Bac STI2D Métropole 16 juin 2016 - Correction Exercice 2

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Correction de l'exercice 2 (6 points)

Suites

Un centre de vacances possède une piscine de $600\quad m^3$ soit $600\quad 000$ litres. L'eau du bassin contient du chlore qui joue le rôle de désinfectant. Toutefois le chlore se dégrade et 25% de celui-ci disparaît chaque jour, en particulier sous l'effet des ultra-violets et de l'évaporation. Le 31 mai à 9 h, le responsable analyse l'eau du bassin à l'aide d'un kit distribué par un magasin spécialisé.
Le taux de chlore disponible dans l'eau est alors de 1,25 mg/L (milligrammes par litre).

Document

$$\begin{array}{|c|c|c|} \hline \text{Paramètres contrôlés} & \text{Seuils de qualité réglementaire} &\text{Incidences sur la qualité de l'eau} \\ \hline & \text{Au minimum 2 mg/L} & < \text{2 mg/L : sous chloration}\\ &&\text{Risque de prolifération}\\ && \text{bactérienne dans l eau }\\ \hline \text{Présence de Chlore }& \text{ Au maximum 4 mg/L }&\text{ > 4 mg/L : surchloration }\\ &&\text{Irritation de la peau}\\ \hline \end{array}$$

A partir du 1$^{\text{er}}$ juin pour compenser la perte en chlore, la personne responsable de l'entretien ajoute, chaque matin à 9 h, 570 g de chlore dans la piscine.
Pour le bien-être et la sécurité des usagers, le responsable souhaite savoir si cet apport journalier en chlore permettra de maintenir une eau qui respecte la réglementation donnée par l' Agence Régionale de Santé pour les piscines publiques.

Partie A

1. Pour tout entier naturel $n$ on note $u_n$ la quantité de chlore disponible, exprimée en grammes, présente dans l'eau du bassin le $n^{\text{ième}}$ jour suivant le jour de l'analyse, immédiatement après l'ajout de chlore. Ainsi $u_0$ est la quantité de chlore le 31 mai à 9 h et $u_1$ est la quantité de chlore le 1$^{\text{er}}$ juin à 9 h après l'ajout de chlore.
   1. Montrer que la quantité de chlore, en grammes, présente dans l'eau du bassin le 31 mai à 9h est $u_0 = 750$.
      Au regard des recommandations de l'agence régionale de santé, le responsable pouvait-il donner l'accès à la piscine le 31 mai?
   La quantité de chlore en milligrammes , présente dans l'eau du bassin le 31 mai à 9h est : $$\begin{align*} u_0&=1,25 \times 600\; 000\; \text{mg}\\ &=\dfrac{1,25 \times 600\; 000}{1\; 000}\; \text{g}\\ &= 750 \; \text{g} \end{align*}$$ Ainsi $u_0 = 750$.
   Au regard des recommandations de l'agence régionale de santé, le responsable ne pouvait pas donner l'accès à la piscine le 31 mai car le taux de 1,25 mg/L est inférieur à 2 mg/L .
   On est dans un cas de sous chloration avec un risque de prolifération bactérienne.
   2. Montrer que $u_1 = 1132,5$.
   $$\begin{align*} u_1&=0,75\times u_0+570\\ &=1132,5 \end{align*}$$
   3. Justifier que pour tout entier naturel $n, u_{n+1} = 0, 75u_n+ 570$
   On rappelle qu'une baisse de $t$ % revient à multiplier par $\left (1-\dfrac{t}{100}\right )$; ici la baisse de 25\% revient à multiplier par $\left (1-\dfrac{25}{100}\right )=0,75$
   $u_{n+1}=\underbrace{ 0,75 u_n}_{ \text{ Baisse de 25 %}}+\underbrace{570}_{\text{ Ajout quotidien de 570 g }}$
   4. La suite $(u_n)$ est-elle géométrique ?
   $$\begin{align*} u_0&=750&\\ u_1&=1132,5&\\ u_2&=0,75\times 1132,5+570&\\ &=1479,375&\\ \dfrac{u_1}{u_0}&=1,51&\dfrac{u_2}{u_1} =1,3063\\ \end{align*}$$ Comme $\dfrac{u_1}{u_0}\neq \dfrac{u_2}{u_1}$, la suite $(u_n)$ n'est pas géométrique.
2. Soit l'algorithme ci-dessous : $$\begin{array}{|l |l |}\hline \text{Variables } & \\ &u : \text{un nombre réel }\\ &N : \text{un nombre entier naturel }\\ &k : \text{un nombre entier naturel }\\ \text{ Initialisation :}&\\ & \text{Saisir la valeur de } N \\ \text{ Initialisation :}&\\ & u \text{ prend la valeur } 750 \\ \text{ Traitement :}&\\ &\text{ Pour } k \text{ allant de } 1 \text{ à } N\\ &\hspace{0,5cm} u\text{ prend la valeur } 0,75 u +570\\ &\text{ Fin du Pour }\\ \text{ Sortie : }& \text{ Afficher } u \\ \hline \end{array}$$
   1. Quel est le rôle de cet algorithme ?
   Cet algorithme permet de calculer les termes successifs de $(u_n)$ pour $n$ allant de 1 à $N$ et d'afficher en sortie $u_N$
   2. Recopier et compléter le tableau suivant, par des valeurs exactes, en exécutant cet algorithme \og pas à pas »pour $N=3$. $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline \text{Variables } & \text{ Initialisation }& \text{ Etape 1 } & \text{ Etape 2 } & \text{ Etape 3 } \\ \hline u & 750 &1132,5& & \\ \hline \end{array}$$ Au regard des recommandations de l'agence régionale de santé, au bout de combien de jours la piscine peut-elle être ouverte ?
   $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline \text{Variables } & \text{ Initialisation }& \text{ Etape 1 } & \text{ Etape 2 } & \text{ Etape 3 } \\ \hline u & 750 &1132,5& 1419,375 & 1634,53125 \\ \hline \end{array}$$
   Au regard des recommandations de l'agence régionale de santé, au bout de combien de jours la piscine peut-elle être ouverte ?
   Au bout d'un jour le taux de chlore disponible dans l'eau est alors de $\dfrac{1132,5}{600}\approx 1,89$ mg/L . Au bout de deux jours le taux de chlore disponible dans l'eau est alors de $\dfrac{1419,375,5}{600}\approx 2,37$ mg/L .
   La piscine pourra donc être ouverte au bout de deux jours.
   3. Calculer une valeur approchée à $10^{-3}$ près de la quantité de chlore le 15$^{\text{ième}}$ jour juste après l'ajout de chlore.
   On utilise l'algorithme et on obtient $u_{15}\approx 2259, 554$

