Rédigé par Luc Giraud le 20 juillet 2019. Publié dans Cours en TS.

Suites, le cours

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7. Étude de la convergence des suites géométriques

7.1. Théorème

Soit

$(u_n)$ une suite définie par :

$u_n = a^n$ (avec

$a \in\mathbb{R}$ )

· Si $a \in ]1 ; +\infty[$ alors $\left( u_n \right)$ est divergente (vers $+\infty$ )

· Si $a = 1$ alors $\left( u_n \right)$ est constante (donc convergente vers 1)

· Si $a \in ]-1 ; 1[$ alors $\left( u_n \right)$ est convergente vers 0

· Si $a \in]-\infty ; -1]$ alors $\left( u_n \right)$ n'a pas de limite.

Démonstration : Nous allons utiliser le résultat suivant :

7.2. Lemme Inégalité de Bernoulli

Pour tout réel

$x$ positif et tout entier naturel

$n$ , on a :

$(1+ x)^ n\geq 1 + nx$ .

Remarque : on peut étendre cette inégalité à $x \in ]-1, +\infty[$

Démonstration du lemme :
Soit $x \in \mathbb{R}^+$ . On considère la propriété $P(n)$ définie pour tout $n \in \mathbb{N}$ par : $P(n) : (1+ x)^n\geq 1 + nx$
· On a $P(0)$ puisque $(1 + x)^ 0\geq 1 + 0x$ pour tout $x \in \mathbb{R} ^ (+)$ .
·
Montrons que, pour tout $n \in \mathbb{N}: P(n) \Rightarrow P(n + 1)$
Soit $n \in \mathbb{N}$ . Supposons $P(n) : (1+ x)^ n\geq 1 + nx$
Comme $x > 0$ , on a aussi $1 + x > 0$ . En multipliant l'inégalité ci-dessus par $(1 + x)$ , on obtient :
$(1+ x)^{n+1}\geq (1 + nx)(1 + x)$

Or : $(1 + nx)(1 + x) = 1 + x + nx + n x^2 = 1 + (n + 1)x + n x^2$
Comme $n x^2\geq 0$ , on a : $(1 + nx)(1 + x)\geq 1 + (n + 1)x$
D'où : $(1+ x)^{n+1}\geq 1 + (n + 1)x$
Ce qui est $P(n + 1)$ .
Bilan : on a $P(0)$ et pour tout $n$ de $\mathbb{N} : P(n) \Rightarrow P(n + 1)$

Donc, pour tout $n$ de $\mathbb{N}$ , on a : $P(n): (1+ x)^ n\geq 1 + nx$
Prouvons maintenant le théorème 7.1. :
· Supposons $a \in ]1 ; +\infty[$ . Posons $x = a - 1$ . Alors $x \in ]0 ; +\infty[$ .
D'après l'inégalité de Bernoulli : $a^n = (1+ x)^n\geq 1 + nx$
Or, $\lim\limits_{n \to+\infty} 1 + nx = +\infty$ .
Par comparaison, on en déduit : $\lim\limits_{n \to +\infty} a^n = +\infty$
La suite $\left( u_n \right)$ diverge donc vers $+\infty.$
· Si $a = 1$ , le résultat est évident.
· Supposons maintenant $a \in ]-1 ; 1[$ .
Si $a = 0$ , le résultat est évident.
Si $a \neq 0$ , posons : $a' = \dfrac{1}{|a|}$
Ainsi : $a' \in ]1 ; +\infty[$
D'après le résultat précédent : $\lim\limits_{n \to +\infty} (a')^n=+\infty$

Par passage à l'inverse, nous obtenons : $\lim\limits_{n \to +\infty} |a|^n= 0$
D'où : $\lim\limits_{n \to +\infty} a^n = 0$
La suite $\left( u_n \right)$ converge donc vers 0.
· Supposons $a \in]-\infty ; -1]$ .
Raisonnons par l'absurde : supposons que la suite $(a_ n)$ converge vers un certain entier $l$ .

