Baccalauréat S Antilles-Guyane 11 septembre 2013

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Exercice 1 4 points

Commun à tous les candidats

Partie A
Restitution organisée de connaissances
Soit $\Delta$ une droite de vecteur directeur $\vec{v}$ et soit P un plan. On considère deux droites sécantes et contenues dans P : la droite D$_{1}$ de vecteur directeur $\vec{u_{1}}$ et la droite D$_{2}$ de vecteur directeur $\vec{u_{2}}$. Montrer que $\Delta$ est orthogonale à toute droite de P si et seulement si $\Delta$ est orthogonale à D$_{1}$ et à D$_{2}$.

Partie B
Dans l'espace muni d'un repère orthonormé, on considère les trois points
\[\text{A}(0 ; - 1 ; 1),\quad \text{B}(4 ; -3 ; 0)\:\: \text{et}\:\: \text{C}(- 1 ; -2 ; -1).\] On appelle P le plan passant par A, B et C. On appelle $\Delta$ la droite ayant pour représentation paramétrique $\left\{\begin{array}{l c l} x &=& t\\y &=& 3t - 1\\z &=& -2t + 8 \end{array}\right.$ avec $t$ appartenant à $\mathbb{R}$. Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse.

1. Affirmation 1 : $\Delta$ est orthogonale à toute droite du plan P.
2. Affirmation 2 : les droites $\Delta$ et (AB) sont coplanaires.
3. Affirmation 3 : Le plan P a pour équation cartésienne $x + 3y - 2z + 5 = 0$.
4. On appelle D la droite passant par l'origine et de vecteur directeur $\vec{u}(11 ; - 1 ; 4)$.
   Affirmation 4 : La droite D est strictement parallèle au plan d'équation $x + 3y - 2z + 5 = 0$.