Baccalauréat STI2D et STL/SPCL - Polynésie juin 2019 - Correction Exercice 2

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Correction de l'exercice 2 (6 points)

Fonctions

Les parties A et B de cet exercice peuvent être traitées de manière indépendante.

Partie A

On considère la fonction $f$ définie sur $[0~;~4[$ par: \[f(x) = 10x + \ln( 4 - x) - \ln 4.\] On note $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère.

1. Calculer $f(0)$.
$f(0) = 10\times 0 + \ln( 4 ) - \ln 4=0$

 

$f(0)=0$.
1. 1. Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to 4}f(x)$.
   $\left.\begin{array}{l} \lim\limits_{x \to 4^-}~(4-x)=0^+ \\ \lim\limits_{t \to 0^+}~ \ln t=-\infty \end{array}\right\}\; \text{ par composée }\lim\limits_{x \to 4^-}~ \ln(4-x)=-\infty $
   
   
   $$\left.\begin{array}{l} \lim\limits_{x \to 4^-}~10x=40\\ \lim\limits_{x \to 4^-}~\ln(4-x)=-\infty\\ \lim\limits_{x \to 4^-}~-\ln 4= -\ln 4\end{array}\right\} \quad \text{ Par somme } \lim\limits_{x \to 4^-}~f(x)=-\infty$$
   1. En déduire que la courbe $\mathcal{C}_f$ admet une asymptote dont on précisera une équation.
   $\displaystyle\lim_{x\rightarrow 4^-}f(x)=-\infty$, donc la droite d'équation $x=4$ est asymptote verticale à $\mathcal{C}_f$.
2. 1. On appelle $f'$ la fonction dérivée de $f$ sur l'intervalle $[0~;~4[$. Montrer que, pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $[0~;~4[$, on a: $f'(x) = \dfrac{39 - 10x}{4 - x}$.
   \[f(x) = 10x + \ln( 4 - x) - \ln 4.\] donc $$\begin{array}{rll} f'(x)&=10+\dfrac{-1}{4-x} &\text{ car } \left (\ln u\right )'= \dfrac{u'}{u}\\ &&\\ & =10+\dfrac{1}{x-4}&\\ &&\\ &=\dfrac{10(x-4)}{x-4}+\dfrac{1}{x-4}&\\ &&\\ &=\dfrac{10x-40+1}{x-4}&\\ &&\\ &=\dfrac{10x-39}{x-4}&\\ &&\\ &= \dfrac{39 - 10x}{4 - x}&\\ \end{array}$$ Ainsi, pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $[0~;~4[$, on a: $f'(x) = \dfrac{39 - 10x}{4 - x}$.
   2. Étudier le signe de $f'(x)$ pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $[0~;~4[$.
   Pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $[0~;~4[$, on a $4-x>0$, donc $f'(x)$ a le signe de $39-10x$. $$\begin{array}{llcrl} f'(x)=0&\iff 39-10x=0 &&f'(x) >0&\iff 39-10x>0\\ & \iff 10x=39&&&\iff 39 >10x\\ &\iff x=\dfrac{39}{10}&&&\iff x< \dfrac{39}{10} \end{array}$$
   3. Justifier que la fonction $f$ atteint un maximum en 3,9. Donner une valeur approchée au dixième de ce maximum.
   On déduit le tableau de variation de $f$ sur l'intervalle $[0~;~4[$.
   
   
   
   la fonction $f$ atteint ainsi un maximum en $\dfrac{39}{10}=3,9$ qui vaut $f(3,9)$ $$\begin{array}{rl} f(3,9) &= 10\times 3,9 + \ln( 4 - 3,9) - \ln 4 \\ & =39+\ln(0,1)-\ln 4\\ &=39-\ln\left (40\right )\\ &\approx 35,3 \end{array}$$ La fonction $f$ atteint un maximum en 3,9 qui vaut $f(3,9)\approx 35,3$.

 

Partie B

Un constructeur de voitures électriques affirme que ses modèles peuvent atteindre la vitesse de $100$ km.h$^{-1}$ en moins de $3$ secondes. Pour vérifier cette affirmation, des journalistes ont testé une de ces voitures en réalisant l'essai suivant :

• dans un premier temps, augmentation de la vitesse de 0 à $35,3$ m.s$^{-1}$ (soit environ $127$ km.h$^{-1}$) en $3,9$ s ;
• dans un deuxième temps, stabilisation de la vitesse à $35,3$ m.s$^{-1}$.

L'évolution de la vitesse en fonction du temps est représentée par le graphique ci-dessous:

Durant la phase d'accélération, la vitesse de la voiture est modélisée par la fonction $f$ étudiée dans la partie A et définie par : \[f(t) = 10t + \ln(4 - t) - \ln 4 \quad \text{avec }\:t \in [0~;~3,9]\] où $t$ est exprimé en seconde et $f(t)$ est exprimée en m.s$^{-1}$.

1. 1. Calculer $f(3)$.
   $$f(3) = 10\times 3 + \ln(1) - \ln 4=30-\ln 4$$
   2. L'affirmation du constructeur est-elle vérifiée ?
   Au bout de 3 secondes la vitesse est donc $(30-\ln 4)$m.s$^{-1}$, (soit environ $(30-\ln 4)\times 3600\times 10^{-3}\approx 103$ km.h$^{-1}$).
   
   
   L'affirmation du constructeur est donc vérifiée.
2. La distance $D$, exprimée en mètre, parcourue durant la phase d'accélération est donnée par la formule : $D = \displaystyle\int_0^{3,9} f(t)\: \text{d}t$.
   1. On considère la fonction $F$ définie sur $[0~;~3,9]$ par: \[F(t) = 5 t^2 - t + (t - 4)\left [\ln ( 4 - t) - \ln 4 \right].\] Montrer que la fonction $F$ est une primitive de $f$.
   $F$ est une primitive de $f$ ssi $F'=f$
   
   
   $$\begin{array}{rll} F'(t)&= 5\times 2t -1+ 1\times \left [\ln ( 4 - t) - \ln 4 \right] +(t-4)\times \dfrac{-1}{4-t} & \text{ car } (uv)'=u'v+v'u\\ & =10t -1+ \ln ( 4 - t) - \ln 4+1&\\ &=10t + \ln ( 4 - t) -\ln 4&\\ &=f(t) \end{array}$$ Ainsi $F$ est une primitive de $f$ .
   1. Calculer la distance $D$ arrondie au dixième.
   $$\begin{array}{rl|crl} D &= \displaystyle\int_0^{3,9} f(t)\: \text{d}t &&&\\ &=\left [F(t)\right ] _0^{3,9}&&&\\ &=F(3,9)-F(0)&&&\\ F(3,9)&=5 \times 3,9^2 -3,9 + (3,9 - 4)\left [\ln ( 4 - 3,9) - \ln 4 \right] &F(0)&= 5 \times 0^2 - 0 + (0 - 4)\left [\ln 4 - \ln 4 \right]. \\ &=72,15-0,1\times \left (\ln ( 0,1) - \ln 4\right )&&=0\\ & =72,15+0,1\ln(40)&&\\ \end{array}$$ $$D=72,15+0,1\ln(40)\approx 72,5$$