Rédigé par Luc Giraud le . Publié dans Annales STI2D 2013.

Baccalauréat STI2D Polynésie 2013

Exercice 1 4 points


QCM

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM).
Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est exacte.
Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.
Il sera attribué un point si la réponse est exacte.
Aucun point ne sera enlevé en cas de réponse incorrecte ou d'absence de réponse.

On considère le nombre complexe $z=2 \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\frac{\pi}{4}}$ où i est le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.

  1. Le carré de $z$ est égal à :
    1. $- 4 \text{i}$
    2. $- 4$
    3. $-2\mathrm{i}$
    4. $4$
  2. L'inverse de $z$ est égal à :
    1. $\dfrac{1}{2}\mathrm{e}^{- \mathrm{i}\frac{\pi}{4}}$
    2. $- 2\mathrm{e}^{- \mathrm{i}\frac{\pi}{4}}$
    3. $2\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{\pi}{4}}$
    4. $\dfrac{1}{2}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{\pi}{4}}$
  3. L'équation différentielle $y''+ 4 y = 0$ admet pour solution la fonction $f$ définie, pour tout réel $x$, par :
    1. $f(x) = 2 \sin \left(x + \dfrac{\pi}{2}\right)$
    2. $f(x) = 5\sin \left(2x + \dfrac{\pi}{3}\right)$
    3. $f(x) = 4 \sin \left( x + \dfrac{\pi}{4}\right)$
    4. $f(x) = \sin \left(4x + \dfrac{\pi}{2}\right)$
  4. On observe la durée de fonctionnement, exprimée en années, d'un appareil électroménager jusqu'à ce que survienne la première panne. Cette durée de fonctionnement est modélisée par une variable aléatoire $X$, suivant la loi exponentielle de paramètre $\lambda = 0,2$. La probabilité que le moteur fonctionne sans panne pendant plus de 8ans est au centième près :
    1. $0, 18$
    2. $0,20$
    3. $0,71$
    4. $0,80$

Correction de l'exercice 1 (4 points)


QCM

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM).
Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est exacte.
Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.
Il sera attribué un point si la réponse est exacte.
Aucun point ne sera enlevé en cas de réponse incorrecte ou d'absence de réponse.

On considère le nombre complexe $z=2 \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\frac{\pi}{4}}$ où i est le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.

  1. Le carré de $z$ est égal à :
    1. $- 4 \text{i}$
    2. $- 4$
    3. $-2\mathrm{i}$
    4. $4$
    2. $z = 2\text{e}^{- \text{i}\frac{\pi}{4}} $ ainsi $z^2 = \left(2\text{e}^{- \text{i}\frac{\pi}{4}} \right)^2 = 4 \text{e}^{- \text{i}\frac{\pi}{2}} = 4 \times (- \text{i}) = - 4\text{i}$.
    Réponse a.
  2. L'inverse de $z$ est égal à :
    1. $\dfrac{1}{2}\mathrm{e}^{- \mathrm{i}\frac{\pi}{4}}$
    2. $- 2\mathrm{e}^{- \mathrm{i}\frac{\pi}{4}}$
    3. $2\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{\pi}{4}}$
    4. $\dfrac{1}{2}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{\pi}{4}}$
    3. L'inverse de $z$ est égal à : $\dfrac{1}{z} = \dfrac{1}{2\text{e}^{- \text{i}\frac{\pi}{4}}} = \dfrac{1}{2}\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}}$.
    Réponse d.
  3. L'équation différentielle $y''+ 4 y = 0$ admet pour solution la fonction $f$ définie, pour tout réel $x$, par :
    1. $f(x) = 2 \sin \left(x + \dfrac{\pi}{2}\right)$
    2. $f(x) = 5\sin \left(2x + \dfrac{\pi}{3}\right)$
    3. $f(x) = 4 \sin \left( x + \dfrac{\pi}{4}\right)$
    4. $f(x) = \sin \left(4x + \dfrac{\pi}{2}\right)$
    4. L'équation différentielle $y''+ 4 y = 0$ est du type $y''+ \omega ^2 y = 0$ où $\omega =2$
    La solution générale de cettée équation différentielle est donc $$y =A\cos(2x)+B\sin (2x)$$ Or la fonction $f$ définie par $f(x) = 5\sin \left(2x + \dfrac{\pi}{3}\right)$ est bien de ce type : $$\begin{array}{ll} f(x) &= 5\sin \left(2x + \dfrac{\pi}{3}\right)\\ &= 5\left[\sin(2x) \cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)+ \cos(2x) \sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right)\right]\\ &= \frac{5}{2}\sin(2x)+ \frac{5\sqrt {3}}{2}\cos(2x)\end{array}$$
    La réponse est donc b.
  4. On observe la durée de fonctionnement, exprimée en années, d'un appareil électroménager jusqu'à ce que survienne la première panne. Cette durée de fonctionnement est modélisée par une variable aléatoire $X$, suivant la loi exponentielle de paramètre $\lambda = 0,2$. La probabilité que le moteur fonctionne sans panne pendant plus de 8ans est au centième près :
    1. $0, 18$
    2. $0,20$
    3. $0,71$
    4. $0,80$
    5. On a $ p(X \geqslant 8) = 1 - p(X < 8) $ Or $ p(X < 8) = \displaystyle\int_0^8 \lambda\text{e}^{- \lambda t}\:\text{d}t = \left[- \text{e}^{- \lambda t} \right]_0^8 = - \text{e}^{- 8\lambda} + 1$ .
    Donc $p(X \geqslant 8) = 1 - \left(- \text{e}^{- 8\lambda} + 1 \right) = \text{e}^{- 8\lambda} = \text{e}^{- 8 \times 0,2} = \text{e}^{- 1,6} \approx 0,20$.
    Réponse b.

