BAC STI2D NOUVELLE CALÉDONIE MARS 2014

Exercice 1 4 points

Nombres complexes

  On note $\mathrm{i}$ le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.

On considère les nombres complexes $z_{1}, z_{2}$ et $z_{3}$ définis par: \[z_{1} = 1 + \mathrm{i}\sqrt{3}, \quad z_{2} = e^{- \mathrm{i}\frac{\pi}{4}}\quad \text{et} \quad z_{3} = e^{\mathrm{i}\frac{\pi}{12}}.\]

1. Déterminer l'écriture exponentielle de $z_{1}$.
2. Déterminer l'écriture algébrique de $z_{2}$.
3. Démontrer que $z_{1} \times z_{2} = 2z_{3}$.
4. En déduire l'écriture algébrique de $z_{3}$.
5. En déduire que $\cos \left(\dfrac{\pi}{12}\right) = \dfrac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ et $\sin \left(\dfrac{\pi}{12}\right) = \dfrac{- \sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$.

Exercice 1 4 points

Nombres complexes

  On note $\mathrm{i}$ le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.

On considère les nombres complexes $z_{1}, z_{2}$ et $z_{3}$ définis par: \[z_{1} = 1 + \mathrm{i}\sqrt{3}, \quad z_{2} = e^{- \mathrm{i}\frac{\pi}{4}}\quad \text{et} \quad z_{3} = e^{\mathrm{i}\frac{\pi}{12}}.\]

1. Déterminer l'écriture exponentielle de $z_{1}$.

L'écriture exponentielle d'un nombre complexe $z$ est $z=re^{i\theta}$ où $r$ est le module de $z$ et $\theta$ un argument de $z$. Le module du nombre complexe 2. Un argument $\theta$ du nombre complexe $z81=1+i\sqrt 3$ est tel que
2. Déterminer l'écriture algébrique de $z_{2}$.


3. Démontrer que $z_{1} \times z_{2} = 2z_{3}$.


4. En déduire l'écriture algébrique de $z_{3}$.


5. En déduire que $\cos \left(\dfrac{\pi}{12}\right) = \dfrac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ et $\sin \left(\dfrac{\pi}{12}\right) = \dfrac{- \sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$.

Exercice 2 4 points

Probabilités

Un groupe agricole vend des sachets de graines donnant des plantes résistantes aux maladies. Le directeur de ce groupe affirme que 92  % des sachets sont efficaces et donnent des plantes résistantes.

Dans cet exercice, les valeurs approchées seront arrondies à $10^{-2}$ près.

1. On prélève au hasard un échantillon de 100 sachets.
   1. Déterminer l'intervalle de fluctuation asymptotique à 95  % de la fréquence de sachets efficaces sur un échantillon de taille 100.
   2. Dans le prélèvement de 100 sachets, 88 donnent des plantes résistantes. Peut-on rejeter l'hypothèse du directeur ?
2. On considère la variable aléatoire $X$ qui, à tout prélèvement de 100 sachets, associe le nombre de sachets donnant des plantes résistantes.
   On admet que la variable aléatoire $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n = 100$ et $p = 0,92$.
   1. Déterminer l'espérance et l'écart type de $X$ (arrondi à 0,01 près).
   2. La variable aléatoire $X$ peut être approchée par la variable aléatoire $Y$ qui suit la loi normale d'espérance 92 et d'écart type 2,7.
      En utilisant la variable aléatoire $Y$, calculer la probabilité que le nombre de sachets donnant des plantes résistantes soit compris entre 89 et 94, c'est-à-dire calculer $P(89 \leqslant Y \leqslant 94)$.

Exercice 2 4 points

Probabilités

Un groupe agricole vend des sachets de graines donnant des plantes résistantes aux maladies. Le directeur de ce groupe affirme que 92  % des sachets sont efficaces et donnent des plantes résistantes.

Dans cet exercice, les valeurs approchées seront arrondies à $10^{-2}$ près.

1. On prélève au hasard un échantillon de 100 sachets.
   1. Déterminer l'intervalle de fluctuation asymptotique à 95  % de la fréquence de sachets efficaces sur un échantillon de taille 100.
   
   

   La proportion $p$ est égale à  $\1$. La taille  $n$  de l'échantillon considéré est égale à  $\2.$
   Comme  $ n =\2$ ,   $n \times p  $=\3  et $n\times (1-p)=\4,$ les conditions d'utilisation d'un intervalle de fluctuation asymptotique sont réunies.

