Baccalauréat Polynésie 11 septembre 2014 STI2D--STL spécialité SPCL

Exercice 1 4 points


Nombres complexes

On considère les nombres complexes $Z_{1}$ et $Z_{2}$ : \[Z_{1} = \dfrac{3\sqrt{2}}{1 + \text{i}}\quad \text{et}\quad Z_{2} = \dfrac{4\text{i}}{1 + \text{i}\sqrt{3}}.\]

  1. Ecrire les nombres $Z_{1}$ et $Z_{2}$ sous forme algébrique et trigonométrique.
  2. Placer les points A$_{1}$ et A$_{2}$ d'affixes respectives $Z_{1}$ et $Z_{2}$ dans le repère donné en annexe.
  3. Calculer sous forme algébrique le produit $Z_{1} \times Z_{2}$ et donner sa forme trigonométrique.
  4. En déduire les valeurs exactes de $\cos \dfrac{\pi}{12}$ et $\sin \dfrac{\pi}{12}$.

Bac STI2D Polynesie Sept 2014 Ex1 


Correction de l'exercice 1 (4 points)


Nombres complexes

On considère les nombres complexes $Z_{1}$ et $Z_{2}$ : \[Z_{1} = \dfrac{3\sqrt{2}}{1 + \text{i}}\quad \text{et}\quad Z_{2} = \dfrac{4\text{i}}{1 + \text{i}\sqrt{3}}.\]

