Baccalauréat STI 2D/STL spécialité SPCL Nouvelle-Calédonie 28 novembre 2017 - Exercice 2

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Exercice 2 6 points

Suites

Un kiosque numérique propose des magazines consultables sur tablette. Il avait 4000 abonnés lors de son lancement. Une étude commerciale montre que chaque année le taux de réabonnement est voisin de 70% et que le nombre de nouveaux abonnés est d'environ 6000 .

1. Déterminer le nombre d'abonnés une année après le lancement.
2. Déterminer de même le nombre d'abonnés deux années après le lancement.
3. On considère l'algorithme suivant : $$ \begin{array}{ |l|l|}\hline \text{Variables :} & n \text{ est un entier naturel.}\\ & u \text{ est un réel.}\\ \text{Initialisation :} &\text{Affecter à } u \text{ la valeur 4000}\\ &\text{Affecter à } n \text{ la valeur }0\\ \text{Traitement :} &\text{Tant que } n < 2 \\ & u \text{ prend la valeur } \dfrac{7}{10}u + 6000 \\ & n \text{ prend la valeur } n + 1 \\ \text{Sortie :}& \text{Afficher } u .\\ \hline \end{array}$$ Quel est le résultat affiché par cet algorithme ?
4. Modifier l'algorithme pour afficher le nombre d'années à partir duquel il y aura plus de 15000 abonnés.
5. Soit la suite $\left(a_n\right)$ définie par : $$a_0 = 4 \text{ et pour tout }\:n > 0, \:\: a_{n+1} = \dfrac{7}{10}a_n + 6.$$ Quel lien peut-on établir entre cette suite et le nombre d'abonnés au kiosque numérique ?
6. Soit $\left(b_n\right)$ la suite définie pour tout entier $n$ par : $b_n = 20 - a_n$. On admet que la suite $\left(b_n\right)$ est une suite géométrique de raison $\dfrac{7}{10}$. Exprimer $a_n$ en fonction de $n$.
7. D'après ce modèle peut-on envisager de dépasser les 30000 abonnés? Expliquer la démarche suivie.