Exercice 2 5 points


Suites

On considère la suite numérique $\left(u_{n}\right)$ définie par : \[u_{0} = 8\quad \text{et, pour tout entier naturel }\:n,\:\: u_{n+1} = 0,4 u_{n} + 3.\]

  1. Calculer $u_{1}$ et $u_{2}$. On utilise un tableur pour calculer les premiers termes de cette suite. Une copie d'écran sur laquelle les termes $u_{1}$ et $u_{2}$ ont été effacés est donnée en annexe ci-dessous.
    Annexe
    $$\begin{array}{|c|c|c|}\hline &\text{A }& \text{B }\\ \hline 1 & n & u(n) \\ \hline 2 &0 &8\\ \hline 3 &1 &\\ \hline 4 &2 & \\ \hline 5 &3 &5,192\\ \hline 6 &4 &5,07681\\ \hline 7 &5 &5,03072\\ \hline 8 &6 &5,012288\\ \hline 9 &7 &5,0049152\\ \hline 10 &8 &5,00196608\\ \hline 11 &9 &5,00078643\\ \hline 12 &10 &5,00031457\\ \hline 13 &11 &5,00012583 \\ \hline 14 &12 &5,00005033\\ \hline 15 &13 &5,00002013\\ \hline 16 &14 &5,00000305\\ \hline 17 &15 &5,00000322\\ \hline 18 &16 &5,00000129\\ \hline 19 &17 &5,00000052\\ \hline 20 &18 &5,00000021 \\ \hline\end{array}$$
  2. Quelle formule a-t-on pu saisir dans la cellule B3 de la feuille de calcul afin d'obtenir les premiers termes de cette suite par recopie vers le bas ?
  3. En utilisant cette copie d'écran, que peut-on conjecturer sur la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$ ?
  4. On considère l'algorithme suivant : $$\begin{array}{|l l|}\hline &\text{Les variables sont l'entier naturel} N \text{ et le réel } U. \\ \text{Initialisation } :& \text{Affecter à } N \text{ la valeur } 0 \\ &\text{ Affecter à } U \text{ la valeur } 8\\ \text{ Traitement :}& \text{ TANT QUE } \text{U} - 5 > 0,01 \\ & \text{ Affecter à } N \text{ la valeur } N + 1\\ & \text{ Affecter à } U \text{ la valeur } 0,4\text{U} + 3 \\ & \text{ Fin TANT QUE}\\ \text{Sortie :}&\text{ Afficher } N\\ \hline \end{array}$$ Par rapport à la suite $\left(u_{n}\right)$, quelle est la signification de l'entier N affiché ?
  5. On considère la suite $\left(v_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$, par $v_{n} = u_{n} - 5$. On admet que la suite $\left(v_{n}\right)$ est géométrique de premier terme $v_{0} = 3$ et de raison $0,4$.
    1. Exprimer $v_{n}$ en fonction de $n$.
    2. Déterminer la limite de la suite $\left(v_{n}\right)$.
    3. Le résultat précédent permet-il de valider la conjecture faite à la question 3 ? Pourquoi ?