  1. Ecrire les nombres $Z_{1}$ et $Z_{2}$ sous forme algébrique et trigonométrique.
    • Forme algébrique de $Z_1$
    • $$\begin{array}{ll} Z_{1} &= \dfrac{3\sqrt{2}}{1 + \text{i}} \\ & = \dfrac{3\sqrt{2}(1 - \text{i})}{(1 + \text{i})(1 - \text{i})}\\ & = \dfrac{3\sqrt{2} - 3\sqrt{2}\text{i}}{ 1^2+1^2 }\\ & = \dfrac{3\sqrt{2} - 3\sqrt{2}\text{i}}{2 }\\ \end{array}$$
      $ Z_1= \dfrac{3\sqrt{2} - 3\sqrt{2}\text{i}}{2 }$.
    • Forme trigonométrique de $Z_1$
    • Forme trigonométrique de $ Z_1= \dfrac{3\sqrt{2} - 3\sqrt{2}\text{i}}{2 }=\dfrac{3\sqrt{2}}{2} -\text{i} \dfrac{3\sqrt{2}}{2}$:
      Module : $|Z_1|=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{\left(\dfrac{3\sqrt{2}}{2}\right)^2+\left(\dfrac{3\sqrt{2}}{2}\right)^2}=\sqrt{\dfrac{18}{4}+\dfrac{18}{4}}= \sqrt{9}=3$
      Argument: $$\left\{ \begin{array}{l } \cos(\theta)=\dfrac{a}{r}= \dfrac{\dfrac{3\sqrt{2}}{2}}{3}= \dfrac{\sqrt 2}{2}\\ \sin(\theta)=\dfrac{b}{r}= \dfrac{\dfrac{-3\sqrt{2}}{2}}{3}= -\dfrac{\sqrt 2}{2} \end{array} \right.$$ Ainsi $\theta=-\dfrac{\pi}{4}$ convient; on a donc: $$Z_1=[3;-\dfrac{\pi}{4}] \text{ ou } Z_1=3\left [\cos\left (-\dfrac{\pi}{4}\right )+i\sin\left (-\dfrac{\pi}{4}\right )\right ]$$
      La forme exponentielle de $Z_{1}$ est $Z_1= 3e^{-i\frac{\pi}{4}}$
      La forme trigonométrique de $Z_1$ est $Z_1=3\left [\cos\left (-\dfrac{\pi}{4}\right )+i\sin\left (-\dfrac{\pi}{4}\right )\right ]$
    • Forme algébrique de $Z_2$
    • $$\begin{array}{ll} Z_{2} &= Z_{2} = \dfrac{4\text{i}}{1 + \text{i}\sqrt{3}} \\ & = \dfrac{4\text{i}(1 - \text{i}\sqrt{3})}{(1 + \text{i}\sqrt{3})(1 - \text{i}\sqrt{3})}\\ & = \dfrac{4\text{i} + 4 \sqrt{3}}{ 1^2+\sqrt 3^2 }\\ & = \dfrac{4 \sqrt{3} 4\text{i}}{4 }\\\end{array}$$
      $ Z_2= \sqrt{3} +\text{i}$.
    • Forme trigonométrique de $Z_2$
    • Forme trigonométrique de $Z_2=\sqrt{3} +\text{i}$:
      Module : $|Z_2|=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{\sqrt{3}^2+1^2}=\sqrt{4}=2$
      Argument: $$\left\{ \begin{array}{l } \cos(\theta)=\dfrac{a}{r}= \dfrac{\sqrt{3}}{2}\\ \sin(\theta)=\dfrac{b}{r}= \dfrac{1}{2} \end{array} \right.$$ Ainsi $\theta= \dfrac{\pi}{6}$ convient; on a donc: $$Z_2=[2; \dfrac{\pi}{6}] \text{ ou } Z_2=2\left [\cos\left (\dfrac{\pi}{6}\right )+i\sin\left (\dfrac{\pi}{6}\right )\right ]$$
      La forme exponentielle de $Z_{2}$ est $Z_2= 2e^{i\frac{\pi}{6}}$
      La forme trigonométrique de $Z_2$ est $Z_2=2\left [\cos\left (\dfrac{\pi}{6}\right )+i\sin\left (\dfrac{\pi}{6}\right )\right ]$
  2. Placer les points A$_{1}$ et A$_{2}$ d'affixes respectives $Z_{1}$ et $Z_{2}$ dans le repère donné en annexe.
  3. Calculer sous forme algébrique le produit $Z_{1} \times Z_{2}$ et donner sa forme trigonométrique.
    • Forme algébrique de $Z_1\times Z_2$
    • $$\begin{array}{ll} Z_{1}\times Z_2 &= \dfrac{3\sqrt{2} - 3\sqrt{2}\text{i}}{2 }\times ( \sqrt{3} +\text{i}) \\ & = \dfrac{3\sqrt{6}}{2} +\text{i} \dfrac{3\sqrt{2}}{2}- \text{i} \dfrac{3\sqrt{6}}{2} +\dfrac{3\sqrt{2}}{2}\\ & = \dfrac{3\sqrt{2} - 3\sqrt{2}\text{i}}{ 1^2+1^2 }\\ & = \dfrac{3(\sqrt{6}+\sqrt{2})}{2} + \text{i} \dfrac{3(\sqrt{2}-\sqrt{6})}{2}\\\end{array}$$
      $ Z_1\times Z_2 = \dfrac{3(\sqrt{6}+\sqrt{2})}{2} + \text{i} \dfrac{3(\sqrt{2}-\sqrt{6})}{2}$.
    • Forme trigonométrique de $Z_1\times Z_2$
    • $$\begin{array}{ll} Z_{1}\times Z_2 &= 3e^{-i\frac{\pi}{4}} \times 2e^{i\frac{\pi}{6}} \\ & = 6 e^{i\left(-\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{6}\right)} \\ & = 6 e^{-i\frac{\pi}{12} } \\\\\end{array}$$
      La forme trigonométrique de $ Z_1\times Z_2$ est $ Z_1\times Z_2 = 6 e^{-i\frac{\pi}{12} }$
  4. En déduire les valeurs exactes de $\cos \dfrac{\pi}{12}$ et $\sin \dfrac{\pi}{12}$.
  5. On identifie les formes algébrique et trigonométrique de $ Z_1\times Z_2$: $$ Z_1\times Z_2 = 6 e^{-i\frac{\pi}{12} }=6\left [\cos\left (\dfrac{-\pi}{12}\right )+i\sin\left (\dfrac{-\pi}{12}\right )\right ]$$ $$\begin{array}{ll } Z_1\times Z_2&= \dfrac{3(\sqrt{6}+\sqrt{2})}{2} + \text{i} \dfrac{3(\sqrt{2}-\sqrt{6})}{2} \\ &= 6\left [\cos\left (\dfrac{-\pi}{12}\right )+i\sin\left (\dfrac{-\pi}{12}\right )\right ] \end{array}$$ En identifiant les parties réelles et les parties imaginaires on obtient : $$\left\{ \begin{array}{l } Re(Z_1\times Z_2 )=6\cos(\dfrac{-\pi}{12})= 6\cos(\dfrac{\pi}{12})=\dfrac{3(\sqrt{6}+\sqrt{2})}{2} \\ Im(Z_1\times Z_2 )=6\sin(-\dfrac{\pi}{12})=-6\sin(\dfrac{\pi}{12})= \dfrac{3(\sqrt{2}-\sqrt{6})}{2} \end{array} \right.$$
    $$\left\{ \begin{array}{l } \cos(\dfrac{ \pi}{12})=\dfrac{ \sqrt{6}+\sqrt{2} }{4} \\ \sin(\dfrac{\pi}{12})= \dfrac{ \sqrt{6}-\sqrt{2} }{4} \end{array} \right.$$

