Baccalauréat S Métropole 19 juin 2014 - Exercice 4
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Exercice 4 5 points
Dans l'espace, on considère un tétraèdre ABCD dont les faces ABC, ACD et ABD sont des triangles rectangles et isocèles en A. On désigne par E, F et G les milieux respectifs des côtés [AB], [BC] et [CA]. On choisit AB pour unité de longueur et on se place dans le repère orthonormé $\left(\text{A}~;~\vec{\text{AB}}, \vec{\text{AC}}, \vec{\text{AD}}\right)$ de l'espace.
- On désigne par $\mathcal{P}$ le plan qui passe par A et qui est orthogonal à la droite (DF). On note H le point d'intersection du plan $\mathcal{P}$ et de la droite (DF).
- Donner les coordonnées des points D et F.
- Donner une représentation para métrique de la droite (DF).
- Déterminer une équation cartésienne du plan $\mathcal{P}$.
- Calculer les coordonnées du point H.
- Démontrer que l'angle $\widehat{\text{EHG}}$ est un angle droit.
- On désigne par $M$ un point de la droite (DF) et par $t$ le réel tel que $\vec{\text{D}M} = t\vec{\text{DF}}$. On note $\alpha$ la mesure en radians de l'angle géométrique $\widehat{\text{E}M\text{G}}$. Le but de cette question est de déterminer la position du point $M$ pour que $\alpha$ soit maximale.
- Démontrer que $M\text{E}^2 = \dfrac{3}{2}t^2 - \dfrac{5}{2}t + \dfrac{5}{4}$.
- Démontrer que le triangle $M$EG est isocèle en $M$. En déduire que $M\text{E}\sin \left(\dfrac{\alpha}{2} \right) = \dfrac{1}{2\sqrt{2}}$.
- Justifier que $\alpha$ est maximale si et seulement si $\sin \left(\dfrac{\alpha}{2} \right)$ est maximal. En déduire que $\alpha$ est maximale si et seulement si $M\text{E}^2$ est minimal.
- Conclure.
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