Baccalauréat STI 2D Métropole septembre 2013 - Correction Exercice 3

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Correction de l'exercice 3 (6 points)

Suites

Depuis 2000, l'Union Européenne cherche à diminuer les émissions de polluants (hydrocarbures et oxydes d'azote) sur les moteurs diesel des véhicules roulants. En 2000, la norme tolérée était fixée à 635milligrammes par kilomètre en conduite normalisée. L'objectif de l'Union Européenne est d'atteindre une émission de polluants inférieure à 100milligrammes par kilomètre. La norme est réactualisée chaque année à la baisse et depuis 2000, sa baisse est de 11,7$\,\% $par an.

1. 1. Justifier que la norme tolérée était d'environ 561 milligrammes par kilomètre en 2001.
   La norme tolérée en 2001 était : $635\times \left (1-\dfrac{11,7}{100}\right )=560,705$
   Ainsi, la norme tolérée était d'environ 561 milligrammes par kilomètre en 2001.
   2. Un véhicule émettait 500 milligrammes par kilomètre en 2002. Indiquer, en justifiant, s'il respectait ou non la norme tolérée cette année-là.
   La norme tolérée était d'environ 495 milligrammes par kilomètre en 2002. Ce véhicule ne respectait pas la norme tolérée cette année-là.
2. Dans le cadre d'une recherche, Louise veut déterminer à partir de quelle année l'Union Européenne atteindra son objectif. Louise a amorcé l'algorithme suivant : $$\begin{array}{|l|}\hline \text{Variables}\\ \qquad n :\text{ un nombre entier naturel} \\ \qquad p : \text{ un nombre réel }\\ \text{Initialisation}\\ \qquad \text{Affecter à } n \text{la valeur 0}\\ \qquad \text{ Affecter à } p \text{la valeur 635 }\\ \text{Traitement}\\ \qquad \text{ Tant que } \ldots\\ \qquad \qquad \text{ Affecter à }n \text{ la valeur } n + 1\\ \qquad \qquad \text{ Affecter à } p \text{ la valeur } 0,883 \times p\\ \qquad \text{ Fin Tant que }\\ \text{Sortie}\\ \qquad \text{ Afficher }\ldots\\ \hline \end{array}$$
   1. Expliquer l'instruction « Affecter à $p$ la valeur $0,883 \times p$ » .
   Soit $p$, la norme tolérée, exprimée en milligrammes l'année de rang $n$. L'année suivante, la norme tolérée, exprimée en milligrammes est $p\times \left (1-\dfrac{11,7}{100}\right )=0,883\times p$
   2. Deux lignes de l'algorithme comportent des pointillés. Recopier ces lignes et les compléter afin de permettre à Louise de déterminer l'année recherchée.
   $$\begin{array}{|l|}\hline \text{Variables}\\ \qquad n :\text{ un nombre entier naturel} \\ \qquad p : \text{ un nombre réel }\\ \text{Initialisation}\\ \qquad \text{Affecter à } n \text{la valeur 0}\\ \qquad \text{ Affecter à } p \text{la valeur 635 }\\ \text{Traitement}\\ \qquad \text{ Tant que } p\geq 100\\ \qquad \qquad \text{ Affecter à }n \text{ la valeur } n + 1\\ \qquad \qquad \text{ Affecter à } p \text{ la valeur } 0,883 \times p\\ \qquad \text{ Fin Tant que }\\ \text{Sortie}\\ \qquad \text{ Afficher }2000+n\\ \hline \end{array}$$
3. Pour tout entier naturel $n$, on note $u_{n}$ la norme tolérée, exprimée en milligrammes l'année $(2000 + n)$. On a ainsi $u_{0} = 635$.
   1. Établir que la suite $\left(u_{n}\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison.
   Pour tout entier naturel $n, u_{n+1}=u_n\times \left (1-\dfrac{11,7}{100}\right )=0,883\times u_n$
   Ainsi, $(u_n)$ est une suite géométrique de raison 0,883.
   2. Pour tout entier naturel $n$, exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$.
   $(u_n)$ est une suite géométrique de premier terme $u_0=635$ et de raison $q=0,883$ donc :
   pour tout entier naturel $n, u_n=635\times 0,883^n$.
4. Déterminer à partir de quelle année l'Union Européenne atteindra son objectif.
On cherche à déterminer le plus petit entier $n$ tel que : $635\times 0,883^n\leq 100$.
En exécutant l'algorithme sur la calculatrice ou en programmant la suite $(u_n)$ sur la calculatrice, on, obtient :$n=15$.
L'Union Européenne atteindra son objectif à partir de 2015.
Remarque, on peut bien sûr le faire par un calcul direct :Pour cela, résolvons $u_n \leqslant 100$ $$\begin{array}{ll} u_n \leqslant 100& \iff 635\times 0,883^n \leqslant 100\\ &\iff 0,883^n \leqslant \dfrac{100}{635} \\ &\iff \ln \left(0,883^n\right) \leqslant \ln\left(\dfrac{100}{635}\right)\\ &\iff n \ln 0,883 \leqslant \ln\left(\dfrac{20}{127}\right) \\ &\iff n \geqslant \dfrac{\ln\left(\dfrac{20}{127}\right)}{\ln 0,883 } \qquad \text{car }\ln 0,883 < 0\\ \end{array}$$ $$\dfrac{\ln\left(\dfrac{20}{127}\right)}{\ln 0,883 } \approx 14.85$$ Au bout de 15 ans, c'est-à dire en 2015, l'Union Européenne atteindra son objectif.

 

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