Exercice 2 6 points


Suites


Une entreprise informatique a réalisé en 2013 un bénéfice de 22000 €. La direction de cette entreprise se fixe pour objectif une hausse annuelle de son bénéfice de 4,5$\,\%$. Pour tout entier naturel $n$, on note $b_{n}$ le bénéfice prévu pour l'année $2013 + n$, on a donc $b_{0} = 22000$.


Partie A

  1. Calculer les bénéfices $b_{1}$ et $b_{2}$ espérés pour 2014 et 2015.
  2. Montrer que $\left(b_{n}\right)$ est une suite géométrique dont on précisera les éléments caractéristiques.
  3. Exprimer alors $b_{n}$ en fonction de $n$.
Partie B

On considère l'algorithme ci-dessous :

$$\begin{array}{|l|}\hline N \text{ prend la valeur } 0\\ B \text{ prend la valeur }22000 \\ \text{ Tant que } B \leqslant 40000 \\ \hspace{0,5cm}N \text{ prend la valeur } N + 1\\ \hspace{0,5cm}B \text{ prend la valeur }1,045 * B\\ \text{ Fin Tant que } \\ A \text{ prend la valeur } N + 2013\\ \text{ Afficher } A\\ \hline \end{array}$$

  1. Expliquer à quoi correspondent les variables N et B.
  2. Exécuter cet algorithme et donner le dernier résultat affiché.
  3. Expliquer à quoi correspond cette valeur.
  4. La direction souhaite savoir à partir de quelle année le bénéfice de l'entreprise sera supérieur à 40000 €.
    1. Résoudre dans $\mathbb R$ l'inéquation suivante: \[22000 \times 1,045^x > 40000.\]
    2. Quel lien existe-t-il entre le résultat de la question 2. de la partie B et l'ensemble des solutions de l'inéquation précédente ?

 


Correction de l'exercice 2 (6 points)


Suites


Une entreprise informatique a réalisé en 2013 un bénéfice de 22000 €. La direction de cette entreprise se fixe pour objectif une hausse annuelle de son bénéfice de 4,5$\,\%$. Pour tout entier naturel $n$, on note $b_{n}$ le bénéfice prévu pour l'année $2013 + n$, on a donc $b_{0} = 22000$.


Partie A

  1. Calculer les bénéfices $b_{1}$ et $b_{2}$ espérés pour 2014 et 2015.
  2. $b_1=22000\times \left(1+\dfrac{4,5}{100}\right)=22990$ $b_2=22990\times \left(1+\dfrac{4,5}{100}\right)= 24024,55$
    Les bénéfices espérés pour 2014 et 2015 sont respectivement de 22990 € et 24024,55 €.
  3. Montrer que $\left(b_{n}\right)$ est une suite géométrique dont on précisera les éléments caractéristiques.
  4. $b_0=22000$ et, pour tout entier naturel $n, b_{n+1}=1,045\times b_n$
    donc $(b_n)$ est une suite géométrique de raison $1,045$ et de premier terme $22000$.
  5. Exprimer alors $b_{n}$ en fonction de $n$.
  6. $(b_n)$ est une suite géométrique de raison $1,045$ et de premier terme $22000$, $b-n=q^n\times b-0$
    alors pour tout entier $n, b_n=22000\times 1,045^n$
Partie B