Soit $I = ]\frac{l}{2};\frac{3l}{2}[$ est un intervalle ouvert centré en $l$ . D'après notre hypothèse, il existe un rang $N$ à partir duquel, on aura : $a_n \in I$
Autrement dit : $l/2< a_n < 0,$ d'où : $0 < (3l/2)$
Et si $n$ est impair alors $a_n < 0$ d'où : $l/2<0$
soit $l < 0$
D'où une contradiction. Donc la suite $(a_n)$ diverge.
·
Étudier la limite de la suite $\left( u_n \right)$ définie par : $u_n = (2 + n)^n$
On sait que pour tout $n \in \mathbb{N}, on a : (2 + n)^ n\geq 2^ n$ .

Or, $\lim\limits_{n \to +\infty} 2^n=+\infty$ (théorème 7.1.), donc la suite $\left( u_n \right)$ diverge vers $+\infty$ .
Soit $\left( u_n \right)$ la suite définie pour $n \in \mathbb{N}$ par : $u_n = 1 + \dfrac{1}{3} + \left(\dfrac{1}{3}\right )^2 + \ldots+ \left(\dfrac{1}{3}\right )^n =\displaystyle\sum_{k=0}^n\left(\dfrac{1}{3}\right )^k$

Chaque terme de la suite $\left( u_n \right)$ est la somme des $(n + 1)$ termes d'une suite géométrique de raison $q = \dfrac{l}{3}$ et de premier terme $P = 1$ . On a donc :
$u_n =\dfrac{1- \text {raison } ^{ \text { Nombre de termes } } }{1- \text {raison }}\times \text { Premier terme }$
On obtient donc
$u_n=\dfrac{1-\left (\dfrac{1}{3}\right)^{n+1}}{1-\dfrac{1}{3}} \times 1= \dfrac{3}{2}\times \left (1-\left (\dfrac{1}{3}\right)^{n+1}\right )$
Or $\lim\limits_{n \to +\infty}\left( \dfrac{1}{3}\right) ^n= 0$ (théorème 7.1.) donc : $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n=\dfrac{3}{2}$ .

Soit $e$ le nombre vu dans l'application 6.7 et $\left( u_n \right)$ la suite définie pour $n\geq 1$ par $u_n = \displaystyle\sum_{k=1}^n e^{-k}$

On a : $\displaystyle\sum_{k=1}^n e^{-k}=\dfrac{1-\left (\dfrac{1}{e}\right)^{n}}{1-\dfrac{1}{e}}= \dfrac{1-\left (\dfrac{1}{e}\right)^{n}}{e-1}$ Mais comme $0 < \dfrac{1}{e}< 1$ on déduit $\lim\limits_{n \to +\infty} \left (\dfrac{1}{e}\right)^{n}=0$ (théorème 7.1.) . On peut donc conclure $\lim\limits_{n \to +\infty} \displaystyle\sum_{k=1}^n e^{-k}=\dfrac{1}{e-1}$

7.3. Généralisation : limite de la somme des termes d'une suite géométrique :

Soit

$q in ]-1 ; +\infty[$ . Alors :

$\lim\limits_{n \to +\infty} sum _(k=0) ^ n q^k={(+\infty text{ si } q>1),(1/(1-q) text{ si } |q|<1):}$

Pour le démontrer, il suffit d'écrire que :

$sum_(k=0)^n q^k=(1-q ^ (n+1))/(1-q)$
puis d'utiliser le théorème 7.1.
Exercice : démontrer que pour tout entier naturel

$a$ non nul et tout réel

$x$ de

$[0 ; 1[$ :

$\lim\limits_{n \to +\infty} \displaystyle\sum_{p=0} ^ n ( - x^a)^ p=\dfrac{1}{1+x^a}$

Solution : on a une somme de termes consécutifs d'une suite géométrique de raison

$- x^a$ :
Donc

$\displaystyle\sum_{p=0} ^ n ( - x^a)^ p= \dfrac{1-(-x^a)^{n+1}}{1-(-x^a)}=\dfrac{1--(-x^a)^{n+1}}{1+x^a}$

Or

$-x^a \in ]-1 ; 1[$ donc :

$\lim\limits_{n \to +\infty}( - x^a)^(n+1)=0$ puis on a :

