Baccalauréat STI2D et STL/SPCL - Polynésie juin 2019 - Correction Exercice 1

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Correction de l'exercice 1 (5 points)

Suites

Température extérieure T En plein hiver, en Europe, une maison est chauffée à 20 °C. La température extérieure est notée T . Dans tout l'exercice, on suppose que T < 20 . Température intérieure initiale 20 °C Lorsque le chauffage est coupé, la température intérieure diminue par perte de chaleur.

On modélise cette situation par une suite $\left(u_n\right)$ dont le terme général $u_n$ désigne la température intérieure de la maison $n$ heures après la coupure du chauffage. Pour une maison en maçonnerie traditionnelle et une température extérieure $T$ constante, on admet que, pour tout entier naturel $n$ : \[u_{n+1} = 0,99 u_n + \dfrac{T}{100}\quad \text{et} \quad u_0 = 20.\] Les parties A et B de cet exercice peuvent être traitées de manière indépendante.

Partie A

On suppose que la température extérieure $T$ est égale à 0° C. On a donc $T = 0$.

1. Calculer les termes $u_1$ et $u_2$.
   • $u_1=0,99\times u_0=0,99\times 20+\dfrac{0}{100}=19,8$
   • $u_2=0,99\times u_1=0,99\times 19,8=19,602$
$$u_1=19,8 \text{ et } u_2=19,602$$
2. Montrer que, dans ce cas, la suite $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
pour tout entier naturel $n$ : \[u_{n+1} = 0,99 u_n + \dfrac{T}{100}=0,99u_n\quad \text{et} \quad u_0 = 20.\] La suite $\left(u_n\right)$ est donc une suite géométrique de raison 0,99 de premier terme $u_0=20$.
3. Pour tout entier naturel $n$, exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
$u_n=q^n\times u_0=20\times 0,99^n$. $$u_n=20\times 0,99^n$$
4. Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$. Justifier.
Comme $0< 0,99< 1$; on déduit $\lim\limits_{n \to +\infty} 0,99^n= 0 $ puis $\lim\limits_{n \to +\infty}20\times 0,99^n= 0 $

 

$$\text{Ainsi } \lim\limits_{n \to +\infty} u_n= 0 $$
1. 1. Résoudre dans l'ensemble des entiers naturels l'inéquation $u_n < 5$.
   $$\begin{array}{rll} u_n <5& \iff 20\times 0,99^n < 5&\\ & \iff 0,99^n <\frac{5}{20}&\\ &\iff 0,99^n < \frac{1}{4}&\\ &\iff \ln\left (0,99^n\right ) <\ln \left ( \frac{1}{4}\right )& \ln \text{est strictement croissante sur } ]0;+\infty[\\ &\iff n\ln\left (0,99 \right ) <\ln \left ( \frac{1}{4}\right )& \text{ car } \ln\left (a^n \right )=n\ln a\\ &\iff n> \dfrac{\ln \left ( \frac{1}{4}\right )}{\ln\left (0,99 \right )}&\text{ car } 0,99 <1 \text{ donc } \ln\left (0,99 \right ) <0\\ \end{array}$$ Grâce à une calculatrice, on obtient $\dfrac{\ln \left ( \frac{1}{4}\right )}{\ln\left (0,99 \right )}\approx 137,94$.
   
   
   Le vplus petit entier $n$ vérifiant $u_n < 5$ est $n=138$.
   
   
   Ainsi l'ensemble des solutions de l'inéquation $u_n < 5$ est l'ensemble des entiers naturels vérifiant $n\geq 138$.
   1. En déduire le nombre de jours à partir duquel la température intérieure est descendue en dessous de 5° C.
   $\dfrac{138}{24}=5,75$ donc la température passera en dessous de 5° C au bout de 6 jours.

 

Partie B

On suppose que la température extérieure $T$ est égale à $-15$° C. On a donc $T = - 15$.

1. Montrer que, dans ce cas, la suite $\left(u_n\right)$ est définie pour tout entier naturel $n$ par: \[u_{n+1} = 0,99 u_n - 0,15 \quad \text{et }\: u_0 = 20.\]
$$\begin{array}{rl} u_{n+1}&=0,99 u_n + \dfrac{T}{100}\quad \text{et} \quad u_0 = 20\\ &=0,99 u_n + \dfrac{15}{100}\quad \text{et} \quad u_0 = 20\\ &=0,99 u_n - 0,15 \quad \text{et }\: u_0 = 20 \end{array}$$
2. 1. Calculer les termes $u_1$ et $u_2$.
      • $u_{1} = 0,99 u_0 - 0,15=0,99 \times 20-0,15=19,65$
      • $u_{2} = 0,99 u_1 - 0,15=0,99 \times 19,65-0,15=19,3035$
   2. Dans ce cas, la suite $\left(u_n\right)$ est-elle géométrique ? Justifier la réponse.
   Si la suite $\left(u_n\right)$ était géométrique alors $\dfrac{u_2}{u_1}=\dfrac{u_1}{u_0}$;
   
   
   Or $\dfrac{u_2}{u_1}= \dfrac{19,3035}{19,65}\approx 0,9824$ et $\dfrac{u_1}{u_0}= \dfrac{19,65}{20}\approx 0,9825$.
   
   
   Donc la suite $\left(u_n\right)$ n'est pas géométrique.
3. On souhaite déterminer, à l'aide d'un algorithme, le nombre d'heures à partir duquel la température intérieure devient strictement inférieure à $5$° C. On utilise pour cela l'algorithme incomplet ci-contre dans lequel $U$ désigne un nombre réel et $N$ un nombre entier naturel. $$\begin{array}{|c|}\hline U \gets 20\\ N \gets 0\\ \text{Tant que} \ldots\\ \hspace{0.4cm} U \gets \ldots \\ \hspace{0.4cm} N \gets \ldots \\ \text{Fin Tant que} \\ \hline \end{array} $$
   1. Recopier et compléter l'algorithme.
   $$\begin{array}{|c|}\hline U \gets 20\\ N \gets 0\\ \text{Tant que} U\>5\\ \hspace{0.4cm} U \gets 0,99U-0,15 \\ \hspace{0.4cm} N \gets N+1 \\ \text{Fin Tant que} \\ \hline \end{array} $$
   2. À l'aide de la calculatrice, déterminer le nombre d'heures recherché.
   A l'aide de la calculatrice, on obtient $u_{55}\approx 5,14$ et $u_{56}\approx 4,94$.
   
   
   Suivant ce modèle, la température intérieure devient strictement inférieure à $5$° C au bout de 56 heures , soit 4 jours et 8 heures.