On considère l'algorithme ci-dessous :$$\begin{array}{|l|}\hline N \text{ prend la valeur } 0\\ B \text{ prend la valeur }22000 \\ \text{ Tant que } B \leqslant 40000 \\ \hspace{0,5cm}N \text{ prend la valeur } N + 1\\ \hspace{0,5cm}B \text{ prend la valeur }1,045 * B\\ \text{ Fin Tant que } \\ A \text{ prend la valeur } N + 2013\\ \text{ Afficher } A\\ \hline \end{array}$$

  1. Expliquer à quoi correspondent les variables N et B.
  2. $N$ est le nombre d'années écoulées depuis 2013 et $B$ est le montant en euros du bénéfice prévu pour l'année $2013+N.$
  3. Exécuter cet algorithme et donner le dernier résultat affiché.
  4. Le résultat affiché est $2027$
  5. Expliquer à quoi correspond cette valeur.
  6. C'est à partir de 2027 que le bénéfice sera supérieur à 40000 €.
    La direction souhaite savoir à partir de quelle année le bénéfice de l'entreprise sera supérieur à 40000 €.
    1. Résoudre dans $\mathbb R$ l'inéquation suivante: \[22000 \times 1,045^x > 40000.\]
    2. Pour tout réel $x$, on a $$\begin{array}{ll} 22000 \times 1,045^x > 40000 &\iff 1,045^x > \dfrac{40000}{22 000}\\ &\iff e^{x \ln(1,045)} > \dfrac{20}{11}\\ &\iff \ln\left(e^{x \ln(1,045)} \right)> \ln\left(\dfrac{20}{11}\right)\\ &\iff x \ln(1,045) > \ln\left(\dfrac{20}{11}\right)\\ &\iff x > \dfrac{\ln\left(\dfrac{20}{11}\right)}{\ln(1,045)}\\ \end{array}$$
      L’ensemble des solutions de l’inéquation est l’intervalle $]\dfrac{\ln20−\ln11}{\ln1,045};+\infty[$.
    3. Quel lien existe-t-il entre le résultat de la question 2. de la partie B et l'ensemble des solutions de l'inéquation précédente ?
    4. L'algorithme de la question 2 permet de déterminer le rang $N$ de l'année à partir de laquelle le bénéfice de l'entreprise sera supérieur à $40000$ €. $N$ est le plus petit entier solution de l'inéquation $22000 \times 1,045^x > 40000$.
      REMARQUE : Comme $\dfrac{\ln20−\ln11}{\ln1,045}\approx 13,582$, le plus petit entier $N$ tel que $N>\dfrac{\ln20−\ln11}{\ln1,045}$ est $N=14$. On retrouve le résultat de la question 2.

 


Exercice 3 6 points


Fonction exponentielle et équation différentielle


Lorsque l'on consomme de l'alcool, le taux d'alcool dans le sang varie en fonction du temps écoulé depuis l'absorption. Ce taux est appelé « alcoolémie » et est mesuré en grammes par litre (g/L). Après l'absorption de trois verres d'alcool, l'alcoolémie d'une personne donnée, en fonction du temps (exprimé en heures), est modélisée par la fonction définie sur $\mathbb R_{+}$ par : \[ f(t) = 2,5t\text{e}^{- t}.\]

Partie A

  1. Donner la valeur de l'alcoolémie de la personne considérée au bout de 2 heures.
  2. Montrer que pour tout réel $t$ de l'intervalle $[0~;~+ \infty[$,  $f'(t) = 2,5(1 - t)\text{e}^{- t}$.
  3. Vérifier que la fonction $f$ est solution de l'équation différentielle : \[(E) :\qquad y' + y = 2,5\text{e}^{- t}.\]
  4. En remarquant que pour tout réel $t$ de l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ on a $f(t) = \dfrac{2,5t}{\text{e}^{t}}$, déterminer $\displaystyle\lim_{t \to + \infty}f(t)$ et donner une interprétation géométrique de cette limite.
  5. Déterminer les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$.
  6. Quelle est l'alcoolémie la plus élevée pour la personne considérée ?

Partie B

  1. Sur une feuille de papier millimétré, tracer la courbe représentative de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$. On prendra 2 cm pour unité sur l'axe des abscisses et 10 cm pour unité sur l'axe des ordonnées.
  2. En France, la législation autorise pour un conducteur une alcoolémie maximale de 0,5 g/L. Sachant que la personne a absorbé trois verres d'alcool à 12 h, à partir de quelle heure pourra-t-elle reprendre la route pour effectuer sans s'arrêter un trajet d'une durée d'une heure ? On utilisera la représentation graphique de la fonction $f$.