Partie B

Au fil du temps, la quantité de chlore évolue. On note $d_n$ l'écart de quantité de chlore d'un jour à l'autre en grammes. Pour tout entier naturel $n$, on a $d_n = u_{n+1}- u_n$.

1. 1. Calculer $d_0, d_1$ et $d_2$. On donnera une valeur exacte.
   $$\begin{align*} d_0 &= u_{1}- u_0&=382,5\\ d_1 &= u_{2}- u_1&=286,875\\ d_2 &= u_{2}- u_1&=215,15625\\ \end{align*}$$
   2. Justifier que $d_0, d_1$ et $d_2$ semblent être les termes d'une suite géométrique.
   On a $\dfrac{d_1}{d_0}=0,75$ et $\dfrac{d_2}{d_1}=0,75$,
   $d_0, d_1$ et $d_2$ semblent être les termes d'une suite géométrique de raison $0,75$.
2. Vérifier que $u_{n+1}- u_n = -0,25u_n + 570$.
$$\begin{align*} u_{n+1}- u_n&=0, 75u_n+ 570-u_n\\ &= -0, 25u_n+ 570 \end{align*}$$
3. On admet que pour tout entier naturel $n$, on a $d_{n+1}= 0, 75d_n$.
   1. Justifier que $d_n = 382,5 \times 0, 75^n$.
   Ayant pour tout entier naturel $n$, on a $d_{n+1}= 0, 75d_n$, la suite $(d_n)$ est géométrique de raison $q=0,75$, de premier termerme $d_0=382,5$,
   $$\begin{align*} d_n&=q^n \times d_0\\ &= 382,5 \times 0, 75^n \end{align*}$$
   2. En déduire que pour tout entier naturel $n$, on a $u_n = 2280 - 1530\times 0,75^n$.
   $u_{n+1}- u_n = -0,25u_n + 570$ et $d_n = u_{n+1}- u_n$, on adonc
   $d_n = -0,25u_n + 570$, $$\begin{align*} d_n = -0,25u_n + 570&\iff -0,25 u_n=d_n-570\\ &\iff -4\times -0,25 u_n=-4\times \left (d_n-570\right )\\ &\iff u_n= -4d_n +2280\\ &\iff u_n=-4\times 382,5 \times 0, 75^n +2280\\ &\iff u_n= 2280 - 1530\times 0,75^n \end{align*}$$
   3. Déterminer la limite de la suite $(u_n)$. Interpréter le résultat trouvé.
   Comme $01< 0,75 < 1$ on déduit $\lim\limits_{n\to +\infty}0,75^n=0$ et donc $\lim\limits_{n\to +\infty}u_n=2280$
   Le taux de chlore au bout d'un grand nombre de jours sera très proche de $\dfrac{2280}{600}=3,8$.
   Ce taux étant compris entre 2 mg/L et 4 mg/L, la situation sera stable ! On pourra donc laisser la piscine ouverte ...