Baccalauréat STI2D et STL spécialité SPCL Antilles-Guyane 16 juin 2017 - Exercice 2

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Exercice 2 7 points

Suites, exponentielles, équation différentielle

En 1648, Blaise Pascal a demandé à son beau-frère Florin Périer de mesurer la hauteur de mercure dans deux baromètres, l'un situé à Clermont-Ferrand et l'autre en haut de la montagne la plus proche, le Puy-de-Dôme. Florin Périer a constaté que la hauteur de mercure dans le baromètre situé en haut du Puy-de-Dôme était inférieure à la hauteur de mercure dans le baromètre situé plus bas, à Clermont-Ferrand. Cette expérience a permis de montrer que la pression atmosphérique diminue lorsque l’altitude augmente.
Dans cet exercice, la pression atmosphérique est exprimée en hectopascal (hPa) .
On rappelle que la pression atmosphérique vaut $1013,25\; hPa$ au niveau de la mer.

Partie A : Une règle simplifiée

Pour évaluer la pression atmosphérique, les alpinistes utilisent la règle simplifiée suivante : « la pression atmosphérique diminue de $0,11$ hectopascal quand l’altitude augmente de 1 mètre ».

1. Recopier et compléter le tableau suivant en utilisant cette règle : 
   

   altitude(en mètre)	0	800	1500	2000
   pression atmosphérique (en hPa)	1013,25

2. Pour tout entier naturel $n$, on note $u_n$ la pression atmosphérique en hPa à l’altitude de $n$ mètres calculée avec la règle simplifiée. Ainsi $u_0 =1 013,25$.
   1. Calculer $u_1$ et $u_2$.
   2. Justifier que la suite $\left(u_n\right)$ n’est pas géométrique.
   3. On admet que pour tout entier naturel $n,\ u_n = u_0 - 0,11 n$. En déduire l’altitude, exprimée en mètre, à partir de laquelle la pression atmosphérique est inférieure à $950\; hPa$ .

 

Partie B : La formule barométrique

On considère l’équation différentielle (E) : $$y' + 0,12 y = 0$$ où $y$ est une fonction de la variable réelle $x$, définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ et $y'$ est la fonction dérivée de $y$. Pour de faibles valeurs de l’altitude, les scientifiques ont démontré que la fonction $f$ qui, à l’altitude $x$ en kilomètre , associe la pression atmosphérique en hectopascal est la solution de l’équation différentielle (E) qui vérifie $f(0) = 1013,25$ .

1. 1. Déterminer les solutions de l’équation différentielle (E).
   2. Démontrer que la solution $f$ de l’équation différentielle (E) qui vérifie la condition initiale $f(0)= 1 013,25$ est la fonction définie sur $[0~;~+\infty[$ par : $$f(x)= 1013.25 \text{e}^{-0,12x}$$
2. En utilisant la fonction $f$ :
   1. Calculer une valeur approchée à $0,01$ près de la pression atmosphérique à 150 mètres d’altitude.
   2. Calculer l’altitude, arrondie au mètre, correspondant à une pression atmosphérique de $900 \; hPa$ .
3. On pose $v_n = f(n)$, pour tout entier naturel $n$. Justifier qu’avec ce modèle, la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique.

 

Partie C : La formule du nivellement barométrique

La formule de la partie B ne tient pas compte des changements de température et ne peut donc être utilisée que pour de faibles altitudes. Pour des altitudes plus élevées, on utilise la fonction $p$ qui à l’altitude $x$ en kilomètre associe la pression atmosphérique en hPa : $$p(x)= 1013,25 \left(1-\dfrac{6,5x}{288,15}\right)^{ 5.255 }$$

1. Calculer la pression atmosphérique (en hPa, arrondie à l’unité) au sommet de l’Everest dont l’altitude est 8848 mètres.
2. Recopier et compléter l’algorithme suivant en utilisant la fonction $p$, de façon à ce qu’il affiche en sortie l’altitude (estimée à $100$ mètres près) à partir de laquelle la pression atmosphérique est inférieure à 400 hPa. $$\begin{array}{|ll|} \hline \text{Variables} &A \text{ un nombre réel }\\ &P \text{ un nombre réel}\\ \text{Début}& \\ & A \text{ prend la valeur 0}\\ & P \text{ prend la valeur 1013.25}\\ & \text{Tant que} \dots \text{faire}\\ &\hspace{4em} \begin{array}{|l} A \text{ prend la valeur } A + 0,1 \\ P \text{ prend la valeur } \dots\\ \end{array}\\ &\text{Fin tant que}\\ &\text{ Afficher } \dots\\ &\text{Fin}\\ \hline \end{array}$$

    

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