Baccalauréat STI2D et STL/SPCL - Polynésie juin 2019 - Exercice 4

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Exercice 4 5 points

Probabilités

Cet exercice est composé de quatre affirmations indépendantes. Pour chacune d'entre elles, préciser si elle est juste ou fausse. Les réponses doivent être justifiées. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

Une nouvelle gamme de téléphones portables est à l'étude.

1. La durée de fonctionnement, exprimée en jour, du processeur de ce téléphone portable est modélisée par une variable aléatoire $X$ qui suit la loi exponentielle dont l'espérance est égale à $1~0000$ jours. La durée de garantie légale du téléphone portable est de $2$ ans, soit $730~$jours.
   AFFIRMATION 1 : La probabilité que le processeur s'arrête de fonctionner durant la période de garantie est égale à $\text{e}^{-0.073}$.
2. Pour anticiper la charge de travail du service après-vente, des tests ont été effectués en vue d'estimer le temps de réparation d'un téléphone sous garantie. Ce temps, exprimé en minute, peut être modélisé par une variable aléatoire $T$ qui suit la loi normale d'espérance $\mu = 50$ et d'écart-type $\sigma = 7$.
   AFFIRMATION 2 : La probabilité, arrondie au millième, que le temps de réparation T soit inférieur à 1 heure est $0,923$.
3. Une amélioration technique a été apportée. Désormais, la probabilité qu'un téléphone soit réparable en moins d'une heure est estimée à $p = 0,97$. Un atelier du service après-vente prévoit de réparer $200$ téléphones portables. On s'intéresse aux échantillons constitués, aléatoirement, de $200$ téléphones portables à réparer.
   AFFIRMATION 3 : Pour de tels échantillons, en arrondissant les bornes au millième, l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % de la proportion de téléphones réparables en moins d'une heure est $[0,946~;~ 0,994]$.
4. Un fabricant de processeurs pour téléphone portable certifie que, dans son stock, la probabilité qu'un processeur neuf soit défectueux est $p = 0,0001 $. On désigne par $Y$ la variable aléatoire correspondant au nombre de processeurs défectueux dans un lot de $200$ prélevés au hasard. Le stock est suffisamment important pour assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise. Ainsi, la variable aléatoire $Y$ suit la loi binomiale de paramètres $n = 200$ et $p = 0,0001 $.
   AFFIRMATION 4 : La probabilité, arrondie au millième, qu'il n'y ait aucun processeur défectueux dans un lot de $200$ processeurs est égale à $0,980$.