   En effet on a bien : $$n \geq 30\;;\; n \times p \geq 5 \text{ et } n\times (1-p) \geq 5$$

   
   L'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de  $95\% $  est : $$I_{\2} = \left[\1 - 1,96\sqrt{\dfrac{\1\times \5}{\2}}~;~\1 + 1,96\sqrt{\dfrac{\1\times \5}{\2}} \right]$$ 

   Soit en arrondissant à 10$^{-2 }$près les bornes de l'intervalle, l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % de la fréquence de sachets efficaces sur un échantillon de taille 100 est $I=[0,870,97]$.
   2. Dans le prélèvement de 100 sachets, 88 donnent des plantes résistantes. Peut-on rejeter l'hypothèse du directeur ?
   
   La fréquence observée des plantes résistantes dans l'échantillon est $f=\dfrac{88}{100}=0,88$
   La fréquence observée appartient à l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95%, donc l'hypothèse selon laquelle 92 % des sachets sont efficaces n'est pas remise en cause.
2. On considère la variable aléatoire $X$ qui, à tout prélèvement de 100 sachets, associe le nombre de sachets donnant des plantes résistantes.
   On admet que la variable aléatoire $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n = 100$ et $p = 0,92$.
   1. Déterminer l'espérance et l'écart type de $X$ (arrondi à 0,01 près).
   
   La variable aléatoire $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=100$ et $p=0,92$ donc :
   $$E(X)=n\times p=100 \times 0,92=92  \text{ et  } \sigma(X)=\sqrt{n\times p \times q }= \sqrt{100 \times 0,92 \times 0,08}\approx 2,71$$
   2. La variable aléatoire $X$ peut être approchée par la variable aléatoire $Y$ qui suit la loi normale d'espérance 92 et d'écart type 2,7.
      En utilisant la variable aléatoire $Y$, calculer la probabilité que le nombre de sachets donnant des plantes résistantes soit compris entre 89 et 94,
      c'est-à-dire calculer $P(89 \leqslant Y \leqslant 94)$.
   
   

   2ND DISTR 2NORMALFRép( \1 , \2,\3,\4)EXE
   Avec une calculatrice de type TI

   $$NormalFR\text{é}p(\1,\2,\3,\4) \approx \5$$

   $$P(\1 \leq \6 \leq \2)\approx \5 \text{ à } 10^{-\7} \text{ près.}$$

    

Exercice 3 5 points

Suites

L'iode 131 est un produit radioactif utilisé en médecine. Il peut cependant être dangereux lorsqu'on le reçoit en grande quantité. On considère un échantillon d'une population de noyaux d'iode 131 comportant $10^6$ noyaux au début de l'observation. On considère que le nombre de noyaux diminue chaque jour de 8,3  %. On note $u_{n}$ le nombre de noyaux de cet échantillon au bout de $n$ jours. On a donc $u_{0} = 10^6$.

1. Calculer $u_{1}$ puis $u_{2}$.
2. Exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_{n}$. En déduire la nature de la suite $\left(u_{n}\right)$.
3. Exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$.
4. Déterminer à partir de combien de jours la population de noyaux aura diminué au moins de moitié.
Cette durée s'appelle la demi-vie de l'iode 131.
5. On considère l'algorithme suivant: $$\begin{array}{|c|c|c|}\hline 1 &\text{Variables :}& n \text{ et }u \text{ sont des nombres}\\ 2 &\text{Initialisation :}& \text{Affecter la valeur 0 à } n\\ 3 & & \text{ Affecter la valeur } 10^6 \text{ à } u\\ 4 &\text{Traitement :}& \text{ Tant que } u > \dfrac{10^6}{2} \\ 5 & & n \text{ prend la valeur } n + 1\\ 6 & & u \text{ prend la valeur } u \times 0,917\\ 7 & &\text{ Fin tant que }\\ 8 &\text{Sortie :} &\text{ Afficher } n\\ \hline \end{array}$$
   1. À quoi correspond la valeur $n$ en sortie de cet algorithme ?
   2. Si on programme cet algorithme, quel résultat affiche-t-il ?
   3. Pour le Césium 137, le nombre de noyaux diminue chaque année de 2,3  %. Quelles modifications faut-il apporter à l'algorithme précédent pour trouver la demi-vie du césium 137 sachant que la population au départ est de $10^8$ noyaux ?

Exercice 4 7 points

Fonctions exponentielles

Dans tout l'exercice, on désigne par $\mathbb{R}$ l'ensemble des nombres réels.

On donne ci-dessous une petite partie de la courbe représentative $\mathcal{C}$ d'une fonction $f$ définie et dérivable sur $\mathbb{R}$, dans un repère orthonormé du plan.

On note $f'$ la fonction dérivée de $f$.

La courbe $\mathcal{C}$ passe par le point $A (0 ; 5)$ et par le point $B$ d'abscisse 2.

