Baccalauréat STI 2D/STL spécialité SPCL Nouvelle-Calédonie 28 novembre 2017 - Exercice 3

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Exercice 3 5 points

Equations différentielles et Fonctions

Marie a invité quelques amis pour le thé. Elle souhaite leur proposer ses macarons maison. Elle les sort de son congélateur à $-18$ ° C et les place dans une pièce à $20$° C. Au bout de 15 minutes, la température des macarons est de $1$° C.

Premier modèle

On suppose que la vitesse de décongélation est constante : chaque minute la hausse de température des macarons est la même. Estimer dans ce cadre la température au bout de $30$minutes, puis au bout de $45$minutes. Cette modélisation est-elle pertinente?

Deuxième modèle

On suppose maintenant que la vitesse de décongélation est proportionnelle à la différence de température entre les macarons et l'air ambiant (il s'agit de la loi de Newton). On désigne par $\theta$ la température des macarons à l'instant $t$, et par $\theta'$ la vitesse de décongélation. L'unité de temps est la minute et l'unité de température le degré Celsius.
On négligera la diminution de température de la pièce et on admettra donc qu'il existe un nombre réel $a$ tel que, pour $t$ positif : $$\theta'(t) = a [\theta(t) -20]\quad (E)$$

1. Vérifier que l'équation $(E)$ s'écrit également : $\theta' - a \theta = - 20 a$. Donner alors, en fonction de $a$, l'ensemble des solutions de $(E)$.

On rappelle que la température des macarons à l'instant $t = 0$ est égale à $-18$° C et que, au bout de $15$ min, elle est de $1$° C.

2. Montrer que pour $t$ positif : $\theta(t) = 20 - 38 \text{e}^{- \frac{t \ln 2}{15}}$.
3. La température idéale de dégustation des macarons étant de $15$° C, Marie estime que celle-ci sera atteinte au bout de $30$min. A-t-elle raison ? Justifier la réponse. Sinon, combien de temps faudra-t-il attendre ?