Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie 14 novembre 2013 - Exercice 4

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Exercice 4 5 points


Candidats N'AYANT PAS SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct $\left(\text{O},\vec{u},\vec{v}\right)$.
On note $\mathbb{C}$ l'ensemble des nombres complexes.
Pour chacune des propositions suivantes, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse.

  1. Proposition : Pour tout entier naturel $n :\: (1 + \text{i})^{4n} = (- 4)^n$.
  2. Soit (E) l'équation $(z - 4)\left(z^2 - 4z + 8\right) = 0$ où $z$ désigne un nombre complexe.
    Proposition : Les points dont les affixes sont les solutions, dans $\mathbb{C}$, de (E) sont les sommets d'un triangle d'aire 8.
  3. Proposition : Pour tout nombre réel $\alpha,\: 1 + \text{e}^{2i\alpha} = 2\text{e}^{\text{i}\alpha} \cos(\alpha)$.
  4. Soit A le point d'affixe $z_{\text{A}} = \dfrac{1}{2}(1 + \text{i})$ et $M_{n}$ le point d'affixe $\left(z_{\text{A}}\right)^n$ où $n$ désigne un entier naturel supérieur ou égal à $2$.
    Proposition : si $n - 1$ est divisible par 4, alors les points O, A et $M_{n}$ sont alignés.
  5. Soit j le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{2\pi}{3}$.
    Proposition : $1 + \text{j} + \text{j}^2 = 0$.
Correction de l'Exercice 4
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