La tangente $T_A$ à la courbe au point $A$ passe par le point $C(1 ; 1)$ et la tangente $T_B$ au point $B$ est horizontale.

Partie A

Dans ce questionnaire à choix multiples, aucune justification n'est demandée. Pour chacune des questions, une seule des réponses proposées est correcte.

Une bonne réponse rapporte $0,5$ point. Une mauvaise réponse ou l'absence de réponses n'enlève ni ne rapporte aucun point.

On notera sur la copie le numéro de la question et la réponse choisie.

1. La valeur de $f(0)$ est :
   1. $- 4$
   2. $ 4$
   3. $1,2$
   4. autre réponse
2. La valeur de $f'(0)$ est :
   1. $- 4$
   2. $ 4$
   3. $1,2$
   4. autre réponse
3. La valeur de $f'(2)$ est :
   1. $0$
   2. $ 2,1$
   3. $3$
   4. autre réponse
4. Un encadrement de $\displaystyle\int_{0}^2 f(x) \;d x$ par des entiers naturels est : est :
   1. $3 \leqslant \displaystyle\int_{0}^2 f(x) \;d x \leqslant 4$
   2. $5 \leqslant \displaystyle\int_{0}^2 f(x) \;d x \leqslant 7$
   3. $2 \leqslant \displaystyle\int_{0}^2 f(x) \;d x \leqslant 5$
   4. $0 \leqslant \displaystyle\int_{0}^2 f(x) \;d x \leqslant 2$

Partie B

La fonction $f$ représentée dans la PARTIE A est définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \left(- x^2 - 2x + 2\right)e^{- x} + 3$.

1. On admet que la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$ est 3. Déterminer la limite de $f$ en $- \infty$.
2. On désigne par $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ et on admet que pour tout nombre réel $x$ appartenant à $\mathbb{R}$, $f'(x) = \left(x^2 - 4\right)e^{- x}$.
   1. Étudier le signe de $f'(x)$ suivant les valeurs de $x$.
   2. En déduire le tableau de variation de la fonction $f$.
3. On considère la fonction $F$ définie sur $\mathbb{R}$ par $F(x) = \left(x^2 + 4x + 2\right)e^{- x} + 3x$. Vérifier que la fonction $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$.
4. On considère le domaine $\mathcal{D}$ du plan limité par la courbe $\mathcal{C}$ l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = 0$ et $x = 2$.
   1. Calculer la valeur exacte de l'aire $\mathcal{A}$, exprimée en unités d'aire, du domaine $\mathcal{D}$.
   2. Donner une valeur approchée de $\mathcal{A}$ au centième.

Exercice 4 7 points

Fonctions exponentielles

Dans tout l'exercice, on désigne par $\mathbb{R}$ l'ensemble des nombres réels.

On donne ci-dessous une petite partie de la courbe représentative $\mathcal{C}$ d'une fonction $f$ définie et dérivable sur $\mathbb{R}$, dans un repère orthonormé du plan.

On note $f'$ la fonction dérivée de $f$.

La courbe $\mathcal{C}$ passe par le point $A (0 ; 5)$ et par le point $B$ d'abscisse 2.

La tangente $T_A$ à la courbe au point $A$ passe par le point $C(1 ; 1)$ et la tangente $T_B$ au point $B$ est horizontale.

Partie A

Dans ce questionnaire à choix multiples, aucune justification n'est demandée. Pour chacune des questions, une seule des réponses proposées est correcte.

Une bonne réponse rapporte $0,5$ point. Une mauvaise réponse ou l'absence de réponses n'enlève ni ne rapporte aucun point.

On notera sur la copie le numéro de la question et la réponse choisie.

1. La courbe $\mathcal{C}$ passe par le point $A(0;5)$ donc $f(0)=5$
   1. FAUX
   2. FAUX
   3. FAUX
   4. VRAI : $f(0)=5$
2. Le nombre dérivé $f'(0)$ est égal au coefficient directeur de la tangente $T_A$ à la courbe au point $A(0;5)$ or cette tangente passe également par le point $C(1;1)$ d'où $f'(0)=\dfrac{y_C-y_A}{x_C-x_A}$ . Soit $f'(0)=\dfrac{1-5}{1-0}=-4$
   1. VRAI : $- 4$
   2. FAUX
   3. FAUX
   4. FAUX
3. La tangente $T_B$ à la courbe au point $B$ d'abscisse 2 est parallèle à l'axe des abscisses donc $f'(2)=0;$
   1. VRAI : $0$
   2. FAUX
   3. FAUX
   4. FAUX
4. L'intégrale $\displaystyle\int_{0}^2 f(x)\:\text{d}x$ est égale à l'aire, exprimée en unités d'aire, du domaine limité par la courbe $\mathcal{C}$ l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=0$ et $x=2$. Or cette aire est visiblement supérieure à 5 unités d'aire.$$5 \leqslant \displaystyle\int_{0}^2 f(x)\:\text{d}x \leqslant 7$$
   1. FAUX
   2. VRAI :$5 \leqslant \displaystyle\int_{0}^2 f(x) \;d x \leqslant 7$
   3. FAUX
   4. FAUX

Partie B

La fonction $f$ représentée dans la PARTIE A est définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \left(- x^2 - 2x + 2\right)e^{- x} + 3$.