 


Correction de l'exercice 2 (5 points)


Suites

On considère la suite numérique $\left(u_{n}\right)$ définie par : \[u_{0} = 8\quad \text{et, pour tout entier naturel }\:n,\:\: u_{n+1} = 0,4 u_{n} + 3.\]

  1. Calculer $u_{1}$ et $u_{2}$. On utilise un tableur pour calculer les premiers termes de cette suite. Une copie d'écran sur laquelle les termes $u_{1}$ et $u_{2}$ ont été effacés est donnée en annexe ci-dessous.
    Annexe
    $$\begin{array}{|c|c|c|}\hline &\text{A }& \text{B }\\ \hline 1 & n & u(n) \\ \hline 2 &0 &8\\ \hline 3 &1 &\\ \hline 4 &2 & \\ \hline 5 &3 &5,192\\ \hline 6 &4 &5,07681\\ \hline 7 &5 &5,03072\\ \hline 8 &6 &5,012288\\ \hline 9 &7 &5,0049152\\ \hline 10 &8 &5,00196608\\ \hline 11 &9 &5,00078643\\ \hline 12 &10 &5,00031457\\ \hline 13 &11 &5,00012583 \\ \hline 14 &12 &5,00005033\\ \hline 15 &13 &5,00002013\\ \hline 16 &14 &5,00000305\\ \hline 17 &15 &5,00000322\\ \hline 18 &16 &5,00000129\\ \hline 19 &17 &5,00000052\\ \hline 20 &18 &5,00000021 \\ \hline\end{array}$$
    2. $u_1 = 0,4 \times 8 + 3 = 6,2$.
    $u_2 = 0,4 \times 6,2 + 3 = 5,48$.
  2. Quelle formule a-t-on pu saisir dans la cellule B3 de la feuille de calcul afin d'obtenir les premiers termes de cette suite par recopie vers le bas ?
    3. Dans la cellule B3, on saisit =0,4*B2+3.
  3. En utilisant cette copie d'écran, que peut-on conjecturer sur la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$ ?
    4. Il semble que la suite soit décroissante et converge vers 5.
  4. On considère l'algorithme suivant : $$\begin{array}{|l l|}\hline &\text{Les variables sont l'entier naturel} N \text{ et le réel } U. \\ \text{Initialisation } :& \text{Affecter à } N \text{ la valeur } 0 \\ &\text{ Affecter à } U \text{ la valeur } 8\\ \text{ Traitement :}& \text{ TANT QUE } \text{U} - 5 > 0,01 \\ & \text{ Affecter à } N \text{ la valeur } N + 1\\ & \text{ Affecter à } U \text{ la valeur } 0,4\text{U} + 3 \\ & \text{ Fin TANT QUE}\\ \text{Sortie :}&\text{ Afficher } N\\ \hline \end{array}$$ Par rapport à la suite $\left(u_{n}\right)$, quelle est la signification de l'entier N affiché ?
    5. L'entier N représente le rang de chaque terme de la suite, soit $n$.
  5. On considère la suite $\left(v_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$, par $v_{n} = u_{n} - 5$. On admet que la suite $\left(v_{n}\right)$ est géométrique de premier terme $v_{0} = 3$ et de raison $0,4$.
    1. Exprimer $v_{n}$ en fonction de $n$.
      2. Puisque $\left(v_{n}\right)$ est une suite géométrique $v_n = v_0 \times q^n = 3 \times 0,4^n$.
    2. Déterminer la limite de la suite $\left(v_{n}\right)$.
      3. Comme $0 < 0,4 < 1$, on sait que $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} 0,4^n = 0$. Donc la limite de la suite $\left(v_{n}\right)$ est égale à $0$.
    3. Le résultat précédent permet-il de valider la conjecture faite à la question 3 ? Pourquoi ?
      4. Puisque $v_n = u_n - 5$ et que $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} v_n = \displaystyle\lim_{n \to + \infty} u_n - 5 = 0$, on a donc $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} u_n = 5$. La conjecture faite à la question 3 est validée.