 


Correction de l'exercice 3 (6 points)


Fonction exponentielle et équation différentielle


Lorsque l'on consomme de l'alcool, le taux d'alcool dans le sang varie en fonction du temps écoulé depuis l'absorption. Ce taux est appelé « alcoolémie » et est mesuré en grammes par litre (g/L). Après l'absorption de trois verres d'alcool, l'alcoolémie d'une personne donnée, en fonction du temps (exprimé en heures), est modélisée par la fonction définie sur $\mathbb R_{+}$ par : \[ f(t) = 2,5t\text{e}^{- t}.\]

Partie A

  1. Donner la valeur de l'alcoolémie de la personne considérée au bout de 2 heures.
  2. $f(2)=2,5\times 2\times e{-2}\approx 0,68$
    Au bout de 2 heures, l'alcoolémie de la personne considérée est d'environ 0,68 g/L.
  3. Montrer que pour tout réel $t$ de l'intervalle $[0~;~+ \infty[$,  $f'(t) = 2,5(1 - t)\text{e}^{- t}$.
  4. $f $ est dérivable comme produit de deux fonctions dérivables : 

    $f=uv$ d'où $f'=u' v+uv' $ avec pour tout réel $x$ :
    $$\left\{ \begin{array}{l} u(t)~ =2,5t \\ v(t)~ =\text{e}^{- t} \end{array}\right.$$ d'où : $$\left\{ \begin{array}{l} u’(t)~ =2,5 \\ v'(t)~ =-\text{e}^{- t} \end{array}\right.$$

    Ainsi :
     $$f’(t)=2,5 \times \text{e}^{- t} +2,5t \times \left( -\text{e}^{- t}\right)$$

    $$f’(t)=2,5(1-t)\text{e}^{-t}$$
    La dérivée de la fonction $f$ est la fonction $f’$ définie pour tout réel $t$ de l'intervalle $[0;+\infty[$ par $f’(t)=2,5(1−t)\text{e}^{-t}$.
  5. Vérifier que la fonction $f$ est solution de l'équation différentielle : \[(E) :\qquad y' + y = 2,5\text{e}^{- t}.\]
  6. $$\begin{array}{ll} f’(t)+f(t)&=2,5(1−t)\text{e}^{-t}+2,5t\text{e}^{-t}\\ &= 2,5 \text{e}^{- t} \end{array}$$
    La fonction f est une solution de l'équation différentielle (E).
  7. En remarquant que pour tout réel $t$ de l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ on a $f(t) = \dfrac{2,5t}{\text{e}^{t}}$, déterminer $\displaystyle\lim_{t \to + \infty}f(t)$ et donner une interprétation géométrique de cette limite.
  8. $\displaystyle\lim_{t \to + \infty}\dfrac{\text{e}^{t}}{t}=+\infty$, donc par inverse : $\displaystyle\lim_{t \to + \infty}\dfrac{t}{\text{e}^{t}}=0$, puis $\displaystyle\lim_{t \to + \infty}\dfrac{2,5t}{\text{e}^{t}}=0$
    $\displaystyle\lim_{t \to + \infty}f(t)=0$ par conséquent, la courbe représentative de la fonction $f$ admet pour asymptote l'axe des abscisses au voisinage de $+ \infty$.
  9. Déterminer les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$.
  10. Le sens de variation de $f$ est donné par le signe de la dérivée $f’$; or $f’(t)=2,5(1-t)\text{e}^{-t}$
    Comme la fonction exponentielle est strictement positive sur $\mathbb{R}$ ; le signe de $f′(t)$ ne dépend que de celui de $1-t$. On obtient donc le tableau de variations suivant :
  11. Quelle est l'alcoolémie la plus élevée pour la personne considérée ?
  12. Le maximum de la fonction $f$ est atteint pour $t=1$ et, $$f(1)=2,5\times \text{e}^{-1}\approx 0,92$$
    L'alcoolémie la plus élevée pour la personne considérée est d'environ 0,92 g/L.

