Raisonnement par récurrence
Théorème : (principe du raisonnement par récurrence)
Si :
- $n_0 \in \mathbb{N}$ :$\mathcal{P}(n_0)$ (initialisation)
- $\forall p\geq n_0$:$\mathcal{P}(p)\Rightarrow\mathcal{P}(p+1)$ (hérédité)
Alors :
$\forall n\geq n_0,~ \mathcal{P}(n)$
Si :
- La propriété est vraie à patir d'un certain rang $n_0 $ (initialisation)
- Pour tout rang $ p$ plus grand que $ n_0$, la propriété au rang $p$ entraîne la propriété au rang $p+1$. (hérédité)
Alors :
La propriété est vraie pour tout rang $n$ plus grand que $n_0$.
Exercices
Exemple 1: somme des entiers impairs
Exercice 1 : On considère la suite $(u_n)$ définie pour $n\geq1$ par :$$u_n=\sum_{k=1}^n (2k-1)$$
Démontrer que $u_n=n^2$.
Exemple 2: somme des carrés
Exercice 2 : Démontrer que :$$ \sum_{k=1}^n k^2=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}.$$
Exemple 3: somme des cubes
Exercice 3 :Démontrer que :$$ \sum_{k=1}^n k^3=\left(\sum_{k=1}^n k\right)^2=\dfrac{n^2(n+1)^2 }{4}.$$
Exemple 4 : inégalité de Bernoulli
Exercice 4 : Démontrer que :$$\forall x \in ]-1;+\infty[, \forall n \in \mathbb{N}, (1+x)^n\geq 1+nx .$$
Exemple 5: Une somme télescopique
Exercice 5 : Démontrer que :$$ \sum_{k=1}^n \dfrac{1}{p(p+1)}=\dfrac{n}{n+1}.$$
Exemple 6: Une dérivée nième
Exercice 6 :Démontrer que :$$ \forall n\in \mathbb{N}, \cos^{(n)}(x)=\cos(x+n\dfrac{\pi}{2}) \text{ et } \sin^{(n)}(x)=\sin(x+n\dfrac{\pi}{2}).$$
Exemple 7: Un produit remarquable
Exercice 7 :Démontrer que :$$ \forall x\in \mathbb{R},\forall n\in \mathbb{N} ~ x^n-a^n=(x-a)(x^{n-1}+ax^{n-2}+...+a^{n-1}).$$
Exemple 8: Arithmétique
Exercice 8 : Démontrer que :$$ \ \forall n\in \mathbb{N} ~ 3^{n+6}-3^n \text{ est divisible par } 7.$$
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