5$;

puis en ajoutant $3n$ il vient : $3n-5\leq 3n+5(-1)^n\leq 3n+5$;

enfin en divisant par $2n > 0 $ on obtient : $\dfrac{3n-5}{2n} \leq \dfrac{3n+5(-1)^n}{2n} \leq \dfrac{3n+5}{2n}$

Posons, pour $n \in \mathbb{N}+^{\star}$ :$ u_n =\dfrac{3n-5}{2n}$ et $w_n = \dfrac{3n+5}{2n}$.

On peut écrire $ u_n =\dfrac{3n-5}{2n}=\dfrac{n\left(3-\dfrac{5}{n}\right)}{2n}=\dfrac{\left(3-\dfrac{5}{n}\right)}{2}$ d'où $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n=\dfrac{3}{2}$.
De même on a $w_n =\dfrac{3n+5}{2n}==\dfrac{\left(3+\dfrac{5}{n}\right)}{2}$ d'où $\lim\limits_{n \to +\infty} w_n=\dfrac{3}{2}$.

Les suites $\left( u_n \right) $ et $(w_n)$ convergent vers $\dfrac{3}{2}$ . De plus, pour tout $n \in \mathbb{N}+^{\star}: u_n \leq v_n \leq w_n$.
D'après le théorème des gendarmes, on a donc : $\lim\limits_{n \to +\infty} v_n=\dfrac{3}{2}$.

Exemple 2 : déterminer la limite de la suite $\left( u_n \right) $ définie par :$ u_n =\dfrac{\sqrt{n^2+1}}{n}$ pour $n\geq 1$.
On a : $n^2 < n^ 2 + 1$
En outre, $n^ 2 + 1< ( n + 1)^2$  car  $2n > 2 > 0$
On a donc l'encadrement suivant : $n^2 < n^2 + 1 < (n + 1)^2$
Par passage à la racine (tous les membres sont positifs), il vient :
$n < n^2 + 1 < n + 1$
Puis en divisant par $n$ (positif) : $1 < u_n < 1 + \dfrac{1}{n}$

Comme $\lim\limits_{n \to +\infty} 1=1$ et $\lim\limits_{n \to +\infty} 1+\dfrac{1}{n}=1$ on en déduit (théorème des gendarmes) que $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n=1$

 

6.3. Corollaire
Soient $\left( u_n \right) $ et $(\epsilon_n)$ deux suites telles que :
· Il existe un réel $l $ tel que pour tout $n : |u_n - l| \leq \epsilon_n$
· La suite $(\epsilon_n)$ converge vers 0 : $\lim\limits_{n \to +\infty} \epsilon_n=0$

Alors la suite $\left( u_n \right) $ converge vers $l$.
Démonstration
L'inégalité $|u_n - l|\leq \epsilon_n$ s'écrit encore :$ l - \epsilon_n\leq u_n \leq l+\epsilon_n$
Le théorème des gendarmes permet de conclure.

 


6.4. Théorème Passage à la limite dans une inégalité
Soient $\left( u_n \right) $ et $(v_n)$ deux suites convergentes telles que pour tout entier $n$ : $u_n \leq v_n$ (resp. $u_n < v_n$)
Alors :$ \lim\limits_{n \to +\infty} u_n+\infty)v_n$.

Bien noter que des inégalités strictes deviennent larges par passage à la limite.

 


Démonstration
Nous aurons besoin du lemme suivant :

Lemme : soit $\left( u_n \right) $ une suite positive (ou strictement positive) et convergente. Alors $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n\geq 0$



Démonstration du lemme :
Notons $l$ la limite de $\left( u_n \right) $. Raisonnons par l'absurde. On suppose que $l < 0$.
Posons $\epsilon = -\frac{l}{2}$.
Comme la suite $\left( u_n \right) $ converge, on aura à partir d'un certain rang : $u_n \in ]l - \epsilon ; l + \epsilon[$
En particulier : $u_n < l + \epsilon \leq l-\frac{l}{2}\leq \frac{l}{2}<0$
Ce qui contredit la positivité de $\left( u_n \right) $. Donc $l\geq 0$ et le lemme est démontré.
On en déduit le théorème en appliquant le lemme à la suite $(v_n - u_n)$.

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