Partie B

  1. Sur une feuille de papier millimétré, tracer la courbe représentative de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$. On prendra 2 cm pour unité sur l'axe des abscisses et 10 cm pour unité sur l'axe des ordonnées.
  2. En France, la législation autorise pour un conducteur une alcoolémie maximale de 0,5 g/L. Sachant que la personne a absorbé trois verres d'alcool à 12 h, à partir de quelle heure pourra-t-elle reprendre la route pour effectuer sans s'arrêter un trajet d'une durée d'une heure ? On utilisera la représentation graphique de la fonction $f$.
  3. Avec la précision permise par un graphique tracé à main levée, on constate que la courbe représentative de la fonction $f$ est en dessous de la droite d'équation $y=0,5$ sur un intervalle d'amplitude 1 pour $t>2,5$. Or $f(2,5)\approx 0,513$ et $f(2,55)\approx 0,498$
    Cette personne pourra reprendre la route pour effectuer sans s'arrêter un trajet d'une durée d'une heure à partir de 14 heures trente-cinq minutes.

Exercice 4 4 points


Probabilités


Partie A Loi exponentielle et radioactivité

On modélise la durée de vie $T$ (exprimée en jours) d'un élément radioactif par une variable aléatoire suivant une loi exponentielle de paramètre $\lambda$.
On rappelle que pour tout $t > 0,\: P(T \leqslant t) = \displaystyle\int_{0}^t \lambda\text{e}^{- \lambda x}\:\text{d}x$.
Le Thorium 227 a une demi-vie de 18 jours, ce qui signifie que : \[P(T \geqslant 18) = P(T \leqslant 18) = 0,5.\]

  1. Montrer que pour tout $t > 0,\: P(T \leqslant t) = 1 - \text{e}^{-\lambda t}$.
  2. Calculer la valeur du paramètre $\lambda$ pour le Thorium 227. On donnera le résultat arrondi à $10^{-4}$.
  3. On suppose que $\lambda = 0,04$. Donner alors la durée de vie moyenne d'un atome de Thorium 227.

Partie B Loi normale et usinage

Une entreprise fabrique en grande quantité des pièces tubulaires destinées à l'industrie aérospatiale. Le diamètre (exprimé en centimètres) d'une de ces pièces est modélisé par une variable aléatoire $X$ suivant la loi normale d'espérance $3,65$ et d'écart type $0,004$.
Les résultats seront donnés à $10^{-3}$ près .


  1. Une pièce est décrétée conforme lorsque son diamètre en centimètres est compris entre $3,645$ et $3,655$. Calculer la probabilité qu'une pièce tubulaire de la production soit décrétée conforme.
  2. Dans le cadre d'un fonctionnement correct de la chaîne de production, on admet que la proportion $p$ de pièces conformes est 79$\,\%$. On rappelle que l'intervalle de fluctuation asymptotique à 95$\,\%$ de la fréquence de pièces conformes sur un échantillon de taille $n$ est \[I = \left[p - 1,96\sqrt{\dfrac{p(1 - p)}{n}}~;~p + 1,96\sqrt{\dfrac{p(1 - p)}{n}}\right].\] On contrôle régulièrement la chaîne de production en prélevant des échantillons de $100$ pièces. Lors d'un contrôle, on trouve 25 pièces défectueuses. Le responsable qualité doit-il prendre la décision d'effectuer des réglages sur la chaîne de production ? Justifier la réponse.

 


Exercice 4 : 4 points


Probabilités


Partie A Loi exponentielle et radioactivité

On modélise la durée de vie $T$ (exprimée en jours) d'un élément radioactif par une variable aléatoire suivant une loi exponentielle de paramètre $\lambda$.
On rappelle que pour tout $t > 0,\: P(T \leqslant t) = \displaystyle\int_{0}^t \lambda\text{e}^{- \lambda x}\:\text{d}x$.
Le Thorium 227 a une demi-vie de 18 jours, ce qui signifie que : \[P(T \geqslant 18) = P(T \leqslant 18) = 0,5.\]