 


Exercice 3 4 points


Equations différentielles

La grand-mère de Théo sort un gratin du four, le plat étant alors à 100° C. Elle conseille à son petit-fils de ne pas le toucher afin de ne pas se brûler, et de laisser le plat se refroidir dans la cuisine dont la température ambiante est supposée constante à 20° C. Théo lui rétorque que quand il sera à 37° C il pourra le toucher sans risque ; et sa grand-mère lui répond qu'il lui faudra attendre 30 minutes pour cela. La température du plat est donnée par une fonction $g$ du temps $t$, exprimé en minutes, qui est solution de l'équation différentielle $(E)\quad y' +0,04y = 0,8$.

  1. Résoudre l'équation différentielle $(E)$ et donner sa solution particulière $g$ définie par la condition initiale $g(0) = 100$.
  2. En utilisant l'expression de $g(t)$ trouvée :
    1. La grand-mère de Théo a-t-elle bien évalué le temps nécessaire pour atteindre 37° C ?
    2. Quelle est la valeur exacte du temps nécessaire pour obtenir cette température ? En donner une valeur arrondie à la seconde près.

 


Correction de l'exercice 3 (4 points)


Equations différentielles

La grand-mère de Théo sort un gratin du four, le plat étant alors à 100° C. Elle conseille à son petit-fils de ne pas le toucher afin de ne pas se brûler, et de laisser le plat se refroidir dans la cuisine dont la température ambiante est supposée constante à 20° C. Théo lui rétorque que quand il sera à 37° C il pourra le toucher sans risque ; et sa grand-mère lui répond qu'il lui faudra attendre 30 minutes pour cela. La température du plat est donnée par une fonction $g$ du temps $t$, exprimé en minutes, qui est solution de l'équation différentielle $(E)\quad y' +0,04y = 0,8$.

  1. Résoudre l'équation différentielle $(E)$ et donner sa solution particulière $g$ définie par la condition initiale $g(0) = 100$.
    2. On sait que les solutions de l'équation différentielle $y'=ay+b$ sont les fonctions :
    $x \longmapsto f(x) = K\text{e}^{ax} - \dfrac{b}{a}$
    Ici $(E)\quad y' +0,04y = 0,8$ se met sous la forme $y'=-0,04y + 0,8$ .
    Ainsi les solutions de l'équation différentielle $(E)$ sont les fonctions:
    $x \longmapsto f(x) = K\text{e}^{-0,04x} + \dfrac{0,8}{0,04} = K\text{e}^{-0,04x} +  20$, avec $K \in \mathbb R$ quelconque.
    La solution $g$ particulière vérifie $g(0) = 100$, soit $K + 20 = 100$ ou $K = 80$. On a donc $g(t) = 80\text{e}^{-0,04t} + 20 = 20 \left(1 + 4\text{e}^{-0,04t}\right)$.
  2. En utilisant l'expression de $g(t)$ trouvée :
    1. La grand-mère de Théo a-t-elle bien évalué le temps nécessaire pour atteindre 37° C ?
      2. La température après 30 min est : $g(30) = 20 \left(1 + 4\text{e}^{-0,04 \times 30}\right) = 20 20 \left(1 + 4\text{e}^{-1,2}\right) \approx 44,1$° C.
      La grand-mère a sous-évalué le temps de refroidissement.
    2. Quelle est la valeur exacte du temps nécessaire pour obtenir cette température ? En donner une valeur arrondie à la seconde près.
      3. Il faut trouver $t$ tel que $g(t) = 37$, soit $20 \left(1 + 4\text{e}^{-0,04t}\right) = 37 \iff 80\text{e}^{-0,04t} = 17 \iff \text{e}^{-0,04t} = \dfrac{17}{80}$, soiten appliquant la fonction logarithme népérien : $- 0,04t = \ln \frac{17}{80} \iff t = - \dfrac{1}{0,04}\ln \frac{17}{80} \approx 38,720$ soit 38 min et $0,72 \times 60 = 43,2$ s.

