Suites, le cours

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Quelques exemples d'étude de cas indéterminés :

Cas $ \infty- \infty $:

$u_n =\sqrt{ n +1} -\sqrt{ n }$
On écrit : $u_n = \dfrac{\left (\sqrt{ n +1} -\sqrt{ n }\right )\left (\sqrt{ n +1}+\sqrt{ n } \right )}{\left (\sqrt{ n +1}+\sqrt{ n } \right )}= \dfrac{1}{\left (\sqrt{ n +1}+\sqrt{ n } \right )}$

$\left.\begin{array}{l} \lim\limits_{n \to +\infty}\sqrt{n+1}=+\infty\\ \lim\limits_{n \to +\infty} \sqrt{n}=+\infty\end{array}\right\}$ par somme on obtient: $\lim\limits_{n \to+\infty} \left (\sqrt{ n +1}+\sqrt{ n } \right )=+\infty$ puis par inverse :$ \lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{1}{\left (\sqrt{ n +1}+\sqrt{ n } \right )}=0$.

Cas $0 \times \infty$:

$u_n =n \sin\left (\dfrac{1}{n}\right )$; comme $\left.\begin{array}{l} \lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{1}{n}=0\\ \lim\limits_{t \to 0 }~\sin(t)=0 \end{array}\right\}$ par par composée: $\lim\limits_{n \to +\infty} \sin(\dfrac{1}{n})=0$
Par ailleurs $\lim\limits_{n \to +\infty} n=+\infty$, on débouche donc sur la forme indéterminée: $0 \times \infty$.
Pour lever l'indétermination, on écrit :$u_n =\dfrac{\sin\left (\dfrac{1}{n}\right )}{\dfrac{1}{n}}$ $\left.\begin{array}{l} \lim\limits_{n \to +\infty}~\dfrac{1}{n}=O\\ \lim\limits_{t \to 0}~\dfrac{\sin t}{t}=1 \end{array}\right\}$ par composée on obtient: $\lim\limits_{n \to +\infty}n \sin\left (\dfrac{1}{n}\right )=1$

Cas $0 / 0$ :

$ u_n =\dfrac{1-\cos\left (\dfrac{1}{n}\right )}{\dfrac{1}{n}^2}$

L'idée est de partir de la limite suivante : $\lim\limits_{x \to 0}~\dfrac{\sin x}{x}=1$
En conséquence : $\lim\limits_{x \to 0} \left ( \dfrac{\sin x}{x} \right ) ^2=1$.

Or :
$\left ( \dfrac{\sin x}{x} \right ) ^2= \dfrac{\sin^2x}{x^2} = \dfrac{1-\cos^2x}{x^2} =\dfrac{\left (1-\cos x\right )\left (1+\cos x \right )}{x^2} $;

on en déduit donc :$\dfrac{1-\cos x}{x^2} = \dfrac{1}{1+\cos x} \times \left ( \dfrac{\sin x}{x} \right ) ^2$
Ayant $\lim\limits_{x \to 0}\dfrac{1}{1+\cos x}=\dfrac{1}{2}$; on a donc :$\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{1}{1+\cos x} \times \left ( \dfrac{\sin x}{x} \right ) ^2=\dfrac{1}{2}$, puis $\lim\limits_{x \to 0}\dfrac{1-\cos x}{x^2}=\dfrac{1}{2}$

$\left.\begin{array}{l} \lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{1}{n}=0\\ \lim\limits_{x \to 0}\dfrac{1-\cos x}{x^2}=\dfrac{1}{2} \end{array}\right\}$ par composée on obtient: $\lim\limits_{n \to+\infty}\dfrac{1-\cos\left (\dfrac{1}{n}\right )}{\dfrac{1}{n}^2}$

Cas $\dfrac{\infty}{\infty} $ : un exemple a déjà été donné plus haut (section 4.5.)

5.4. Linéarité de la limite

En combinant les résultats sur la somme et le produit (par un scalaire, c'est-à-dire une constante) pour les suites convergentes, on obtient :$ \lim\limits_{n \to+\infty}(au_n + bv_n) = a \lim\limits_{n \to+\infty}u_n + b \lim\limits_{n \to+\infty}v_n $