$\lim\limits_{n \to +\infty}\displaystyle\sum_{p=0}^ n ( - x^a)^ p=\dfrac{1}{1+x^a}$

8. Étude des suites arithmético-géométriques (ou récurrentes linéaires d'ordre 1)

Il s'agit des suites récurrentes définies par : $\left\lbrace \begin{array}{l} u_0 \\ u_{n+1}=a u_n + b\end{array} \right.$ où $a, b \in \mathbb{R}$ .
On constate que si $b = 0$ , la suite $\left( u_n \right)$ est géométrique de raison $a$ ;

si $a = 1$ , la suite $\left( u_n \right)$ est arithmétique de raison $b$ .

Et si $a = 0$ , la suite $\left( u_n \right)$ est stationnaire (à partir du rang 1) égale à $b$ .
Dans la suite, on suppose $a\neq 1$ .
L'objectif est de déterminer une formule explicite (expression de un en fonction de $n$ ) afin, notamment,
d'étudier le comportement asymptotique de la suite $\left( u_n \right)$ .
L'idée de la démarche qui suit est la suivante : si $\left( u_n \right)$ et $(w_n)$ sont deux suites qui vérifient $u_{n+1} = au_n + b$ et $w_{n+1} = aw_n + b$ alors leur différence $v_n$ est une suite géométrique de raison $a$ .
En effet, pour tout $n$ , on a : $v_{n+1} = u_{n+1} - w_{n+1} = a_un + b - aw_n - b = a(u_n - w_n) = av_n$
Il suffit donc de chercher une suite $(w_n)$ la plus simple possible vérifiant la relation $w_(n+1 )= aw_n + b$ . Inutile de chercher bien loin : supposons $(w_n)$ constante. Notons $\beta$
cette constante. On a alors : $a=a \beta +b$ .

Comme $a \neq 1$ , il vient : $\beta= \dfrac{b}{1-a}$

En conséquence, la suite $(v_n)$ définie par $v_n = u_n - \beta$ , où $\beta= \dfrac{b}{1-a}$ , est géométrique de raison $a$ .
On en déduit que pour tout $n : v_n = v_0 a^n = (u_0 - \beta)a^ n$
D'où : $u_n = (u_0 - \beta)a^n + a$

Comme, on connaît le comportement asymptotique des suites géométriques $(a^n)$ , on en déduit celui de $\left( u_n \right)$ :
· Si $u_0 = a$ alors $\left( u_n \right)$ est constante égale à $a$ .
· Si ( $a \in ]-1 ; 1[$ et $u_0 \neq \beta$ ), alors $\left( u_n \right)$ converge vers $\beta$ .
· Si ( $a > 1$ et $u_0\neq \beta$ ), alors $\left( u_n \right)$ diverge vers $+\infty$ (si $u_0 > \beta$ ) ou $-\infty$ (si $u_0 < \beta$ ).
· Si ( $a \leq -1$ et $u_0\neq \beta$ ), alors $\left( u_n \right)$ diverge.

Exemple de mise en oeuvre :

On considère la suite $\left( u_n \right)$ définie par :
$\left\lbrace \begin{array}{l} u_0= 5\\ u_{n+1}=2u_n-3\end{array} \right.$
Exprimer $u_n$ en fonction de $n$ .
On cherche $\beta$ tel que : $\beta = 2 \beta - 3$ , donc $\beta=3$ .
On peut donc écrire : $\left\lbrace \begin{array}{l} u_{n+1}=2u_n-3\\ \beta = 2 \beta - 3\end{array} \right.$
En retranchant membre à membre : $u_{n+1} - \beta = 2\left(u_n - \beta\right)$

La suite $(v_n)$ définie par $v_n = u_n - \beta$ est donc géométrique de raison $q = 2$ ; son terme initial est $v_0 = u_0 - \beta = 2$ .

On a donc, pour tout entier $n : v_n = q^nv_0 = 2^{n+1}$ .
Et finalement : $u_n = v_n + \alpha = 2^{n+1} + 3$ .
(On pouvait aussi démontrer ce résultat par récurrence après l'avoir conjecturé) .