Baccalauréat STI2D et STL spécialité SPCL Antilles-Guyane 16 juin 2017 - Correction Exercice 2

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Correction de l'exercice 2 (5 points)

Suites, exponentielles, équation différentielle

En 1648, Blaise Pascal a demandé à son beau-frère Florin Périer de mesurer la hauteur de mercure dans deux baromètres, l'un situé à Clermont-Ferrand et l'autre en haut de la montagne la plus proche, le Puy-de-Dôme. Florin Périer a constaté que la hauteur de mercure dans le baromètre situé en haut du Puy-de-Dôme était inférieure à la hauteur de mercure dans le baromètre situé plus bas, à Clermont-Ferrand. Cette expérience a permis de montrer que la pression atmosphérique diminue lorsque l’altitude augmente.
Dans cet exercice, la pression atmosphérique est exprimée en hectopascal (hPa) .
On rappelle que la pression atmosphérique vaut $ 1013,25\; hPa $ au niveau de la mer.

Partie A : Une règle simplifiée

Pour évaluer la pression atmosphérique, les alpinistes utilisent la règle simplifiée suivante : « la pression atmosphérique diminue de $0,11$ hectopascal quand l’altitude augmente de 1 mètre ».

1. Recopier et compléter le tableau suivant en utilisant cette règle : 
   

   altitude(en mètre)	0	800	1500	2000
   pression atmosphérique (en hPa)	1013,25

2. Pour tout entier naturel $n$, on note $u_n$ la pression atmosphérique en hPa à l’altitude de $n$ mètres calculée avec la règle simplifiée. Ainsi $u_0 =1 013,25$.
   1. Calculer $u_1$ et $u_2$.
   $u_1=1013,25-0,11\times 1=1013,14 $ et $u_2=1013,25-0,11\times 2=1013,03$
   Ainsi, $u_1=1013,14$ et $u_2=1013,03$.
   2. Justifier que la suite $\left(u_n\right)$ n’est pas géométrique.
   $\dfrac{u_1}{u_0}=\dfrac{1013,14}{1013,25}$; $\dfrac{u_2}{u_1}=\dfrac{1013,03}{1013,14}$ et $1013,14^2\neq 1013,25\times 1013,03$ $\dfrac{u_1}{u_0}\neq \dfrac{u_2}{u_1}$ donc la suite $\left(u_n\right)$ n'est pas géométrique.
   $\left(u_n\right)$ est une suite arithmétique de raison $r=-0,11$ et de premier terme $u_0=1013,25$.
   3. On admet que pour tout entier naturel $n,\ u_n = u_0 - 0,11 n$. En déduire l’altitude, exprimée en mètre, à partir de laquelle la pression atmosphérique est inférieure à $950\; hPa$ .
   On cherche le plus petit entier $n$ solution de l'inéquation :$1013,25-0,11⁢n<950$ $$\begin{array}{rll} u_n < 950 & \iff 1013,25-0,11⁢n<950& \text{ en ajoutant } -1013,25\\ & \iff -0,11⁢n < < 950-1013,25 &\\ &\iff -0,11n < -63,25 &\\ & \iff n > \dfrac{-63,25}{-0,11} \text{ en divisant par } -0,11< 0& \\ &\iff n > 575 &\\ \end{array}$$ Au dessus de 575 mètres, la pression atmosphérique est inférieure à 950 hPa.

 

Partie B : La formule barométrique

On considère l’équation différentielle (E) : \[y' + 0,12 y = 0\] où $y$ est une fonction de la variable réelle $x$, définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ et $y'$ est la fonction dérivée de $y$. Pour de faibles valeurs de l’altitude, les scientifiques ont démontré que la fonction $f$ qui, à l’altitude $x$ en kilomètre , associe la pression atmosphérique en hectopascal est la solution de l’équation différentielle (E) qui vérifie $f(0) = 1013,25 $ .

