Baccalauréat STI2D et STL spécialité SPCL Polynésie 14 juin 2017 - Exercice 3

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Exercice 3 6 points

Equations différentielles et Fonctions

Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de manière indépendante.
Une note de musique est émise en pinçant la corde d'une guitare électrique. La puissance du son émis, initialement de 100 watts, diminue avec le temps $t$, mesuré en seconde. On modélise par $f(t)$ la puissance du son émis, exprimée en watt, $t$ secondes après le pincement de la corde.

Partie A

On considère l'équation différentielle (E) suivante où $y$ est une fonction de la variable $t$ définie et dérivable sur l'intervalle $[0~,~ +\infty[$ et où $y'$ est la fonction dérivée de $y$ : \[(\mathrm{E}): 25y'+ 3y = 0\]

1. Résoudre l'équation différentielle $25y' + 3y = 0$.
2. Déterminer la fonction $f$ solution de l'équation différentielle (E) qui vérifie la condition initiale $f(0) = 100$.
3. Quelle est la puissance du son deux secondes après le pincement de la corde ? Arrondir au watt près.

Pour la suite de l'exercice, on admet que la fonction $f$ est définie sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par : \[f(t) = 100\text{e}^{-0.12t}\]

Partie B

On s'intéresse à l'instant à partir duquel la puissance du son émis après le pincement de la corde sera inférieure à $80$watts. On considère l'algorithme suivant : $$\begin{array}{|l|} \hline \text{Initialisation}\\ a \text{ prend la valeur 0}\\ b \text{prend la valeur 5}\\ \text{Traitement}\\ \text{ Tant que } |b - a|> 0,2 \\ \hspace{0.5cm}\begin{array}{|l} m \text{ prend la valeur } \frac{a+b}{2} \\ \hspace{1cm}\text{Si } f(m) > 80\\ \hspace{1cm}\begin{array}{|l} \hspace{0.5cm} a \text{ prend la valeur } m \\ \text{ Sinon }\\ \hspace{0.5cm} b \text{ prend la valeur } m \\ \end{array}\\ \hspace{1cm}\text{Finsi. }\\ \end{array}\\ \text{ Fintantque }\\ \textbf{Sortie}\\ \text{Afficher } a , b\\\hline \end{array}$$

1. À l'aide de l'algorithme ci-dessus, compléter le tableau ci-dessous et à rendre avec la copie. $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline a &0 &0 & & & &\\\hline b &5 &2,5& & & &\\\hline b-a &5 & & & & &\\\hline |b-a|>0,2 &\text{ Vrai } & & & & &\\\hline m &2,5 & & & & &\\\hline f (m) & 74,1 & & & & &\\\hline f(m) > 80 & \text{ Faux } & & & & &\\\hline \end{array}$$
2. Quelles sont les valeurs affichées en sortie de cet algorithme ?
3. Dans le contexte de cet exercice, que représentent ces valeurs ?

 

Partie C

 

1. Résoudre par le calcul l'équation $f(t)=80$, on donnera la valeur exacte et la valeur approchée à $10^{-3}$ près Interpréter ce résultat
2. Calculer et interpréter la limite de $f$ lorsque $t$ tend vers $+ \infty$.