1. On admet que la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$ est 3. Déterminer la limite de $f$ en $- \infty$.

$\left.\begin{array}{l} \lim\limits_{x \to -\infty}~\left(- x^2 - 2x + 2\right)=\lim\limits_{x \to -\infty}~ - x^2 =-\infty\\ \lim\limits_{x \to -\infty}~\text{e}^{- x}=+\infty \end{array}\right\}$ par produit on obtient: $\lim\limits_{x \to -\infty} f(x)=-\infty$
$$\lim\limits_{x \to +\infty}f(x)=-\infty$$
2. On désigne par $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ et on admet que pour tout nombre réel $x$ appartenant à $\mathbb{R}$, $f'(x) = \left(x^2 - 4\right)e^{- x}$.
   1. Étudier le signe de $f'(x)$ suivant les valeurs de $x$.
   
   
   • La fonction exponentielle étant strictement positive sur $\mathbb{R}$, on déduit que pour tout réel $x ; \text{e}^{- x}>0$, et ainsi $f'(x)$ a le signe de $x^2-4$
   • $x^2-4$ est un trinôme du second degré qui a pour racines $-2$ et $2$; il a donc le signe de $a=1$ à l'extérieur des racines et celui de $-a$ à l'intérieur.
   
   
   2. En déduire le tableau de variation de la fonction $f$.
   
   
3. On considère la fonction $F$ définie sur $\mathbb{R}$ par $F(x) = \left(x^2 + 4x + 2\right)e^{- x} + 3x$. Vérifier que la fonction $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$.

La fonction $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$ ssi pour tout réel $x$ on a $F'(x)=f(x)$.
Ici $F(x) = \left(x^2 + 4x + 2\right)\text{e}^{- x} + 3x$ est du type $F=u+v$, ainsi $F' =u'+v'$.
où $u(x)= \left(x^2 + 4x + 2\right)\text{e}^{- x} $ , donc $u=ab$ d'où $u'=a'b+b'a$.
$a(x)= \left(x^2 + 4x + 2\right)$ et $b(x)=\text{e}^{- x}$
Alors $a'(x)= \left(2x+4\right)$ et $b'(x)=-\text{e}^{- x}$
Puis $u'(x)=\left(2x+4\right) \text{e}^{- x}+ \left(-\text{e}^{- x}\right)\left(x^2 + 4x + 2\right)=\text{e}^{- x}\left(2x+4 -x^2 - 4x - 2\right)=\text{e}^{- x}\left( -x^2 - 2x+ 2\right)$
et $v'(x)=3$, et donc $F'(x)=u'(x)+v'(x)=\text{e}^{- x}\left( -x^2 - 2x+ 2\right)+3=f(x)$

$F'(x)=f(x)$, et donc la fonction $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$.
4. On considère le domaine $\mathcal{D}$ du plan limité par la courbe $\mathcal{C}$ l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = 0$ et $x = 2$.
   1. Calculer la valeur exacte de l'aire $\mathcal{A}$, exprimée en unités d'aire, du domaine $\mathcal{D}$.
   Sur l'intervalle $[0;2]$ la fonction $f$ est strictement décroissante et $f(2)=3-6\text{e}^{-2} \approx 2,19$ donc $f$ est positive sur l'intervalle $[0;2]$. Par conséquent, l'aire $\mathcal{A}$, exprimée en unités d'aire, du domaine $\mathcal{D}$ est égale à l'intégrale de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0;2]$ :  $$\begin{array}{ll} \mathcal{A}&= \displaystyle\int_{0}^2 f(x)\:\text{d}x&\\ & = \left [ F(x)\right ]_{0}^2 &\\ & = \left [ \left(x^2 + 4x + 2\right)\text{e}^{- x} + 3x\right ]_{0}^2 &\\ & = 14\text{e}^{-2} + 6-2 \\ & =14\text{e}^{-2} +4 &\\ \end{array}$$
   L'aire du domaine $\mathcal{D}$ est égale à $14\text{e}^{-2} +4$ unités d'aire.
   2. Donner une valeur approchée de $\mathcal{A}$ au centième.
   
   
   $\mathcal{A}\approx 5,89$ unités d'aire à $10^{-2}$ près.