Suites, le cours

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4.5. Quelques limites de références

Donnons, sans plus tarder, quelques limites de référence :

 

$\lim\limits_{n \to +\infty} \sqrt{n}=+\infty$ $\lim\limits_{n \to +\infty} n^2=+\infty$ $\lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{1}{n}=0$ $\lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{1}{n^2}=0$



Démontrons quelques uns de ces résultats (hors programme)
·$ \lim\limits_{n \to +\infty} \sqrt{n}=+\infty$:

Soit $A \in \mathbb{R}+^{\star}$. Montrons que l'intervalle $]A;+\infty[$ contient tous les nombres $\sqrt{n}$ à partir d'un certain rang.

Comme $A > 0$, on a : $n > A \Rightarrow n > A^ 2$
Posons $N = E(A^2) + 1$. Ainsi, à partir du rang $N$, on a $n \in ]A;+\infty[$, ce qui prouve $ \lim\limits_{n \to +\infty} \sqrt{n}=+\infty$.


· $\lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{1}{n}=0$

Soit $\epsilon \in \mathbb{R}+^{\star}$ et $I = ]-\epsilon, \epsilon[$ (intervalle ouvert centré en 0).
Montrons que $I$ contient tous les nombres $\dfrac{1}{n}$ à partir d'un certain rang.
Or : $0 < \dfrac{1}{n}<\epsilon \Rightarrow n >\dfrac{1}{\epsilon}>0$

Posons $N = E(1/\epsilon) + 1$. Ainsi, à partir du rang $N$, on a $\dfrac{1}{n} \in I$, ce qui prouve $\lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{1}{n}=0$.

Les autres résultats se montrent de manière analogue et il n'est pas intéressant de tous les détailler ici.
Précisons plutôt un résultat plus fort :

 

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle du type $[a, +\infty[$ où $a \in \mathbb{R}^+$ et $\left( u_n \right) $ la suite définie par $u_n = f(n)$
. Si $\lim\limits_{x \to +\infty}f(x)=l$ alors $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n=l$
. Si $\lim\limits_{x \to +\infty}f(x)=+\infty$ alors $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n=+\infty$. Si $\lim\limits_{x \to +\infty}f(x)=-\infty$ alors $ \lim\limits_{n \to +\infty} u_n=-\infty$

 


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