DM 02 TS4

Les suites en action !
Exercice 1

Récurrence...

  1. Démontrer que :$$ \ \forall n\in \mathbb{N}^{\star} :~1\times2+2\times 3+\cdots+n\times(n+1)=\dfrac{n(n+1)(n+2)}{3} $$
  2. Démontrer que :$$ \ \forall n\geq 6 : ~ 2^{n}\geq 6n + 7.$$

Exercice 2

Une suite ...

  1. On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=1$ et, pour
    tout entier naturel $n$:
    $$ u_{n+1}=\frac{1}{3}u_n+4$$

    On pose, pour tout entier naturel $n$, $v_n=u_n-6$.
    1. Pour tout nombre entier naturel $n$, calculer $v_{n+1}$ en
      fonction de $v_n$.
    2. Quelle est la nature de la suite $(v_n)$ ?
    3. Démontrer que pour tout entier naturel $n$:
      $$ u_n=-5\left(\frac{1}{3}\right)^n+6.$$
  2. Etudier la convergence de la suite $(u_n)$.
  3. On considère la suite $(w_n)$ dont les termes vérifient,
    pour tout nombre entier $n\geq 1$:
    \[ n w_n = (n+1)w_{n-1}+1 \ \mbox{ et } \ w_0=1\ .
    \]


    Le tableau suivant donne les premiers termes de cette suite:
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline w_0 & w_1 & w_2 & w_3 & w_4 & w_5 & w_6 & w_7 & w_8 & w_9 \\ \hline 1 & 3 & 5 & 7 & 9 & 11 & 13 & 15 & 17 & 19 \\ \hline \end{array} $$
    1. Détailler le calcul permettant d'obtenir $w_{10}$.

    2. Dans cette question toute trace de recherche, même
      incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en
      compte dans l'évaluation.
      Donner la nature de la suite $(w_n)$. Calculer $w_{2019}$.
Exercice 3

Une fonction

$f$ est la fonction définie sur $\mathbb{R}\setminus\{-2;0\}$ par $f(x)=\dfrac{(x+1)^2}{x^2+2x}$.
On note $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative.
  1. Calculer $f'(x)$ et dresser le tableau de variation de $f$.
  2. Déterminer l'équation réduite de la tangente $T$ à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse 3.
  3. Tracer dans un repère les asymptotes de $\mathcal{C}_f$ et l'allure de $\mathcal{C}_f$ et $T$.
Exercice 4

Une suite

Soit $\left(u_n\right)$ la suite définie par $u_0=6$, $u_1=1$ et la relation de récurrence $u_{n+2}=5u_{n+1}-6u_n$ pour tout entier naturel $n$.
  1. On cherche deux réels $\alpha$ et $\beta$ distincts tels que les suites $\left(v_n\right)$ et $\left(w_n\right)$ définies par $v_n=u_{n+1}-\alpha u_n$ et $w_n=u_{n+1}-\beta u_n$ soient des suites géométriques de raisons respectives $\beta$ et $\alpha$.
    1. Montrer que $\alpha$ et $\beta$ sont les solutions de l'équation $x^2=5x-6$.
    2. En déduire les valeurs de $\alpha$ et $\beta$ (on prendra $\alpha<\beta$).
    1. Démontrer que $v_n=-11\times 3^n$ pour tout entier naturel $n$.
    2. Déterminer l'expression du terme général $w_n$.
  3. En déduire l'expression du terme général de la suite $\left(u_n\right)$.

Une question ?

Poster sur le forum !

Rechercher