Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie 14 novembre 2013 - Exercice 3

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Exercice 3 5 points


Commun à tous les candidats

Tous les résultats numériques devront être donnés sous forme décimale et arrondis au dix-millième.
Une usine fabrique des billes sphériques dont le diamètre est exprimé en millimètres. Une bille est dite hors norme lorsque son diamètre est inférieur à 9 mm ou supérieur à 11 mm.
Partie A

  1. On appelle $X$ la variable aléatoire qui à chaque bille choisie au hasard dans la production associe son diamètre exprimé en mm. On admet que la variable aléatoire $X$ suit la loi normale d'espérance $10$ et d'écart-type $0,4$.
    Montrer qu'une valeur approchée à 0,0001 près de la probabilité qu'une bille soit hors norme est 0,0124 . On pourra utiliser la table de valeurs donnée en annexe.
  2. On met en place un contrôle de production tel que 98 % des billes hors norme sont écartés et 99 % des billes correctes sont conservées. On choisit une bille au hasard dans la production. On note $N$ l'évènement : «la bille choisie est aux normes », $A$ l'évènement : «la bille choisie est acceptée à l'issue du contrôle ».
    1. Construire un arbre pondéré qui réunit les données de l'énoncé.
    2. Calculer la probabilité de l'évènement $A$.
    3. Quelle est la probabilité pour qu'une bille acceptée soit hors norme ?

Partie B
Ce contrôle de production se révélant trop coûteux pour l'entreprise, il est abandonné : dorénavant, toutes les billes produites sont donc conservées, et elles sont conditionnées par sacs de 100 billes. On considère que la probabilité qu'une bille soit hors norme est de \np{0,0124}. On admettra que prendre au hasard un sac de $100$ billes revient à effectuer un tirage avec remise de $100$ billes dans l'ensemble des billes fabriquées. On appelle $Y$ la variable aléatoire qui à tout sac de $100$ billes associe le nombre de billes hors norme de ce sac.

  1. Quelle est la loi suivie par la variable aléatoire $Y$ ?
  2. Quels sont l'espérance et l'écart-type de la variable aléatoire $Y$ ?
  3. Quelle est la probabilité pour qu'un sac de $100$ billes contienne exactement deux billes hors norme ?
  4. Quelle est la probabilité pour qu'un sac de $100$ billes contienne au plus une bille hors norme ?
Correction de l'Exercice 3
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