 


Exercice 4 7 points


Probabilités

Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de manière indépendante.
Les résultats seront arrondis, si nécessaire, à $10^{- 3}$ près.

Une entreprise produit en grande quantité des pièces détachées destinées à l'industrie. L'objectif de cet exercice est d'étudier l'exploitation de divers outils mathématiques pour analyser la qualité de cette production.

A : Loi normale

Une pièce est conforme lorsque sa longueur, exprimée en millimètres, appartient à l'intervalle [74,4;75,6]. On note $L$ la variable aléatoire qui, à chaque pièce prélevée au hasard dans la production, associe sa longueur. On suppose que la variable aléatoire $L$ suit la loi normale d'espérance $75$ et d'écart type $0,25$.

  1. Calculer $P(74,4 \leqslant L \leqslant 75,6)$.
  2. Quelle valeur doit-on donner à $h$ pour avoir $P(75 - h \leqslant L \leqslant 75 + h) = 0,95$ ?
B. Loi binomiale

Les pièces produites par l'entreprise sont livrées par lots de $20$. On note $D$ l'événement : « une pièce prélevée au hasard dans la production n'est pas conforme ». On suppose que $P(D) = 0,02$. On prélève au hasard $20$ pièces dans la production. La production est assez importante pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage aléatoire avec remise. On considère la variable aléatoire $X$ qui, à un lot de 20 pièces, associe le nombre de pièces non conformes qu'il contient.

  1. Justifier que la variable aléatoire $X$ suit la loi binomiale de paramètres 20 et 0,02.
  2. Calculer la probabilité $P(X = 0)$.
  3. Calculer la probabilité qu'il y ait au moins une pièce non conforme dans ce lot de 20pièces.
  4. Calculer l'espérance mathématique, $E(X)$, de cette variable aléatoire et interpréter le résultat.
C. Intervalle de fluctuation

Le cahier des charges établit que la proportion de 2$\,\% $de pièces non conformes dans la production est acceptable.

  1. Donner l'intervalle de fluctuation asymptotique à 95$\,\% $de la fréquence des pièces non conformes dans un échantillon de taille 80. On veut savoir si la machine de production est correctement réglée. Pour cela on prélève au hasard dans la production un échantillon de taille 80 dans lequel 3 pièces se révèlent être non conformes.
  2. Quelle est la fréquence des pièces non conformes dans l'échantillon prélevé ?
  3. La machine de production doit-elle être révisée ? Justifier votre réponse.

 


Exercice 4 7 points


Probabilités

Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de manière indépendante.
Les résultats seront arrondis, si nécessaire, à $10^{- 3}$ près.

Une entreprise produit en grande quantité des pièces détachées destinées à l'industrie. L'objectif de cet exercice est d'étudier l'exploitation de divers outils mathématiques pour analyser la qualité de cette production.

A : Loi normale

Une pièce est conforme lorsque sa longueur, exprimée en millimètres, appartient à l'intervalle [74,4;75,6]. On note $L$ la variable aléatoire qui, à chaque pièce prélevée au hasard dans la production, associe sa longueur. On suppose que la variable aléatoire $L$ suit la loi normale d'espérance $75$ et d'écart type $0,25$.

  1. Calculer $P(74,4 \leqslant L \leqslant 75,6)$.

    2. 2ND DISTR 2NORMALFRép( \1 , \2,\3,\4)EXE
    Avec une calculatrice de type TI

    $$NormalFR\text{é}p(\1,\2,\3,\4) \approx \5$$

    $$P(\1 \leq \6 \leq \2)\approx \5 \text{ à } 10^{-\7} \text{ près.}$$

     

  2. Quelle valeur doit-on donner à $h$ pour avoir $P(75 - h \leqslant L \leqslant 75 + h) = 0,95$ ?
    3. On sait que pour une une variable aléatoire $X$ suivant une loi normale $\mathcal{N}(\mu,\:\sigma)$ on a : $P(\mu - 2\sigma \leqslant X \leqslant \mu + 1,96\sigma) \approx 0,95$, mais en fait de façon plus précise :
    $P(\mu - 0,96\sigma \leqslant X \leqslant \mu + 2\sigma) \approx 0,95$,
    donc $P(75 - h) \leqslant L \leqslant 75 + h) = 0,95$ pour $h \approx 1,96 \sigma$, soit $h \approx 0,49$
B. Loi binomiale

Les pièces produites par l'entreprise sont livrées par lots de $20$. On note $D$ l'événement : « une pièce prélevée au hasard dans la production n'est pas conforme ». On suppose que $P(D) = 0,02$. On prélève au hasard $20$ pièces dans la production. La production est assez importante pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage aléatoire avec remise. On considère la variable aléatoire $X$ qui, à un lot de 20 pièces, associe le nombre de pièces non conformes qu'il contient.

