Maths Expertes en T^ales G^ales
Un survol du programme

I Arithmétique

1. La science des nombres
   • L’arithmétique a pris naissance dans l’Antiquité, à l’époque de Pythagore. Elle se propose d’étudier les relations entre les nombres, plus particulièrement les nombres entiers.
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     L’arithmétique a donné naissance à la théorie des nombres, branche fondamentale des mathématiques, qui a beaucoup d’applications encore aujourd’hui.
   • Cette année, nous étudierons les principes fondamentaux de l’arithmétique. Nous aurons l’occasion d’aborder des raisonnements plus abstraits que dans la partie obligatoire, d’entrevoir de nouvelles méthodes de démonstration, plus proches de celles qu’on pratique dans le supérieur. Nous aurons l’occasion de pratiquer l’algorithmique, sur calculatrice ou ordinateur et de travailler sur des problèmes de codage, cryptographie...
2. D’ Euclide à Bézout
   • Divisibilité dans $\mathbb Z$
   • Division euclidienne
   • Congruences
   • PGCD et algorithme d’Euclide
   • Théorème de Bézout
   • Nombres premiers
3. Des problèmes
   • Quel jour de la semaine était-on le 14 juillet 1789?
     
   • Comprendre certains codes
     
4. Les nombres premiers
   • Un nombre est premier s’il n’est divisible que par 1 et par lui-même.
   • Les premiers nombres premiers sont : 2,3,5,7,11. . . .
   • 33 n’est pas premier puisque $33 =3\times 11$.
   • Les nombres premiers jouent un rôle fondamental en arithmétique. Ce sont "les briques" qui permettent de construire tous les autres nombres. Par exemple $90 = 2\times 3 \times 3\times 5$.
   • Les nombres premiers ont toujours passionné les mathématiciens. Aujourd’hui encore beaucoup de conjectures sur ces nombres n’ont pas été démontrées
     • Par exemple, la conjecture de Goldbach (1742) :
       
     • Ou encore, la conjecture sur les nombres premiers jumeaux (nombres premiers qui ne diffèrent que de 2 comme par exemple 3 et 5 ou 41 et 43) : La conjecture des nombres premiers jumeaux affirme qu’il existe une infinité de nombres premiers jumeaux
     • Citons aussi l’hypothèse de Riemann (1859) qui demeure l’un des problèmes non résolus les plus importants des mathématiques du début du XXIe siècle. Une récompense d’un million de dollars sera attribuée à celui ou celle qui la démontrera.
       
5. La cryptographie
   • Nous mettrons en oeuvre des algorithmes permettant de tester si un nombre est premier, de décomposer un nombre en produit de facteurs premiers.
   • Ces algorithmes ont des limites puisque si le nombre est très gros, les temps de calcul sont prohibitifs.
   • Partant de ce constat, trois mathématiciens (Ronald Rivest, Adi Shamir et Leonard Adleman) ont mis au point en 1978, une méthode de cryptage baptisée RSA basée sur des notions d’arithmétique. Elle est encore utilisée aujourd’hui (transactions bancaires par exemple).
     
   • Nous étudierons cet algorithme en fin d’année puisqu’il utilise beaucoup de notions au programme.