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Suites, le cours

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4.2. Propriété Unicité de la limite

Si (un) converge, alors sa limite l est unique.


Démonstration
Raisonnons par l'absurde. Supposons que la suite (un) admette deux limites distinctes l1 et l2 avec l1<l2.
Notons d=l2l1.
Comme (un) converge vers l1, à partir d'un certain rang N1, tous les termes de la suite sont dans l'intervalle ouvert I1 de centre l1 et de rayon d3 .
De même, comme (un) converge vers l2, à partir d'un certain rang N2, tous les termes de la suite sont dans l'intervalle ouvert I2 de centre l2 et de rayon d3 .
Donc à partir du rang N=max(N1,N2), tous les termes de la suite sont simultanément dans I1 et I2. Or ces deux
intervalles sont disjoints (ils ne se chevauchent pas). Ce qui n'est pas possible.
Ceci prouve l'unicité de la limite.
Illustration : Comment, à partir du rang N1, tous les termes de la suite pourraient-ils se situer dans ces deux "tuyaux" ?

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