Baccalauréat S Métropole 20 juin 2013 - Correction Exercice 4

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Correction de l'exercice 4 (5 points)

Candidats N'AYANT PAS SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

Soit la suite numérique $(u_n)$ définie sur $\mathbb{N}$ par:
$u_0=2$ et pour tout entier naturel $n, u_{n+1}=\dfrac{2}{3} u_n+\dfrac{1}{3}n+1.$

1. 1. Calculer $u_1, u_2, u_3$ et $u_4$. On pourra en donner des valeurs approchées à $10^{-2}$ près.
      
      • $n=0$ dans la relation : $u_{n+1}=\dfrac{2}{3} u_n+\dfrac{1}{3}n+1$ donne $u_1=\dfrac{2}{3} u_0+\dfrac{1}{3}\times 0+1=\dfrac{2}{3} \times 2+1=\dfrac{7}{3}\approx 2,33$
      • $n=1$ donne $u_2=\dfrac{2}{3} u_1+\dfrac{1}{3}\times 1+1=\dfrac{2}{3} \times \dfrac{7}{3}+\dfrac{1}{3}+1=\dfrac{14}{9}+\dfrac{4}{3}=\dfrac{26}{9}\approx 2,89$
      • $n=2$ donne $u_3=\dfrac{2}{3} u_2+\dfrac{1}{3}\times 2+1=\dfrac{2}{3} \times \dfrac{26}{9}+\dfrac{5}{3} =\dfrac{52}{27}+\dfrac{45}{27}=\dfrac{97}{27}\approx 3,59$
      • $n=3$ donne $u_4=\dfrac{2}{3} u_3+\dfrac{1}{3}\times 3+1=\dfrac{2}{3} \times \dfrac{97}{27}+2 =\dfrac{194}{81}+\dfrac{162}{81}=\dfrac{356}{81}\approx 4,40$
   2. Formuler une conjecture sur le sens de variation de cette suite.
      Au vu des premiers termes, la suite $(u_n)$ semble strictement croissante.
2. 1. Démontrer que pour tout entier naturel $n,u_n \leq n+3$.
      notons $P(n)$ la propriété $u_n \leq n+3$:
      • Initialisation : $u_0=2$ et $2\leq 3$ donc $P(0)$ est vraie.
      • Hérédité : Soit $p\geq0$, on suppose que: $u_p\leq p+3~(HR)$
        On doit prouver que : $u_{p+1}\leq (p+1)+3$, c'est-à-dire $u_{p+1}\leq p+4$.
        On utilise la relation $u_{p+1}=\dfrac{2}{3} u_p+\dfrac{1}{3}p+1$
        En multipliant par $\dfrac{2}{3}>0$ de part et d'autre dans $(HR)$, on obtient : $\dfrac{2}{3} u_p\leq \dfrac{2}{3}\left (p+3~\right )$.
        En ajoutant $\dfrac{1}{3}p+1$ de part et d'autre :
        $\dfrac{2}{3} u_p +\dfrac{1}{3}p+1\leq \dfrac{2}{3}\left (p+3~\right )+\dfrac{1}{3}p+1$.
        soit $u_{p+1}\leq \dfrac{2}{3}p+2+\dfrac{1}{3}p+1$
        c'est-à-dire :$u_{p+1}\leq p+3\leq p+4$
      • Conclusion : Le principe de récurrence s'appliquant, on a pour tout entier $n\geq 0 ;u_n\leq n+3$
   2. Démontrer que pour tout entier naturel $n, u_{n+}1-u_n=\dfrac{1}{3}\left (n+3-u_n\right )$.
      $u_{n+1} -u_n=\dfrac{2}{3} u_n+\dfrac{1}{3}n+1-u_n=-\dfrac{1}{3} u_n+\dfrac{1}{3}n+1=\dfrac{1}{3}\left (n+3-u_n\right )$
   3. En déduire une validation de la conjecture précédente.
      D'après 2.a., pour tout $n\geq 0$, $u_n\leq n+3$
      donc $n+3-u_n\geq 0$
      puis en multipliant par $\dfrac{1}{3}>0$ , on obtient $\dfrac{1}{3}\left (n+3-u_n\right )\geq 0$
      donc pour tout entier $n\geq 0$ , on a $u_{n+1} -u_n\geq 0$, On a donc prouvé que la suite $(u_n)$ est croissante.
3. On désigne par $(v_n)$ la suite définie sur $\mathbb{N}$ par $v_n=u_n-n$.
   1. Démontrer que la suite $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $\dfrac{2}{3}$.
      Pour tout $n\geq 0,v_{n+1}=u_{n+1}-(n+1)= \dfrac{2}{3} u_n+\dfrac{1}{3}n+1-n-1=\dfrac{2}{3} u_n-\dfrac{2}{3}n=\dfrac{2}{3} \left (u_n-n\right )=\dfrac{2}{3}v_n$
      Ayant pour tout entier naturel $n; v_{n+1}=\dfrac{2}{3}v_n$ : la suite $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $\dfrac{2}{3}$.
   2. En déduire que pour tout entier naturel $n, u_n=2\left (\dfrac{2}{3}\right )^n+n$.
      Comme $(v_n)$ est géométrique de raison $\dfrac{2}{3}$, et de plus $v_0=u_0-0=2$;
      on a pour tout $n\geq 0, v_n=q^n \times v_0=\left (\dfrac{2}{3}\right )^n\times 2$
      De $v_n=u_n-n$ on déduit :$u_n=v_n+n=2\left (\dfrac{2}{3}\right )^n+n$
   3. Déterminer la limite de la suite $(u_n)$.
      $\left.\begin{array}{l} \lim\limits_{n \to +\infty}~2\left (\dfrac{2}{3}\right )^n=0\\ \lim\limits_{n \to +\infty}~n=+\infty \end{array}\right\}$ par somme on obtient: $\lim\limits_{n \to +\infty}~u_n=+\infty$.
      On a utilisé la limite de référence :$\lim\limits_{n \to +\infty}q^n=0$ si $-1<q<1$

    

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