Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie 14 novembre 2013

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Exercice 1  5 points

Commun à tous les candidats

Soit $f$ la fonction dérivable, définie sur l'intervalle $]0 ;  +\infty[$ par
\[f(x) = \text{e}^x + \dfrac{1}{x}.\]

1. Étude d'une fonction auxiliaire
   1. Soit la fonction $g$ dérivable, définie sur $[0 ;  +\infty[$ par \[g(x) = x^2\text{e}^x - 1.\] Étudier le sens de variation de la fonction $g$.
   2. Démontrer qu'il existe un unique réel $a$ appartenant à $[0 ;  +\infty[$ tel que $g(a) = 0$. Démontrer que $a$ appartient à l'intervalle [0,703 ; 0,704[.
   3. Déterminer le signe de $g(x)$ sur $[0 ;  +\infty[$.
2. Étude de la fonction h $f$
   1. Déterminer les limites de la fonction $f$ en $0$ et en $+ \infty$.
   2. On note $f'$ la fonction dérivée de $f$ sur l'intervalle $]0 ;  +\infty[$. Démontrer que pour tout réel strictement positif $x,\: f'(x) = \dfrac{g(x)}{x^2}$.
   3. En déduire le sens de variation de la fonction $f$ et dresser son tableau de variation sur l'intervalle $]0 ;  +\infty[$.
   4. Démontrer que la fonction $f$ admet pour minimum le nombre réel $m = \dfrac{1}{a^2} + \dfrac{1}{a}$.
   5. Justifier que $3,43 < m < 3,45$.