Fonction exponentielle

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Définition et premières propriétés

Il existe une unique fonction $exp$,  définie et dérivable sur $\mathbb{R}$,  telle que $exp'=exp$ et $exp(0)=1$.
Cette fonction est la fonction exponentielle . Plus tard, on notera $exp(x)=e^x$.

 

Remarque : On a donc $exp'=exp$ et $exp(0)=1$. L'existence est admise.
(on a tracé la courbe de la fonction exponentielle par la méthode d'Euler TP info ... ).
Pour démontrer le théorème on s'appuie sur :

 

Lemme : Soit $u$ une fonction définie et dérivable sur un intervalle $I$. La fonction $exp(u)$ est dérivable sur $I$ de dérivée $exp(u)'=u'exp(u)$.

(Preuve du lemme ) $exp(u)$ est une fonction composée de la forme $v\circ u$ avec $v=exp$ dérivable sur $\mathbb{R}$ et $u$ dérivable sur $I$ et à valeurs dans $\mathbb{R}$.
Par le théorème de dérivation des fonctions composées, $exp(u)$ est dérivable sur $I$ de dérivée : $exp(u)'=u'\times v'\circ u=u'\times exp(u)$

Pour tout $x\in\mathbb{R},~exp(x)exp(-x)=1$ donc $exp(x)\neq 0$.

 Considérons la fonction $h$ définie sur $\mathbb{R}$ par $h(x)=exp(x)exp(-x)$.

La fonction $x\mapsto -x$ est dérivable sur $\mathbb{R}$, d'après le lemme , $v:x\mapsto exp(-x)$ est aussi dérivable sur $\mathbb{R}$ de dérivée donnée par $v'(x)=-1\times exp'(-x)=-exp(-x)$ pour $x\in\mathbb{R}$.
Comme produit de $exp$ et $v$ dérivables sur $\mathbb{R}$, la fonction $h$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et pour tout $x\in\mathbb{R}$ :
$h'(x)=exp'(x)v(x)+v'(x)exp(x)=exp(x)exp(-x)-exp(-x)exp(x)=0$,
donc $h$ est constante égale à $h(0)=exp(0)exp(-0)=1$.

D'où $h(x)=1$ pour tout $x\in\mathbb{R}$.

En conclusion, pour tout $x\in\mathbb{R},~exp(x)exp(-x)=1$ donc $exp(x)\neq 0$.

ROC (de l'unicité dans le théorème ) Soit $f$ dérivable sur $\mathbb{R}$ et vérifiant $f'=f$ et $f(0)=1$.
On considère la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par \[\displaystyle g(x)=\frac{f(x)}{exp(x)}\]
La fonction $g$ est bien définie et dérivable sur $\mathbb{R}$, puisque $exp$ ne s'annule pas .

\[\text{Pour tout }x\in\mathbb{R},~ g'(x)=\frac{f'(x)exp(x)-exp'(x)f(x)}{exp(x)^2}=\frac{f(x)exp(x)-exp(x)f(x)}{exp(x)^2}=0\]

donc $g$ est constante égale à $g(0)=\frac{f(0)}{exp(0)}=1$.

D'où pour tout $x\in\mathbb{R},~f(x)=exp(x)$.

Ainsi, $exp$ est la seule fonction à satisfaire $exp'=exp$ et $exp(0)=1$.

On définit le nombre $e$ par $e=exp(1)\approx 2{,}718$ .


Soient $ch$ ( cosinus hyperbolique ) et $sh$ ( sinus hyperbolique ) définies sur $\mathbb{R}$ par $\displaystyle ch(x)=\frac{exp(x)+exp(-x)}2$ et $\displaystyle sh(x)=\frac{exp(x)-exp(-x)}2$. Montrer $ch'=sh$ et $sh'=ch$.

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