  1. Montrer que pour tout $t > 0,\: P(T \leqslant t) = 1 - \text{e}^{-\lambda t}$.
  2. $$\begin{array}{ll} P(T \leqslant t)& = \displaystyle\int_{0}^t \lambda\text{e}^{- \lambda x}\:\text{d}x\\ &=\left[ -\text{e}^{- \lambda x}\right]_0^t\\ &= -\text{e}^{- \lambda t}-(-\text{e}^{0})\\ & 1 -\text{e}^{- \lambda t}\\ \end{array}$$
    pour tout $t > 0,\: P(T \leqslant t) = 1 - \text{e}^{-\lambda t}$.
  3. Calculer la valeur du paramètre $\lambda$ pour le Thorium 227. On donnera le résultat arrondi à $10^{-4}$.
  4. $$\begin{array}{ll} 1 -\text{e}^{- 18\lambda } =0,5&\iff \text{e}^{- 18\lambda } =0,5 \\ &\iff \ln\left(\text{e}^{- 18\lambda } \right)=\ln (0,5)\\ &\iff - 18\lambda= \ln (0,5)\\ &\iff \lambda = -\dfrac{\ln (0,5)}{18}\approx 0,0385 \end{array}$$
    La durée de vie du Thorium 227 suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda =0,0385$.
  5. On suppose que $\lambda = 0,04$. Donner alors la durée de vie moyenne d'un atome de Thorium 227.
  6. L'espérance d'une variable aléatoire suivant une loi exponentielle de paramètre $\lambda$ est égale à $\dfrac{1}{\lambda}$.
    La durée de vie moyenne d'un atome de Thorium 227 est de $\dfrac{1}{0,04} =25$ jours.

Partie B Loi normale et usinage

Une entreprise fabrique en grande quantité des pièces tubulaires destinées à l'industrie aérospatiale. Le diamètre (exprimé en centimètres) d'une de ces pièces est modélisé par une variable aléatoire $X$ suivant la loi normale d'espérance $3,65$ et d'écart type $0,004$.
Les résultats seront donnés à $10^{-3}$ près .


  1. Une pièce est décrétée conforme lorsque son diamètre en centimètres est compris entre $3,645$ et $3,655$. Calculer la probabilité qu'une pièce tubulaire de la production soit décrétée conforme.
  2. 2ND DISTR 2NORMALFRép( \1 , \2,\3,\4)EXE
    Avec une calculatrice de type TI

    $$NormalFR\text{é}p(\1,\2,\3,\4) \approx \5$$

    $$P(\1 \leq \6 \leq \2)\approx \5 \text{ à } 10^{-\7} \text{ près.}$$

     

    La probabilité qu'une pièce tubulaire de la production soit décrétée conforme est $0,789$ (arrondie au millième près).
  3. Dans le cadre d'un fonctionnement correct de la chaîne de production, on admet que la proportion $p$ de pièces conformes est 79$\,\%$. On rappelle que l'intervalle de fluctuation asymptotique à 95$\,\%$ de la fréquence de pièces conformes sur un échantillon de taille $n$ est \[I = \left[p - 1,96\sqrt{\dfrac{p(1 - p)}{n}}~;~p + 1,96\sqrt{\dfrac{p(1 - p)}{n}}\right].\] On contrôle régulièrement la chaîne de production en prélevant des échantillons de $100$ pièces. Lors d'un contrôle, on trouve 25 pièces défectueuses. Le responsable qualité doit-il prendre la décision d'effectuer des réglages sur la chaîne de production ? Justifier la réponse.
  4. La proportion $p$ est égale à  $\1$. La taille  $n$  de l'échantillon considéré est égale à  $\2.$
    Comme  $ n =\2$ ,   $n \times p  $=\3  et $n\times (1-p)=\4,$ les conditions d'utilisation d'un intervalle de fluctuation asymptotique sont réunies.

    En effet on a bien : $$n \geq 30\;;\; n \times p \geq 5 \text{ et } n\times (1-p) \geq 5$$


    L'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de  $95\% $  est : $$I_{\2} = \left[\1 - 1,96\sqrt{\dfrac{\1\times \5}{\2}}~;~\1 + 1,96\sqrt{\dfrac{\1\times \5}{\2}} \right]$$ 

    Soit en prenant des valeurs approchées à $10^{-3 }$ près des bornes de l'intervalle, l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95  %  de la fréquence de pièces conformes sur un échantillon de taille 100 est $I_{100}=[0,710;0,870]$.
    La fréquence observée de pièces conformes dans l'échantillon est $f=\dfrac{100-25}{100}≈0,75$
    La fréquence observée appartient à l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95  %  . Il n'est pas nécessaire d'effectuer des réglages sur la chaîne de production.
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