Baccalauréat STI 2D/STL spécialité SPCL Métropole--La Réunion 7 septembre 2015 - Correction Exercice 2

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Correction de l'exercice 2 (5 points)

Suites

Dans cet exercice, tous les résultats seront arrondis à $10^{-2}$ près.
Un smartphone est équipé d'une batterie Li-ion qui débite en usage normal un courant d'intensité moyenne $I$ de 0,03 ampère (A). La capacité $C$ de cette batterie, exprimée en ampères-heures (Ah), est la quantité maximale d'électricité qu'elle peut emmagasiner. On dit que la batterie a effectué un cycle de charge lorsque la quantité d'électricité absorbée, éventuellement en plusieurs fois, est égale à sa capacité. Lors des 300 premiers cycles de charge de la batterie, sa capacité reste égale à 1,8 Ah.

1. L'autonomie $T$ de ce smartphone, en heures, est fonction de la capacité $C$ de sa batterie et de l'intensité moyenne $I$ du courant qu'elle débite en usage normal. On estime que $T = 0,7 \times \dfrac{C}{I}$. Calculer l'autonomie $T$, en heures, de ce smartphone au cours de l'un des $300$ premiers cycles de charge.
$$T=0,7\times \dfrac{1,8}{0,03}=42$$ Au cours de l'un des 300 premiers cycles de charge l'autonomie de ce smartphone est de 42 heures.
2. On considère qu'après $300$ cycles de charge, l'autonomie de la batterie diminue de 1 % à chaque nouveau cycle de charge. Pour tout entier naturel $n$, on note $T_n$ l'autonomie, en heures, de la batterie au bout de " $300 + n$ " cycles de charge. On admet que $T_0 = 42$.
   1. Calculer $T_1$ et $T_2$. Interpréter les résultats.
   Le coefficient multiplicateur associé à une baisse de 1 % est $1-\dfrac{1}{100}=0,99$. D'où : $T_1=T_0\times 0,99 $ soit $T_1=42\times 0,99=41,58 $ et $T_2=T_1×0,99 $ soit $ T_2=41,58\times 0,99=41,1642$

 

$T_1=41,58$ et $T_2\approx 41,16$. L'autonomie de la batterie au bout de 301 et 302 cycles de charge est respectivement de 41,58 heures et 41,16 heures.
1. Exprimer $T_{n+1}$ en fonction de $T_n$ ;
$T_{n+1}=0,99 T_n$
2. Justifier que $T_n = 42 \times 0,99^n$.
$(T_n)$ est une suite géométrique de raison $q=0,99$ et de premier terme $T_0=42$ alors, pour tout entier $n, T_n=42\times 0,99^n.$

Un utilisateur souhaite déterminer à partir de combien de cycles de charge l'autonomie de la batterie aura diminué de moitié par rapport à son état initial.

1. On propose l'algorithme suivant pour déterminer le nombre de cycles de charge correspondant. $$\begin{array}{|c|}\hline \text{Variables}\\ \hspace{0.4cm}n : \text{nombre entier naturel}\\ \hspace{0.4cm}T : \text{nombre réel}\\ \hspace{0.4cm}q : \text{nombre réel}\\ \text{Initialisation}\\ \hspace{0.4cm}n \text{prend la valeur }a\\ \hspace{0.4cm}T \text{prend la valeur } 42\\ \hspace{0.4cm}q \text{ prend la valeur } 0,99\\ \text{Traitement}\\ \hspace{0.4cm}\text{Tant que } \ldots \ldots\\ \hspace{0.7cm}T \text{ prend la valeur } \ldots \ldots\\ \hspace{0.7cm}n\text{ prend la valeur } \ldots \ldots\\ \hspace{0.4cm}\text{Fin Tant que }\\ \text{Sortie}\\ \hspace{0.4cm}\text{Afficher } n + 300\\ \hline \end{array}$$ Recopier et compléter la partie relative au traitement.
$$\begin{array}{|c|}\hline \text{Variables}\\ \hspace{0.4cm}n : \text{nombre entier naturel}\\ \hspace{0.4cm}T : \text{nombre réel}\\ \hspace{0.4cm}q : \text{nombre réel}\\ \text{Initialisation}\\ \hspace{0.4cm}n \text{prend la valeur }a\\ \hspace{0.4cm}T \text{prend la valeur } 42\\ \hspace{0.4cm}q \text{ prend la valeur } 0,99\\ \text{Traitement}\\ \hspace{0.4cm}\text{Tant que } T> 21\\ \hspace{0.7cm}T \text{ prend la valeur }T\times q\\ \hspace{0.7cm}n\text{ prend la valeur } n+1\\ \hspace{0.4cm}\text{Fin Tant que }\\ \text{Sortie}\\ \hspace{0.4cm}\text{Afficher } n + 300\\ \hline \end{array}$$
2. Déterminer à partir de combien de cycles de charge l'autonomie de la batterie aura diminué de moitié par rapport à son état initial.
méthode 1 On programme l'algorithme sur la calculatrice : L'autonomie de la batterie aura diminué de moitié par rapport à son état initial au bout de 369 cycles de charge.
méthode 2 On cherche le plus petit entier n qu'il faut ajouter à 300, solution de l'inéquation : $$\begin{array}{rl} 42 \times 0,99^n \leq 42 \times 0,5&\iff 0,99^n \leq 0,5\\ & \iff \ln\left( 0,99^n \right )\leq \ln(0,5) \\ &\iff n\ln\left( 0,99 \right )\leq \ln(0,5) \\ &\iff n\geq \dfrac{\ln(0,5)}{\ln\left( 0,99 \right )} \text{ car } \ln\left( 0,99 \right ) < 0 \\ \end{array}$$ Or $$ \dfrac{\ln(0,5)}{\ln\left( 0,99 \right )} \approx 69 $$ alors le nombre de cycles est 369. L' autonomie de la batterie aura diminué de moitié par rapport à son état initial au bout de 369 cycles de charge.
3. Lorsque l'autonomie de la batterie devient inférieure à 5 heures, on estime qu'elle ne permet plus un usage normal du smartphone. Le nombre de cycles de charge correspondant est alors appelé durée de vie de la batterie. Déterminer la durée de vie de cette batterie.
$$\begin{array}{rl} 42 \times 0,99^n \leq 5&\iff 0,99^n \leq \dfrac{5}{42}\\ & \iff \ln\left( 0,99^n \right )\leq \ln\left(\dfrac{5}{42}\right) \\ &\iff n\ln\left( 0,99 \right )\leq \ln\left(\dfrac{5}{42}\right) \\ &\iff n\geq \dfrac{\ln\left(\dfrac{5}{42}\right)}{\ln\left( 0,99 \right )} \text{ car } \ln\left( 0,99 \right ) < 0 \\ \end{array}$$ Or $$ \dfrac{\ln\left(\dfrac{5}{42}\right)}{\ln\left( 0,99 \right )} \approx 212 $$  alors le nombre de cycles est 369. La durée de vie de cette batterie est de 512 cycles de charge.
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Exercice 3
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