Baccalauréat STI 2D Métropole septembre 2013 - Correction Exercice 1

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Correction de l'exercice 1 (4 points)

QCM

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n'est demandée.
Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l'absence de réponse à une question ne rapportent ni n'enlèvent aucun point.

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Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse correspondante.

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1. La forme exponentielle du nombre complexe $z = - 5 + 5\mathrm{i}$ est:
   1. $z = 5e^{\mathrm{i}\frac{3\pi}{4}}$
   2. $z = 5\sqrt{2}e^{\mathrm{i}\frac{3\pi}{4}}$
   3. $z = 5e^{- \mathrm{i}\frac{\pi}{4}}$
   4. $z = 5\sqrt{2}e^{- \mathrm{i}\frac{\pi}{4}}$
   • Module : $|z|=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{5^2+5^2}=\sqrt{50}=5\sqrt 2 $
   • Argument: $$\left\{ \begin{array}{l } \cos(\theta)=\dfrac{a}{r}= \dfrac{-5}{5\sqrt 2 }=-\dfrac{\sqrt 2}{2 }\\ \sin(\theta)=\dfrac{b}{r}= \dfrac{5}{5\sqrt 2 }= \dfrac{\sqrt 2}{2 } \end{array} \right.$$
Ainsi $\theta= \dfrac{3\pi}{4}$ convient; on a donc: $$z =\left[5\sqrt 2 ; \dfrac{3\pi}{4}\right] \text{ ou } z =5\sqrt 2 \left [\cos\left ( \dfrac{3\pi}{4}\right )+i\sin\left ( \dfrac{3\pi}{4}\right )\right ]= 5\sqrt 2e^{ i\frac{ 3\pi}{4}}$$
Réponse b .
2. Si $z_{1} = 2\sqrt{2}e^{\mathrm{i}\frac{3\pi}{4}}$ et $z_{2} = \sqrt{2}e^{- \mathrm{i}\frac{\pi}{3}}$, alors le produit $z_{1} \times z_{2}$ est un nombre complexe :
   1. de module 4 et dont un argument est $\dfrac{2\pi}{7}$
   2. de module $2\sqrt{2}$ et dont un argument est $\dfrac{5\pi}{12}$
   3. de module 4 et dont un argument est $\dfrac{5\pi}{12}$
   4. de module $2\sqrt{2}$ et dont un argument est $\dfrac{13\pi}{12}$
$$\begin{array}{ll}z_{1} \times z_{2} &= 2\sqrt{2} \times \sqrt{2}\text{e}^{\text{i}\frac{3\pi}{4}} \times \text{e}^{- \text{i}\frac{\pi}{3}}\\& = 4\text{e}^{\text{i}\left(\frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{3}\right)}\\& = 4 \text{e}^{\frac{9\pi}{12} - \frac{4\pi}{12}}\\ &= 4 \text{e}^{\text{i}\frac{5\pi}{12}}\end{array}$$
Réponse c .
3. Le nombre complexe $\dfrac{\sqrt{2} - \mathrm{i}\sqrt{2}}{\sqrt{2} + \mathrm{i}\sqrt{2}}$ est égal à :
   1. $1$
   2. $\mathrm{i}$
   3. $-1$
   4. $- \mathrm{i}$
$$\begin{array}{ll}\dfrac{\sqrt{2} - \text{i}\sqrt{2}}{\sqrt{2} + \text{i}\sqrt{2}} &= \dfrac{\left(\sqrt{2} - \text{i}\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{2} - \text{i}\sqrt{2}\right)}{\left(\sqrt{2} + \text{i}\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{2} - \text{i}\sqrt{2}\right)} \\&= \dfrac{2 - 2 - 4\text{i}}{2 + 2}\\& = - \text{i}\end{array}$$
Réponse d.
4. Le nombre complexe $z$ de module $2\sqrt{3}$ et dont un argument est $\dfrac{2\pi}{3}$ a pour forme algébrique :
   1. $\sqrt{3} - 3\mathrm{i}$
   2. $3 - \mathrm{i}\sqrt{3}$
   3. $- \sqrt{3} + 3\mathrm{i}$
   4. $- 3 + \mathrm{i}\sqrt{3}$
$$\begin{array}{ll}2\sqrt{3}\text{e}^{\text{i}\frac{2\pi}{3}} &= 2\sqrt{3}\left(\cos \frac{2\pi}{3} + \text{i}\sin \frac{2\pi}{3}\right)\\& = 2\sqrt{3}\left(- \frac{\sqrt{3}}{2} + \text{i}\frac{1}{2}\right)\\& = - 3 + \text{i}\sqrt{3}\end{array}$$
Réponse d.