Baccalauréat STI2D et STL/SPCL - Polynésie 21 juin 2018 - Exercice 2

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Exercice 2 6 points

Probabilités et suites

Les deux parties de l'exercice sont indépendantes.

Partie A

Dans cette partie on s'intéresse à l'évolution, depuis 2010, du nombre de véhicules « 100% électriques » en France. Le 24 mars 2017, l'association nationale pour le développement de la mobilité électrique (Avere-France) a publié l'article suivant:

La France célèbre son 100ieme véhicule

« 100% électrique », une première en Europe

Jeudi 23 mars, le marché français des véhicules particuliers et utilitaires « 100% électrique » a franchi le cap des $100\;000$ immatriculations cumulées depuis 2010, date de lancement de la nouvelle génération de véhicules électriques. La France devient alors le premier pays européen à atteindre un tel parc de véhicules avec zéro émission.

Dans ce contexte économique et environnemental, l'Avere-France estime qu'à l'horizon 2020, la France devrait compter plus de $350\;000$ véhicules « 100% électrique » immatriculés.
D'après l'association Avere-France
La lecture du graphique précédent permet, par exemple, de dire qu'au 31 décembre 2015, il y avait en tout $65\;793$ véhicules « 100% électrique » immatriculés.

1. Déterminer le pourcentage d'augmentation, entre le 31 décembre 2015 et le 31 décembre 2016, du nombre de véhicules « 100% électrique » immatriculés en France. Arrondir le résultat à 1%.

On suppose qu'à partir de l'année 2017, l'augmentation annuelle de véhicules « 100% électrique » immatriculés en France sera constante et égale à 40%. Dans le cadre de ce modèle, pour tout entier naturel $n$, on note $u_n$ une estimation du nombre de véhicules « 100% électrique » immatriculés en France au 31 décembre de l'année $2016+n$. Ainsi on a $u_0 = 93\;100 $.

2. 1. Déterminer le nombre de véhicules « 100% électrique » en France au 31 décembre 2017.
   2. Déterminer la nature de la suite $(u_n)$.
   3. L'affirmation de l'association Avere-France figurant à la fin de l'article est-elle validée par le modèle proposé? Justifier la réponse.
3. À l'aide d'un algorithme, on souhaite estimer l'année au cours de laquelle le nombre de véhicules « 100% électrique » immatriculés en France dépassera  $1000\;000$ avec ce modèle.
   1. Recopier et compléter l'algorithme suivant afin qu'il réponde au problème.
      $$\begin{array}{|l|} \hline n \leftarrow 0 \\ u \leftarrow 93\;100 \\ \text{Tant que } \cdots\\ \hspace{1cm} n \leftarrow \cdots \\ \hspace{1cm} u \leftarrow \cdots\\ \text{Fin Tant que}\\ \hline \end{array}$$
   2. Laquelle des variables $n$ ou $u$ est-il utile d'afficher après l'exécution de cet algorithme pour répondre au problème?
   3. Quelle est la valeur de cette variable?
   4. Interpréter cette valeur dans le contexte de l'exercice.

Partie B

Une usine fabrique des batteries Lithium-Ion, garanties 4 ans, nécessaires au fonctionnement des véhicules « 100% électrique ». La durée de vie moyenne d'une telle batterie s'élève à 7 ans. On admet que la variable aléatoire $T$ qui, à une batterie Lithium-Ion prélevée au hasard dans le stock de l'usine, associe sa durée de vie, exprimée en années, suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda$.

1. Déterminer la valeur exacte de $\lambda$.
2. Pour la suite, on prendra $\lambda = 0,143$.
   1. Déterminer la probabilité qu'une batterie Lithium-Ion soit encore en état de fonctionnement au bout de 8 ans. On donnera une valeur approchée à $10^{-3}$ près.
   2. Déterminer la probabilité qu'une batterie Lithium-Ion tombe en panne avant la fin de la garantie. On donnera une valeur approchée à $10^{-3}$ près.
   3. Déterminer le réel $t_0$ tel que $P(T>t_0)=0,75$. On donnera la valeur exacte et la valeur arrondie à l'unité. Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.