Baccalauréat STI2D Antilles-Guyane - 19 juin 2019 - Exercice 2

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Exercice 2 7 points

Suites

L'énergie houlomotrice est obtenue par exploitation de la force des vagues. Il existe différents dispositifs pour produire de l'électricité à partir de cette énergie. Les installations houlomotrices doivent être capables de résister à des conditions extrêmes, ce qui explique que le coût actuel de production d'électricité par énergie houlomotrice est élevé. On estime qu'en 2018 le coût de production d'un kilowattheure (kWh) par énergie houlomotrice était de 24 centimes d'euros. C'est nettement plus que le coût de production d'un kilowattheure par énergie nucléaire, qui était de 6 centimes d'euros en 2018. On admet qu'à partir de 2018 les progrès technologiques permettront une baisse de 5\,\% par an du coût de production d'un kilowattheure par énergie houlomotrice. Les deux parties de cet exercice peuvent être traitées de manière indépendante.

Partie A

Pour tout entier naturel $n$, on note $c_n$ le coût de production, en centime d'euro, d'un kilowattheure d'électricité produite par énergie houlomotrice pour l'année $2018 + n$. Ainsi, $c_0 =24$.
1. 1. Calculer $c_1$. Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
   2. Déterminer la nature de la suite $\left( c_n \right)$ et donner ses éléments caractéristiques.
   3. Pour tout entier naturel $n$, exprimer $c_n$ en fonction de $n$.
2. Résoudre dans l'ensemble des entiers naturels l'inéquation $0,95^n < 0,25$.
3. Dans cette question, on admet que le coût de production d'un kilowattheure par énergie nucléaire reste constant et égal à 6 centimes d'euros. Déterminer l'année à partir de laquelle le coût d'un kilowattheure produit par énergie houlomotrice deviendra inférieur au coût d'un kilowattheure produit par énergie nucléaire.
4. Dans cette question, on estime que le coût de production d'un kilowattheure par énergie nucléaire va augmenter tous les ans d'un centime d'euro. On souhaite alors déterminer l'année à partir de laquelle le coût d'un kilowattheure produit par énergie houlomotrice deviendra inférieur au coût d'un kilowattheure produit par énergie nucléaire.
   1. Recopier et compléter l'algorithme suivant afin que la valeur de la variable $N$ en sortie d'algorithme permette de répondre au problème. $$\begin{array}{|l|}\hline C \gets 24\\ D \gets 6\\ N \gets 2018\\ \text{Tant que } \cdots\\ \hspace{0.8cm}C \gets \ldots\\\hspace{0.8cm} D \gets \ldots\\ \hspace{0.8cm}N \gets N+1\\ \text{Fin Tant que } \\\hline\end{array}$$
   2. Répondre au problème posé. Aucune justification n'est demandée.

Partie B

On admet que la durée de vie d'un composant électronique d'une installation houlomotrice, exprimée en année, est une variable aléatoire $X$ qui suit la loi exponentielle dont le paramètre $\lambda = 0,04$.
1. Déterminer la durée de vie moyenne de ce composant électronique.
2. On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0 ; +\infty [$ par $f(x)=0,04\text{e}^{-0,04x}$.
   1. Déterminer une primitive $F$ de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0 ; +\infty [$.
   2. On rappelle que, pour tout nombre réel $t$ de l'intervalle $[0 ; +\infty [$ :\[P\left( X\leqslant t \right)=\displaystyle\int_0^t f(x) \mathrm{d}\, x .\] Démontrer que $P\left( X\leqslant t \right)=1-\text{e}^{-0,04t}$.
3. 1. Calculer $P\left( X> 15\right)$. Donner le résultat arrondi à $10^{-3}$.
   2. Interpréter cette valeur dans le contexte de l'exercice.
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Correction Exercice 2
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