1. 1. Déterminer les solutions de l’équation différentielle (E).
   On met l'équation différentielle sous forme résolue : $y'=a y$ $$\begin{array}{rl} y' + 0,12y = 0&\iff y'= -0.12 y \end{array}$$ Les solutions de l'équation différentielle $y′=-0,12⁢y $ sont les fonctions définies pour tout réel $t$ par $t\mapsto k⁢\text{e}^{—0,12⁢x}$ où $k$ est une constante réelle quelconque.
   2. Démontrer que la solution $f$ de l’équation différentielle (E) qui vérifie la condition initiale $f(0)= 1 013,25$ est la fonction définie sur $[0~;~+\infty[$ par : \[f(x)= 1013.25 \text{e}^{-0,12x}\]
   La condition $f⁡(0)=1 013,25$ équivaut à $k\text{e}^0=1 013,25$ d'où $k=1 013,25$
   Ainsi, la fonction $f$ est définie sur $[0;+\infty[$ par $f⁡(x)=1 013,25\text{e}^{—0,12⁢x}$.
2. En utilisant la fonction $f$ :
   1. Calculer une valeur approchée à $0,01$ près de la pression atmosphérique à 150 mètres d’altitude.
   150m=0,15km et,
   $f(⁡0,15)=1013,25\text{e}^{-0,12⁢\times 0,15}\approx 995,18$
   Arrondie à 0,01 près de la pression atmosphérique à 150 mètres d'altitude est de 995,18 hPa.
   2. Calculer l’altitude, arrondie au mètre, correspondant à une pression atmosphérique de $900 \; hPa$ .
   L'altitude $x$ en kilomètre, correspondant à une pression atmosphérique de 900 hPa est solution de l'équation $f⁡(x)=900$.
   Soit : $$\begin{array}{rll} f(x)= 900& \iff 1013,25 \text{e}^{-0.12 x} =900&\\ & \iff \text{e}^{-0.12 x} = \dfrac{900}{1013,25}&\text{ en divisant par } 1013,25 \\ & \iff \ln \left( \text{e}^{-0.12 x }\right) =\ln \left( \dfrac{900}{1013,25}\right) & \text{ car } \ln \text{ est strictement croissante sur } ]0;+\infty[ \\ & \iff -0,12 x =\ln \left( \dfrac{900}{1013,25}\right) & \text{ car } \ln\left( \text{e}^{a}\right) = a \\ & x= -\dfrac{ \ln \left( \dfrac{900}{1013,25}\right)}{0,12}& \text{ car on a divisé par } -0,12 < 0\\ \end{array}$$ $-\dfrac{ \ln \left( \dfrac{900}{1013,25}\right) }{0,12}\approx 0,988$ Arrondie au mètre près, l'altitude correspondant à une pression atmosphérique de 900 hPa est de 988 mètres.
3. On pose $v_n = f(n)$, pour tout entier naturel $n$. Justifier qu’avec ce modèle, la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique.

 

Partie C : La formule du nivellement barométrique

La formule de la partie B ne tient pas compte des changements de température et ne peut donc être utilisée que pour de faibles altitudes. Pour des altitudes plus élevées, on utilise la fonction $p$ qui à l’altitude $x$ en kilomètre associe la pression atmosphérique en hPa : \[p(x)= 1013,25 \left(1-\dfrac{6,5x}{288,15}\right)^{ 5.255 }\]

1. Calculer la pression atmosphérique (en hPa, arrondie à l’unité) au sommet de l’Everest dont l’altitude est 8848 mètres.
$p⁡(8,848)=1 013,25⁢1-6,5\times 8,848288,155,255\approx 315$
Arrondie à l'unité, la pression atmosphérique au sommet de l'Everest est de 315 hPa.
2. Recopier et compléter l’algorithme suivant en utilisant la fonction $p$, de façon à ce qu’il affiche en sortie l’altitude (estimée à $100$ mètres près) à partir de laquelle la pression atmosphérique est inférieure à 400 hPa. $$ \begin{array}{|ll|} \hline \text{Variables} &A \text{ un nombre réel }\\ &P \text{ un nombre réel}\\ \text{Début}& \\ & A \text{ prend la valeur 0}\\ & P \text{ prend la valeur 1013.25}\\ & \text{Tant que} \dots \text{faire}\\ &\hspace{4em} \begin{array}{|l} A \text{ prend la valeur } A + 0,1 \\ P \text{ prend la valeur } \dots\\ \end{array}\\ &\text{Fin tant que}\\ &\text{ Afficher } \dots\\ &\text{Fin}\\ \hline \end{array}$$
$$ \begin{array}{|ll|} \hline \text{Variables} &A \text{ un nombre réel }\\ &P \text{ un nombre réel}\\ \text{Début}& \\ & A \text{ prend la valeur 0}\\ & P \text{ prend la valeur 1013.25}\\ & \text{Tant que} \color{red}{P\geq 400} \text{ faire}\\ &\hspace{4em} \begin{array}{|l} A \text{ prend la valeur } A + 0,1 \\ P \text{ prend la valeur } \color{red}{1013,25 \left(1-\dfrac{6,5\times A}{288,15}\right)^{ 5.255 }}\\ \end{array}\\ &\text{Fin tant que}\\ &\text{ Afficher } \color{red} A\\ &\text{Fin}\\ \hline \end{array}$$