  1. Justifier que la variable aléatoire $X$ suit la loi binomiale de paramètres 20 et 0,02.

    2. On répète $\1$  fois, de façon indépendante, l’expérience «\2 » qui comporte 2 issues :

    • « \3 » considéré comme succès, de probabilité $p=\4$
    • « \5 » considéré comme échec, de probabilité $q=1-p=\6$

    Nous sommes donc en présence d’un schéma de Bernoulli et la variable aléatoire $\7$ prenant pour valeurs le nombre de succès obtenus suit la loi binomiale de paramètres $\1$  et $\4$ notée $\mathscr{B}(\1;\4)$ .

    Pour tout entier $k$ où $0\leq k\leq \1$, on a $$P(\7=k)=\binom{\1}{k}\times \left(\4\right)^k\times\left( \6\right)^{\1-k}$$

  2. Calculer la probabilité $P(X = 0)$.
    • A la calculatrice :

       

      2ND DISTR AbinomFRép( \1 , \2,\3)EXE
      Avec une calculatrice de type TI $$binomFR\text{é}p(\1,\2,\3) \approx \4$$

      $$P( \5 \leq \3)\approx \4 \text{ à } 10^{-\6} \text{ près.}$$
    • Calcul direct :
      On a $P(X = 0) = 0,02^0 \times 0,98^{20} \approx 0,6676 $.
  3. Calculer la probabilité qu'il y ait au moins une pièce non conforme dans ce lot de 20pièces.
    4. La probabilité cherchée est $P(X \geqslant 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - 0,98^{20} \approx 0,3324 $ à $10^{- 4}$ près.
  4. Calculer l'espérance mathématique, $E(X)$, de cette variable aléatoire et interpréter le résultat.
    5. On sait que $E(X) = np = 20 \times 0,02 = 0,4$, nombre de pièces défectueuses pour 20 pièces tirées ou ce qui est plus parlant 2 pièces défectueuses pour 100 pièces tirées.
C. Intervalle de fluctuation

Le cahier des charges établit que la proportion de 2$\,\% $de pièces non conformes dans la production est acceptable.

  1. Donner l'intervalle de fluctuation asymptotique à 95$\,\% $de la fréquence des pièces non conformes dans un échantillon de taille 80. On veut savoir si la machine de production est correctement réglée. Pour cela on prélève au hasard dans la production un échantillon de taille 80 dans lequel 3 pièces se révèlent être non conformes.

    2. La proportion $p$ est égale à  $\1$. La taille  $n$  de l'échantillon considéré est égale à  $\2.$
    Comme  $ n =\2$ ,   $n \times p  $=\3  et $n\times (1-p)=\4,$ les conditions d'utilisation d'un intervalle de fluctuation asymptotique sont réunies.

    En effet on a bien : $$n \geq 30\;;\; n \times p \geq 5 \text{ et } n\times (1-p) \geq 5$$


    L'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de  $95\% $  est : $$I_{\2} = \left[\1 - 1,96\sqrt{\dfrac{\1\times \5}{\2}}~;~\1 + 1,96\sqrt{\dfrac{\1\times \5}{\2}} \right]$$ 


    on trouve l'intervalle $I_{80}\approx [- 0,010~;~0,050]$
  2. Quelle est la fréquence des pièces non conformes dans l'échantillon prélevé ?
    3. La fréquence des pièces non conformes dans l'échantillon prélevé est égale à $\dfrac{3}{80} = 0,0375$, soit 3,5$\,\%$.
  3. La machine de production doit-elle être révisée ? Justifier votre réponse.
    4. Comme 0,0375 est bien dans l'intervalle de fluctuation calculé ci-dessus on ne va pas réviser la machine.
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