Baccalauréat STI 2D Métropole septembre 2013 - Exercice 3

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Exercice 3 6 points

Suites

Depuis 2000, l'Union Européenne cherche à diminuer les émissions de polluants (hydrocarbures et oxydes d'azote) sur les moteurs diesel des véhicules roulants. En 2000, la norme tolérée était fixée à 635milligrammes par kilomètre en conduite normalisée. L'objectif de l'Union Européenne est d'atteindre une émission de polluants inférieure à 100milligrammes par kilomètre. La norme est réactualisée chaque année à la baisse et depuis 2000, sa baisse est de 11,7$\,\% $par an.

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1. 1. Justifier que la norme tolérée était d'environ 561 milligrammes par kilomètre en 2001.
   2. Un véhicule émettait 500 milligrammes par kilomètre en 2002. Indiquer, en justifiant, s'il respectait ou non la norme tolérée cette année-là.
2. Dans le cadre d'une recherche, Louise veut déterminer à partir de quelle année l'Union Européenne atteindra son objectif. Louise a amorcé l'algorithme suivant : $$\begin{array}{|l|}\hline \text{Variables}\\ \qquad n :\text{ un nombre entier naturel} \\ \qquad p : \text{ un nombre réel }\\ \text{Initialisation}\\ \qquad \text{Affecter à } n \text{la valeur 0}\\ \qquad \text{ Affecter à } p \text{la valeur 635 }\\ \text{Traitement}\\ \qquad \text{ Tant que } \ldots\\ \qquad \qquad \text{ Affecter à }n \text{ la valeur } n + 1\\ \qquad \qquad \text{ Affecter à } p \text{ la valeur } 0,883 \times p\\ \qquad \text{ Fin Tant que }\\ \text{Sortie}\\ \qquad \text{ Afficher }\ldots\\ \hline \end{array}$$
   1. Expliquer l'instruction « Affecter à $p$ la valeur $0,883 \times p$ » .
   2. Deux lignes de l'algorithme comportent des pointillés. Recopier ces lignes et les compléter afin de permettre à Louise de déterminer l'année recherchée.
3. Pour tout entier naturel $n$, on note $u_{n}$ la norme tolérée, exprimée en milligrammes l'année $(2000 + n)$. On a ainsi $u_{0} = 635$.
   1. Établir que la suite $\left(u_{n}\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison.
   2. Pour tout entier naturel $n$, exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$.
4. Déterminer à partir de quelle année l'Union Européenne atteindra son objectif.